[canonical]: https://pbmate.ro/formule/geometrie

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/geometrie**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/geometrie** — nu adresa fișierului .md.

# Formule de geometrie analitică — vectori, drepte, arii

Geometria analitică traduce probleme geometrice în calcule algebrice — un punct devine o pereche $(x, y)$, o dreaptă devine o ecuație. Mai jos găsești formulele pentru vectori în plan (componente, sumă, modul), produsul scalar și unghiul dintre vectori, cele patru forme de ecuație a dreptei (parametrică, generală, redusă, prin două puncte), formula distanței de la un punct la o dreaptă și formula ariei unui triunghi prin coordonate. Tot ce-ți cere BAC-ul la geometria din Subiectul I.

## Vectori în plan — componente și operații

Un vector în plan are două componente. Pentru $\vec{AB}$ cu $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$, componentele sunt $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.

### Vectorul $\vec{AB}$ din coordonate

$$
\vec{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)
$$

### Suma a doi vectori

$$
\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)
$$

### Produs cu un scalar

$$
\alpha \vec{u} = (\alpha u_1,\ \alpha u_2)
$$

*Condiție:* $\alpha \in \mathbb{R}$

### Modulul (norma)

$$
|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}
$$

*Condiție:* lungimea geometrică a vectorului

### Vectori coliniari

$$
\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} \iff u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0
$$

*Condiție:* echivalent: există $\alpha$ cu $\vec{u} = \alpha \vec{v}$

## Produsul scalar

Produsul scalar a doi vectori e un număr real care leagă mărimile vectorilor și unghiul dintre ei. Esențial pentru a calcula unghiuri și pentru a testa perpendicularitatea.

### Produsul scalar din coordonate

$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2
$$

### Forma geometrică

$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta
$$

*Condiție:* $\theta$ — unghiul dintre vectori

### Vectori perpendiculari

$$
\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0
$$

### Unghiul dintre doi vectori

$$
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
$$

### Modulul prin produs scalar

$$
|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}
$$

## Ecuațiile dreptei în plan

Patru forme echivalente, alegi care e cea mai convenabilă pentru datele din enunț. Toate descriu aceeași dreaptă; treci între ele algebric.

### Ecuația redusă (pantă-tăietură)

$$
y = m x + n
$$

*Condiție:* $m$ — panta, $n$ — ordonata la origine

### Ecuația generală

$$
a x + b y + c = 0
$$

*Condiție:* $a, b$ nu sunt simultan zero; vector normal $(a, b)$

### Ecuația dreptei prin punct cu pantă

$$
y - y_0 = m (x - x_0)
$$

*Condiție:* trece prin $(x_0, y_0)$ și are panta $m$

### Ecuația dreptei prin două puncte

$$
\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
$$

*Condiție:* $(x_1, y_1) \neq (x_2, y_2)$

### Panta dintre două puncte

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

*Condiție:* $x_1 \neq x_2$ (altfel dreapta e verticală, fără pantă)

## Poziții relative — paralele, perpendiculare

Două drepte pot fi paralele, perpendiculare sau secante. Criteriile depind de forma în care sunt scrise.

### Drepte paralele (forma redusă)

$$
d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2
$$

*Condiție:* $d_i: y = m_i x + n_i$, $n_1 \neq n_2$ pentru drepte distincte

### Drepte perpendiculare (forma redusă)

$$
d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1
$$

### Drepte paralele (forma generală)

$$
d_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0,\ d_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \Rightarrow d_1 \parallel d_2 \iff a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0
$$

### Drepte perpendiculare (forma generală)

$$
d_1 \perp d_2 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0
$$

## Distanțe și aria triunghiului

Formula distanței dintre două puncte derivă direct din teorema lui Pitagora. Pentru aria unui triunghi prin coordonate, există o formulă cu determinant care economisește mult timp față de Heron sau bază·înălțime.

### Distanța dintre două puncte

$$
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
$$

### Mijlocul unui segment

$$
M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)
$$

### Distanța de la punct la dreaptă

$$
d(P, d) = \frac{|a x_P + b y_P + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
$$

*Condiție:* $d: a x + b y + c = 0$, $P(x_P, y_P)$

### Aria unui triunghi prin coordonate

$$
\mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_B - x_A & y_B - y_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A \end{pmatrix} \right|
$$

*Condiție:* modul determinantului împărțit la 2

### Aria — forma cu determinant $3 \times 3$

$$
\mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} \right|
$$

### Trei puncte coliniare

$$
A, B, C \text{ coliniare} \iff \det \begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} = 0
$$

*Condiție:* echivalent cu aria triunghiului egală cu zero

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.