[canonical]: https://pbmate.ro/formule/ecuatii-trigonometrice

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/ecuatii-trigonometrice**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/ecuatii-trigonometrice** — nu adresa fișierului .md.

# Ecuații trigonometrice — formule și soluții generale

Ecuațiile trigonometrice se reduc la patru forme fundamentale: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tg x = a$, $\ctg x = a$. Fiecare are o soluție generală cu un parametru întreg $k$, care descrie toate valorile lui $x$ care satisfac ecuația. Mai jos găsești soluțiile generale, tehnicile pentru ecuațiile reductibile (substituție, transformare în pătrat, descompunere) și formula pentru ecuațiile de forma $a \sin x + b \cos x = c$.

## Ecuații fundamentale și soluțiile generale

Cele patru forme de bază. În toate formulele, $k$ este un parametru întreg, $k \in \mathbb{Z}$, care indexează toate soluțiile.

### $\sin x = a$

$$
x = (-1)^k \arcsin a + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

*Condiție:* $|a| \leq 1$; fără soluții dacă $|a| > 1$

### $\cos x = a$

$$
x = \pm \arccos a + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

*Condiție:* $|a| \leq 1$; fără soluții dacă $|a| > 1$

### $\tg x = a$

$$
x = \arctg a + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

*Condiție:* $a \in \mathbb{R}$

### $\ctg x = a$

$$
x = \arcctg a + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

*Condiție:* $a \in \mathbb{R}$

## Cazuri particulare — valori esențiale

Pentru valori uzuale ale lui $a$, soluțiile au formă compactă. Memorează aceste cazuri și nu mai apelezi la formula generală decât când $a$ e o constantă neobișnuită.

### $\sin x = 0$

$$
x = k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\sin x = 1$

$$
x = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\sin x = -1$

$$
x = -\frac{\pi}{2} + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\cos x = 0$

$$
x = \frac{\pi}{2} + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\cos x = 1$

$$
x = 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\cos x = -1$

$$
x = \pi + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\tg x = 0$

$$
x = k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

### $\tg x = 1$

$$
x = \frac{\pi}{4} + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
$$

## Ecuații echivalente

Două ecuații trigonometrice cu aceeași funcție și aceeași bază au soluții comparabile direct, fără să dezvolți formula generală.

### $\sin f(x) = \sin g(x)$

$$
f(x) = g(x) + 2 k \pi \text{ sau } f(x) = \pi - g(x) + 2 k \pi
$$

*Condiție:* $k \in \mathbb{Z}$ — două serii de soluții

### $\cos f(x) = \cos g(x)$

$$
f(x) = \pm g(x) + 2 k \pi
$$

*Condiție:* $k \in \mathbb{Z}$ — două serii de soluții

### $\tg f(x) = \tg g(x)$

$$
f(x) = g(x) + k \pi
$$

*Condiție:* $k \in \mathbb{Z}$

## Ecuații reductibile — tehnici uzuale

Trei tipare apar pe aproape orice ecuație trigonometrică complicată: substituție, descompunere și transformarea $a \sin x + b \cos x$ în formă cu un singur sinus.

### Substituția $t = \sin x$ (sau $\cos x$, $\tg x$)

$$
a \sin^2 x + b \sin x + c = 0 \Rightarrow t = \sin x,\ a t^2 + b t + c = 0
$$

*Condiție:* verifici după rezolvare că $|t| \leq 1$ pentru sin/cos

### Ecuația $a \sin x + b \cos x = c$

$$
a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi)
$$

*Condiție:* $\tg \varphi = b/a$; ecuație echivalentă cu $\sin(x + \varphi) = c/\sqrt{a^2 + b^2}$

### Condiție de solubilitate

$$
a \sin x + b \cos x = c \text{ are soluție} \iff a^2 + b^2 \geq c^2
$$

### Descompunere prin formule de transformare

$$
\sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}
$$

*Condiție:* transformare sumă $\to$ produs — utilă când vrei să factorizezi

### Ecuație omogenă în $\sin x$ și $\cos x$

$$
a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0 \Rightarrow \text{împarți cu } \cos^2 x,\ \text{obții ecuație în } \tg x
$$

*Condiție:* verifici separat dacă $\cos x = 0$ e soluție

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.