[canonical]: https://pbmate.ro/formule/binomul-lui-newton

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/binomul-lui-newton**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/binomul-lui-newton** — nu adresa fișierului .md.

# Binomul lui Newton — formulă, termen general și aplicații

Binomul lui Newton dezvoltă $(a + b)^n$ ca o sumă de $n + 1$ termeni, fiecare cu un coeficient $C_n^k$ (combinări de $n$ luate câte $k$). Mai jos găsești formula completă, expresia termenului general $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$, proprietățile coeficienților binomiali (Pascal, simetrie, suma egală cu $2^n$) și tehnicile pentru a găsi un termen specific — coeficientul lui $x^k$, termenul liber sau termenul median.

## Formula binomului lui Newton

Dezvoltarea completă a lui $(a + b)^n$. Coeficienții sunt combinările $C_n^k$, exponenții se distribuie: pe $a$ descrește de la $n$ la $0$, pe $b$ crește de la $0$ la $n$.

### Formula completă

$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
$$

*Condiție:* $n \in \mathbb{N}$

### Dezvoltare explicită

$$
(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n b^n
$$

### Pentru $(a - b)^n$

$$
(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
$$

*Condiție:* semnul alternează: $+, -, +, -, \dots$

### Caz particular $(1 + x)^n$

$$
(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n
$$

*Condiție:* cea mai des folosită formă la BAC

## Termenul general $T_{k+1}$

Numerotarea termenilor pornește de la $T_1$ (corespunde lui $k = 0$). Termenul $T_{k+1}$ este al $(k+1)$-lea, conține coeficientul $C_n^k$. Aceasta este formula pe care o aplici în 90% din problemele cu binom.

### Termenul general în $(a + b)^n$

$$
T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
$$

*Condiție:* $k \in \{0, 1, \dots, n\}$

### Coeficientul lui $x^p$ în $(1 + x)^n$

$$
\text{coeficient}(x^p) = C_n^p
$$

*Condiție:* decurge direct din termenul general cu $a = 1$, $b = x$

### Coeficientul lui $x^p$ în $(1 + ax)^n$

$$
\text{coeficient}(x^p) = C_n^p \cdot a^p
$$

### Termenul median

$$
T_{\frac{n}{2} + 1} \text{ pentru } n \text{ par},\quad T_{\frac{n+1}{2}} \text{ și } T_{\frac{n+3}{2}} \text{ pentru } n \text{ impar}
$$

## Proprietățile coeficienților binomiali

Combinările $C_n^k$ formează triunghiul lui Pascal — fiecare rând începe și se termină cu $1$, iar restul se obține prin suma celor doi de deasupra.

### Definiția combinărilor

$$
C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
$$

*Condiție:* $0 \leq k \leq n$

### Simetria

$$
C_n^k = C_n^{n-k}
$$

*Condiție:* termenii echidistanți de capete au același coeficient

### Formula lui Pascal

$$
C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}
$$

*Condiție:* regula de construcție a triunghiului

### Suma coeficienților binomiali

$$
C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n
$$

*Condiție:* se obține înlocuind $a = b = 1$ în formula binomului

### Suma alternată

$$
C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0
$$

*Condiție:* $n \geq 1$; se obține cu $a = 1$, $b = -1$

### Suma combinărilor de rang par

$$
C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = 2^{n-1}
$$

*Condiție:* $n \geq 1$; pare și impare au sumă egală

## Aplicații tipice la BAC

Cinci pattern-uri care acoperă majoritatea cerințelor BAC cu binom. Toate se reduc la formula termenului general cu o ecuație convenabilă pe $k$.

### Termenul liber în $(x + 1/x)^n$

$$
T_{k+1} = C_n^k \cdot x^{n-k} \cdot x^{-k} = C_n^k \cdot x^{n-2k}
$$

*Condiție:* termen liber: $n - 2k = 0 \Rightarrow k = n/2$

### Coeficient al lui $x^p$

$$
n - 2k = p \Rightarrow k = \frac{n - p}{2}
$$

*Condiție:* se cere $k$ întreg și $0 \leq k \leq n$

### Numărul de termeni din dezvoltare

$$
(a + b)^n \text{ are } n + 1 \text{ termeni}
$$

### Derivarea sumei pentru identități

$$
n \cdot (1 + x)^{n-1} = C_n^1 + 2 C_n^2 x + 3 C_n^3 x^2 + \dots + n C_n^n x^{n-1}
$$

*Condiție:* trucul: $\sum k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.