[canonical]: https://pbmate.ro/formule/integrale

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/integrale**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/integrale** — nu adresa fișierului .md.

# Formule integrale — tabel complet cu primitive

Tabelul cu formule integrale este harta primitivelor pe care BAC-ul ți le cere. Mai jos găsești tot ce ai nevoie: integralele nedefinite ale funcțiilor elementare, regulile pentru funcții compuse, integrarea prin substituție și prin părți, formula Leibniz-Newton și aplicațiile la arii și volume — verificate față de baremele oficiale din ultimii cinci ani.

## Tabel integrale nedefinite — funcții elementare

Pentru fiecare funcție elementară, o singură primitivă (familia completă se obține adăugând constanta $C$). Domeniul de validitate e marcat pe coloana din dreapta.

### Putere

$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
$$

*Condiție:* $n \neq -1$

### Funcția 1/x

$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
$$

*Condiție:* $x \neq 0$

### Exponențiala naturală

$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$

### Exponențiala generală

$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C
$$

*Condiție:* $a > 0$, $a \neq 1$

### Sinus

$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$

### Cosinus

$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$

### Pătratul secantei

$$
\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tg x + C
$$

*Condiție:* $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$

### Pătratul cosecantei

$$
\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\ctg x + C
$$

*Condiție:* $x \neq k\pi$

### Funcția 1/(1+x²)

$$
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctg x + C
$$

### Funcția 1/√(1-x²)

$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$

*Condiție:* $x \in (-1, 1)$

### Fracție rațională cu rădăcini

$$
\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C
$$

*Condiție:* $a > 0$, $x \neq \pm a$

### Arctangenta scalată

$$
\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctg \frac{x}{a} + C
$$

*Condiție:* $a > 0$

### Arcsinus scalat

$$
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C
$$

*Condiție:* $a > 0$, $x \in (-a, a)$

### Logaritm cu rădăcină

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + a^2}\bigr) + C
$$

## Integrale ale funcțiilor compuse

Dacă recunoști pe $g'(x)$ în integrand, ai descompus deja problema. Mai jos sunt cele șase forme care apar cel mai des în baremele BAC.

### Forma generală (schimbare de variabilă)

$$
\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C
$$

*Condiție:* $F$ este o primitivă a lui $f$

### Derivata pe funcție

$$
\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C
$$

*Condiție:* $g(x) \neq 0$

### Exponențială compusă

$$
\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx = e^{g(x)} + C
$$

### Putere compusă

$$
\int g'(x) \cdot \bigl(g(x)\bigr)^n \, dx = \frac{\bigl(g(x)\bigr)^{n+1}}{n+1} + C
$$

*Condiție:* $n \neq -1$

### Cosinus compus

$$
\int g'(x) \cdot \cos(g(x)) \, dx = \sin(g(x)) + C
$$

### Sinus compus

$$
\int g'(x) \cdot \sin(g(x)) \, dx = -\cos(g(x)) + C
$$

## Reguli de integrare — substituție și prin părți

Liniaritatea e implicită. Substituția și integrarea prin părți sunt cele două tehnici care rezolvă peste 90% din integralele de BAC.

### Liniaritate

$$
\int \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx + \beta \int g(x) \, dx
$$

### Schimbare de variabilă

$$
\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du,\quad u = g(x)
$$

### Integrarea prin părți

$$
\int u \, dv = u v - \int v \, du
$$

*Condiție:* $u, v$ de clasă $C^1$

### Prin părți — formă explicită

$$
\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx
$$

## Integrale definite — proprietăți esențiale

Toate decurg din formula Leibniz-Newton. Memorează prima și nu trebuie să reții restul — le deduci.

### Formula Leibniz-Newton

$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$

*Condiție:* $F$ primitivă a lui $f$, $f$ continuă pe $[a, b]$

### Inversarea limitelor

$$
\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx
$$

### Aditivitatea după interval

$$
\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx
$$

### Funcție impară pe interval simetric

$$
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0
$$

*Condiție:* $f$ impară

### Funcție pară pe interval simetric

$$
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx
$$

*Condiție:* $f$ pară

### Schimbare de variabilă în integrala definită

$$
\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du
$$

## Aplicații — arii și volume

La BAC, aplicațiile integralelor sunt aproape exclusiv arii sub grafic, arii între două curbe și volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$.

### Aria sub graficul lui f

$$
\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx
$$

*Condiție:* $f \geq 0$ pe $[a, b]$

### Aria între două grafice

$$
\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx
$$

### Volumul corpului de rotație în jurul $Ox$

$$
\mathcal{V} = \pi \int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2 \, dx
$$

### Lungimea graficului lui f

$$
\mathcal{L} = \int_a^b \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2} \, dx
$$

*Condiție:* $f$ de clasă $C^1$

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.