[canonical]: https://pbmate.ro/formule/ecuatii-gradul-doi

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/ecuatii-gradul-doi**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/ecuatii-gradul-doi** — nu adresa fișierului .md.

# Ecuația de gradul II — formule, discriminant, Viète și inecuații

Ecuația $ax^2+bx+c=0$ se rezolvă cu $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, unde $\Delta=b^2-4ac$. Suma soluțiilor este $-b/a$, produsul $c/a$ (relațiile lui Viète). Inecuațiile de gradul II se rezolvă prin semnul funcției față de rădăcini. Forma canonică $a(x+b/2a)^2-\Delta/(4a)$ dă direct vârful parabolei.

## Forma generală și discriminantul

Orice ecuație de gradul II se aduce la forma standard $ax^2+bx+c=0$, $a\neq 0$. Semnul discriminantului $\Delta$ decide câte soluții reale există înainte de orice calcul.

### Forma generală

$$
ax^2 + bx + c = 0,\quad a \neq 0
$$

*Condiție:* $a, b, c \in \mathbb{R}$

### Discriminantul

$$
\Delta = b^2 - 4ac
$$

### $\Delta > 0$ — două soluții reale distincte

$$
\Delta > 0 \;\Rightarrow\; x_1, x_2 \in \mathbb{R},\; x_1 \neq x_2
$$

### $\Delta = 0$ — o soluție dublă

$$
\Delta = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}
$$

### $\Delta < 0$ — nicio soluție reală

$$
\Delta < 0 \;\Rightarrow\; \nexists\, x \in \mathbb{R} \text{ soluție}
$$

## Formula soluțiilor

Cele două soluții reale se calculează direct din coeficienți. Verifică întâi semnul lui $\Delta$ înainte de a aplica formula.

### Formula soluțiilor (cazul $\Delta \geq 0$)

$$
x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
$$

*Condiție:* $\Delta \geq 0$

### Soluția dublă (cazul $\Delta = 0$)

$$
x = -\dfrac{b}{2a}
$$

*Condiție:* $\Delta = 0$

## Relațiile lui Viète

Chiar fără să calculezi $x_1$ și $x_2$ explicit, suma și produsul lor sunt date direct de coeficienți. Util la BAC pentru recunoașterea expresiilor simetrice și pentru reconstituirea ecuației.

### Suma rădăcinilor

$$
x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}
$$

### Produsul rădăcinilor

$$
x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}
$$

### Reconstituirea ecuației din rădăcini cunoscute

$$
x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 = 0
$$

*Condiție:* echivalent cu $x^2 - Sx + P = 0$, unde $S = x_1+x_2$, $P = x_1 x_2$

## Forma canonică și vârful parabolei

Completând pătratul, se obține forma canonică — din care se citesc direct vârful parabolei, minimul sau maximul funcției și axa de simetrie, utile mai ales în problemele cu parametri.

### Forma canonică

$$
ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}
$$

### Vârful parabolei $y = ax^2 + bx + c$

$$
V\!\left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)
$$

*Condiție:* minim dacă $a > 0$, maxim dacă $a < 0$

## Semnul funcției de gradul II

Regula practică: în afara intervalului dintre rădăcini, $f(x)$ are semnul lui $a$; între rădăcini, semnul opus lui $a$. Construind un tabel de semn, rezolvi orice inecuație în câteva secunde.

### În afara rădăcinilor ($x < x_1$ sau $x > x_2$)

$$
\operatorname{sgn} f(x) = \operatorname{sgn} a
$$

*Condiție:* $x_1 < x_2$, $\Delta > 0$

### Între rădăcini ($x_1 < x < x_2$)

$$
\operatorname{sgn} f(x) = -\operatorname{sgn} a
$$

*Condiție:* $\Delta > 0$

### Fără rădăcini reale ($\Delta < 0$)

$$
\operatorname{sgn} f(x) = \operatorname{sgn} a,\quad \forall\, x \in \mathbb{R}
$$

## Inecuații de gradul II

Se rezolvă întotdeauna în trei pași: calculezi $\Delta$ și rădăcinile, construiești tabelul de semn, citești mulțimea soluțiilor.

### $ax^2+bx+c > 0$, cu $a > 0$ și $\Delta > 0$

$$
ax^2 + bx + c > 0 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)
$$

*Condiție:* $x_1 < x_2$

### $ax^2+bx+c < 0$, cu $a > 0$ și $\Delta > 0$

$$
ax^2 + bx + c < 0 \;\Rightarrow\; x \in (x_1, x_2)
$$

*Condiție:* $x_1 < x_2$

### Exemplu: $x^2 - 4 < 0$

$$
x^2 - 4 < 0 \;\Rightarrow\; x \in (-2,\, 2)
$$

*Condiție:* rădăcini $x_1 = -2$, $x_2 = 2$; $a = 1 > 0$

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.