[canonical]: https://pbmate.ro/formule/limite

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/limite**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/limite** — nu adresa fișierului .md.

# Limite remarcabile — tabel complet pentru BAC

Limitele remarcabile sunt cele opt expresii pe care le memorezi o singură dată și le aplici pe restul vieții ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$, $\lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e$ și restul). Mai jos găsești toate limitele esențiale, regulile de calcul, cele șapte tipuri de indeterminări, regula lui l'Hôpital și criteriile pentru șiruri — tot ce-ți cere Subiectul III pe profil mate-info.

## Limite fundamentale — funcții elementare

Limite directe care nu necesită calcule. Le aplici imediat ce recunoști forma.

### Limita unei constante

$$
\lim_{x \to a} c = c
$$

*Condiție:* $c \in \mathbb{R}$, $a$ orice valoare

### Limita funcției identitate

$$
\lim_{x \to a} x = a
$$

### Limita unei puteri la infinit

$$
\lim_{x \to \infty} x^n = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} x^n = \begin{cases} \infty, & n \text{ par} \\ -\infty, & n \text{ impar} \end{cases}
$$

*Condiție:* $n \in \mathbb{N}^*$

### Limita lui $1/x$ în 0

$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty
$$

### Limita exponențialei la infinit

$$
\lim_{x \to \infty} e^x = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0
$$

### Limita logaritmului natural

$$
\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty
$$

## Limite remarcabile — cele opt formule de memorat

Acestea sunt limitele pe care le folosești ca pe niște piese de joc. Le recunoști imediat și le aplici direct sau prin substituție $u = $ ceva pentru a aduce expresia la forma de bază.

### Limita sinusului

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

### Limita $1 - \cos x$

$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
$$

### Limita tangentei

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1
$$

### Limita arcsinus

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1
$$

### Limita exponențialei

$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
$$

### Limita logaritmului

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
$$

### Numărul $e$ ca limită

$$
\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
$$

### Exponențială generală

$$
\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a
$$

*Condiție:* $a > 0$

### Binom Newton la limită

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k
$$

*Condiție:* $k \in \mathbb{R}$

## Reguli de calcul

Limita comută cu operațiile elementare, atâta timp cât rezultatele individuale există (nu apar indeterminări).

### Liniaritate

$$
\lim_{x \to a} \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr) = \alpha \lim_{x \to a} f(x) + \beta \lim_{x \to a} g(x)
$$

### Produsul limitelor

$$
\lim_{x \to a} \bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)
$$

*Condiție:* dacă ambele limite există și sunt finite

### Câtul limitelor

$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}
$$

*Condiție:* dacă $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

### Compunere (substituție)

$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\bigl(\lim_{x \to a} g(x)\bigr)
$$

*Condiție:* dacă $f$ este continuă în $\lim_{x \to a} g(x)$

## Indeterminări și regula lui l'Hôpital

Cele șapte indeterminări de bază: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$. Pentru primele două, regula l'Hôpital e cea mai rapidă. Pentru restul, transformi expresia până ajungi la $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$.

### Regula lui l'Hôpital

$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$

*Condiție:* indeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$; ambele derivate există în vecinătatea lui $a$

### Indeterminare $0 \cdot \infty$

$$
f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} \text{ sau } \frac{g(x)}{1/f(x)}
$$

*Condiție:* transformă la $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ca să poți aplica l'Hôpital

### Indeterminare $1^\infty$

$$
f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}
$$

*Condiție:* reduce la indeterminarea $0 \cdot \infty$ în exponent

### Indeterminări $0^0$ și $\infty^0$

$$
f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}
$$

*Condiție:* același truc — trece la exponențială cu $\ln$

## Limite de șiruri

Șirurile sunt funcții cu domeniul $\mathbb{N}$. Toate regulile pentru funcții se aplică, plus câteva criterii specifice care nu au corespondent în funcții.

### Limita unui șir geometric

$$
\lim_{n \to \infty} q^n = \begin{cases} 0, & |q| < 1 \\ 1, & q = 1 \\ \infty, & q > 1 \\ \text{nu există}, & q \leq -1 \end{cases}
$$

### Criteriul cleștelui

$$
a_n \leq b_n \leq c_n \text{ și } \lim a_n = \lim c_n = L \Rightarrow \lim b_n = L
$$

### Stolz-Cesàro

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}
$$

*Condiție:* $(b_n)$ strict crescător, $b_n \to \infty$; limita din dreapta există

### Numărul $e$ ca limită de șir

$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
$$

### Convergența șirurilor monotone

$$
(a_n) \text{ monoton și mărginit} \Rightarrow (a_n) \text{ convergent}
$$

*Condiție:* criteriul Weierstrass — utilă pentru șiruri definite recursiv

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.