[canonical]: https://pbmate.ro/formule/continuitate

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/continuitate**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/continuitate** — nu adresa fișierului .md.

# Continuitatea funcțiilor — definiție, criterii și teoreme

O funcție $f$ este continuă în punctul $x_0$ dacă sunt îndeplinite trei condiții: $f(x_0)$ există, $\lim_{x\to x_0} f(x)$ există și cele două valori sunt egale. Continuitatea este definită prin limite — vezi și pagina /formule/limite. Funcțiile elementare (polinomiale, raționale, radical, exp/log, trigonometrice) sunt continue pe domeniu, iar punctele de discontinuitate se clasifică în speța I și speța a II-a.

## Definiția continuității într-un punct

Continuitatea funcției într-un punct se verifică prin trei condiții succesive. Dacă oricare dintre ele nu este îndeplinită, punctul este de discontinuitate. Definiția se bazează pe conceptul de limită — pentru un ghid complet al limitelor, consulți pagina /formule/limite.

### Condiția de continuitate în $x_0$

$$
f \text{ continuă în } x_0 \;\Longleftrightarrow\; \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$

*Condiție:* $f$ definită într-o vecinătate a lui $x_0$

### Condiția 1 — funcția este definită în $x_0$

$$
\exists\, f(x_0) \in \mathbb{R}
$$

### Condiția 2 — limita există în $x_0$

$$
\exists\, \lim_{x \to x_0} f(x) \in \mathbb{R}
$$

### Condiția 3 — limita coincide cu valoarea funcției

$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$

## Limite laterale și continuitate

Limita există dacă și numai dacă limitele laterală stângă și dreaptă sunt egale. La continuitate, toate trei valori trebuie să coincidă — condiție mai puternică decât simpla existență a limitei.

### Limita laterală stângă

$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x)
$$

*Condiție:* $x \to x_0$ cu $x < x_0$

### Limita laterală dreaptă

$$
\lim_{x \to x_0^+} f(x)
$$

*Condiție:* $x \to x_0$ cu $x > x_0$

### Continuitate prin limite laterale

$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
$$

*Condiție:* cele trei valori trebuie să fie egale

## Continuitatea funcțiilor elementare

Funcțiile elementare sunt continue pe întreg domeniul lor de definiție — nu este nevoie să verifici condiția în fiecare punct. Operațiile cu funcții continue păstrează continuitatea.

### Funcții polinomiale

$$
f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 \text{ — continuă pe } \mathbb{R}
$$

### Funcții raționale

$$
f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \text{ — continuă pe } \mathbb{R} \setminus \{x : Q(x) = 0\}
$$

### Funcția radical

$$
f(x) = \sqrt[n]{x} \text{ — continuă pe } [0, +\infty) \text{ (}n \text{ par)}
$$

### Funcții exponențiale și logaritmice

$$
e^x,\; a^x \text{ continue pe } \mathbb{R};\quad \ln x,\; \log_a x \text{ continue pe } (0, +\infty)
$$

### Funcții trigonometrice

$$
\sin x,\; \cos x \text{ continue pe } \mathbb{R};\quad \tg x \text{ continuu pe } \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}
$$

### Operații cu funcții continue

$$
f,\, g \text{ continue în } x_0 \;\Rightarrow\; f{+}g,\; f{\cdot}g,\; \tfrac{f}{g}\,(g(x_0)\neq 0),\; f\circ g \text{ continue în } x_0
$$

## Puncte de discontinuitate

Dacă cel puțin una dintre cele trei condiții de continuitate nu este îndeplinită, punctul este de discontinuitate. Clasificarea în speța I și speța a II-a determină natura rupturii și apare direct în problemele BAC.

### Discontinuitate de speța I (salt finit)

$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x),\quad \text{ambele limite finite}
$$

*Condiție:* limita nu există, dar ambele limite laterale sunt finite

### Discontinuitate eliminabilă (caz particular al speței I)

$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)
$$

*Condiție:* limita există, dar nu coincide cu $f(x_0)$ sau $f$ nu e definită în $x_0$

### Discontinuitate de speța a II-a

$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{sau} \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty
$$

*Condiție:* cel puțin una dintre limitele laterale este infinită sau nu există

## Teorema valorii intermediare (Bolzano)

Teorema lui Bolzano garantează existența unui zero al funcției pe un interval, fără a-l calcula explicit. Este enunțul de bază pentru demonstrarea existenței soluțiilor la ecuații transcendente — apare frecvent în cerințele de tip „arătați că există”.

### Ipotezele teoremei Bolzano

$$
f \text{ continuă pe } [a,b],\quad f(a) \cdot f(b) < 0
$$

*Condiție:* $f(a)$ și $f(b)$ au semne opuse

### Concluzia (existența unui zero)

$$
\exists\, c \in (a, b) \text{ astfel încât } f(c) = 0
$$

*Condiție:* cel puțin un astfel de $c$ există; pot fi mai multe

### Forma generală (teorema valorii intermediare)

$$
\forall\, \mu \in \bigl(\min(f(a),f(b)),\, \max(f(a),f(b))\bigr),\; \exists\, c \in (a,b):\; f(c) = \mu
$$

*Condiție:* orice valoare intermediară este atinsă de $f$ pe $(a,b)$

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.