[canonical]: https://pbmate.ro/formule/derivate > **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/derivate** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/derivate** — nu adresa fișierului .md. # Formule derivate — tabel complet cu reguli și aplicații Tabelul de derivate îți dă derivata fiecărei funcții elementare (putere, exponențială, logaritm, sin/cos/tg, arcsin/arccos/arctg), regulile de derivare (sumă, produs, cât, compusă) și formulele pentru aplicații concrete: ecuația tangentei la grafic, semnul derivatei pentru monotonie și punctele critice pentru optim. La BAC mate-info, derivatele sunt în Subiectul II problema 2 pe fiecare variantă din ultimii cinci ani. ## Tabel derivate — funcții elementare Derivatele elementare care acoperă tot ce-ți cere BAC-ul. Domeniul de validitate apare doar acolo unde el restrânge derivata (la $1/x$, $\ln$, $\arcsin$ etc.). ### Constantă $$ (c)' = 0 $$ *Condiție:* $c \in \mathbb{R}$ ### Funcția identitate $$ (x)' = 1 $$ ### Putere $$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$ *Condiție:* $n \in \mathbb{R}$, $x > 0$ pentru $n$ neîntreg ### Radical de ordin 2 $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ *Condiție:* $x > 0$ ### Funcția $1/x$ $$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} $$ *Condiție:* $x \neq 0$ ### Exponențiala naturală $$ (e^x)' = e^x $$ ### Exponențiala generală $$ (a^x)' = a^x \cdot \ln a $$ *Condiție:* $a > 0$, $a \neq 1$ ### Logaritm natural $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ *Condiție:* $x > 0$ ### Logaritm în bază $a$ $$ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $$ *Condiție:* $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$ ### Sinus $$ (\sin x)' = \cos x $$ ### Cosinus $$ (\cos x)' = -\sin x $$ ### Tangentă $$ (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ *Condiție:* $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ### Cotangentă $$ (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ *Condiție:* $x \neq k\pi$ ### Arcsinus $$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$ *Condiție:* $x \in (-1, 1)$ ### Arccosinus $$ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$ *Condiție:* $x \in (-1, 1)$ ### Arctangentă $$ (\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2} $$ ## Reguli de derivare Patru reguli care acoperă tot ce poți compune din funcțiile elementare de mai sus. Le memorezi într-o singură seară. ### Suma și diferența $$ (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x),\quad (f - g)'(x) = f'(x) - g'(x) $$ ### Înmulțirea cu o constantă $$ (c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x) $$ *Condiție:* $c \in \mathbb{R}$ ### Produsul (regula lui Leibniz) $$ (f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$ ### Câtul $$ \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} $$ *Condiție:* $g(x) \neq 0$ ## Derivata funcției compuse (chain rule) Singura regulă care permite derivarea funcțiilor de tipul $\sin(2x+1)$, $e^{x^2}$, $\ln(x^2+1)$. La BAC apare în 100% din studiile de funcție. ### Forma generală $$ \bigl(f \circ g\bigr)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ ### Putere compusă $$ \bigl(\bigl(g(x)\bigr)^n\bigr)' = n \bigl(g(x)\bigr)^{n-1} \cdot g'(x) $$ ### Exponențială compusă $$ \bigl(e^{g(x)}\bigr)' = e^{g(x)} \cdot g'(x) $$ ### Logaritm compus $$ \bigl(\ln g(x)\bigr)' = \frac{g'(x)}{g(x)} $$ *Condiție:* $g(x) > 0$ ### Sinus compus $$ \bigl(\sin g(x)\bigr)' = \cos g(x) \cdot g'(x) $$ ### Cosinus compus $$ \bigl(\cos g(x)\bigr)' = -\sin g(x) \cdot g'(x) $$ ### Radical compus $$ \bigl(\sqrt{g(x)}\bigr)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} $$ *Condiție:* $g(x) > 0$ ## Derivate de ordin superior Derivata a doua îți spune concavitatea graficului și apare la BAC în întrebările despre puncte de inflexiune. Derivata a $n$-a apare în recurențe Taylor (foarte rare în programa actuală). ### Derivata a doua $$ f''(x) = \bigl(f'(x)\bigr)' $$ ### Derivata de ordin $n$ $$ f^{(n)}(x) = \bigl(f^{(n-1)}(x)\bigr)' $$ ### Derivatele exponențialei $$ \bigl(e^x\bigr)^{(n)} = e^x $$ *Condiție:* $n \in \mathbb{N}$ ### Derivatele sinusului $$ \bigl(\sin x\bigr)^{(n)} = \sin\!\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right) $$ ### Derivatele cosinusului $$ \bigl(\cos x\bigr)^{(n)} = \cos\!\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right) $$ ### Formula lui Leibniz pentru produs $$ \bigl(f g\bigr)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x) $$ ## Aplicații la BAC — tangentă, monotonie, optim Cele patru aplicații care apar literal în fiecare studiu de funcție din Subiectul II. ### Ecuația tangentei la grafic în $x_0$ $$ y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) $$ *Condiție:* $f$ derivabilă în $x_0$ ### Monotonie (criteriul derivatei) $$ f'(x) \geq 0 \text{ pe } I \;\Rightarrow\; f \text{ crescătoare pe } I $$ *Condiție:* egalitatea într-un număr finit de puncte e admisă ### Puncte critice și extreme $$ f'(x_0) = 0,\quad f''(x_0) > 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ punct de minim local} $$ ### Concavitate și puncte de inflexiune $$ f''(x) > 0 \text{ pe } I \;\Rightarrow\; f \text{ convexă pe } I $$ *Condiție:* $f''(x_0) = 0$ + schimbare de semn ⇒ punct de inflexiune ### Asimptotă oblică $y = mx + n$ $$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x},\quad n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - m x\bigr) $$ *Condiție:* ambele limite să fie finite ### Regula lui l'Hôpital $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ *Condiție:* cazuri $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, limita din dreapta există ## Reutilizare · Reuse Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.