[canonical]: https://pbmate.ro/formule/combinatorica

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/combinatorica**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/combinatorica** — nu adresa fișierului .md.

# Combinări, permutări, aranjamente — formule complete

Combinatorica numără în câte feluri poți alege sau aranja obiecte dintr-o mulțime. Cele trei structuri de bază sunt permutările $P_n = n!$ (toate ordonările unei mulțimi), aranjamentele $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordonări de $k$ obiecte din $n$) și combinările $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (submulțimi de $k$ obiecte, ordinea nu contează). Mai jos găsești formulele complete, proprietățile combinărilor și aplicațiile la probabilitatea elementară.

## Permutări — toate ordonările unei mulțimi

O permutare a unei mulțimi cu $n$ elemente este o aranjare ordonată a tuturor celor $n$ elemente. Numărul lor este factorialul $n!$.

### Numărul de permutări

$$
P_n = n!
$$

*Condiție:* $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$

### Definiția factorialului

$$
n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n
$$

*Condiție:* convenție: $0! = 1$

### Recurența factorialului

$$
n! = n \cdot (n - 1)!
$$

### Valori uzuale

$$
1! = 1,\ 2! = 2,\ 3! = 6,\ 4! = 24,\ 5! = 120,\ 6! = 720,\ 7! = 5040
$$

## Aranjamente — selecții ordonate

Un aranjament de $n$ luate câte $k$ este o selecție ordonată de $k$ elemente dintr-o mulțime de $n$. Ordinea contează — $abc$ și $bca$ sunt aranjamente diferite.

### Numărul de aranjamente

$$
A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}
$$

*Condiție:* $0 \leq k \leq n$

### Formă dezvoltată

$$
A_n^k = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)
$$

*Condiție:* produs cu exact $k$ factori

### Aranjamente totale

$$
A_n^n = n! = P_n
$$

*Condiție:* când iei toate elementele

### Legătura cu combinările

$$
A_n^k = C_n^k \cdot k!
$$

*Condiție:* fiecare combinare se poate ordona în $k!$ feluri

## Combinări — selecții fără ordine

O combinare de $n$ luate câte $k$ este o submulțime cu $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente. Ordinea nu contează — $\{a, b, c\}$ și $\{c, b, a\}$ sunt aceeași combinare.

### Numărul de combinări

$$
C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
$$

*Condiție:* $0 \leq k \leq n$

### Simetria

$$
C_n^k = C_n^{n-k}
$$

*Condiție:* $C_{10}^7 = C_{10}^3 = 120$

### Formula lui Pascal

$$
C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}
$$

*Condiție:* regula triunghiului lui Pascal

### Suma combinărilor

$$
C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n
$$

*Condiție:* numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente

### Combinări extreme

$$
C_n^0 = C_n^n = 1,\quad C_n^1 = C_n^{n-1} = n
$$

## Probabilitate elementară

Schema lui Laplace: când toate cazurile sunt egal posibile, probabilitatea unui eveniment este raportul dintre cazurile favorabile și cazurile posibile. Aproape toate problemele de BAC cu probabilitate folosesc combinări pentru ambii termeni ai fracției.

### Formula lui Laplace

$$
P(A) = \frac{\text{nr.\ cazuri favorabile}}{\text{nr.\ cazuri posibile}}
$$

*Condiție:* toate cazurile egal posibile

### Marginile probabilității

$$
0 \leq P(A) \leq 1
$$

*Condiție:* $P(\emptyset) = 0$, $P(\Omega) = 1$

### Evenimentul contrar

$$
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
$$

### Probabilitatea reuniunii

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

### Evenimente independente

$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$

*Condiție:* dacă $A$ și $B$ sunt independente

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.