[canonical]: https://pbmate.ro/formule/logaritmi

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/logaritmi**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/logaritmi** — nu adresa fișierului .md.

# Formule logaritmi — proprietăți, schimbarea bazei și ecuații

Logaritmii au o duzină de proprietăți care reduc orice expresie complicată la calcule simple. Mai jos găsești definiția, valorile esențiale ($\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$), proprietățile fundamentale (suma, diferența, puterea), formula de schimbare a bazei și tehnicile pentru ecuațiile și inecuațiile logaritmice care apar la Subiectul I și II — verificate față de baremele oficiale din ultimii cinci ani.

## Definiție și valori esențiale

Logaritmul $\log_a b$ este exponentul la care ridici baza $a$ ca să obții $b$. Definiția cere $a > 0$, $a \neq 1$ și $b > 0$ — fără ele expresia nu are sens.

### Definiția logaritmului

$$
\log_a b = x \iff a^x = b
$$

*Condiție:* $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$

### Logaritmul lui 1

$$
\log_a 1 = 0
$$

### Logaritmul bazei

$$
\log_a a = 1
$$

### Logaritmul unei puteri a bazei

$$
\log_a a^k = k
$$

### Identitatea fundamentală

$$
a^{\log_a b} = b
$$

*Condiție:* $b > 0$

### Notații consacrate

$$
\lg b = \log_{10} b, \quad \ln b = \log_e b
$$

*Condiție:* $e \approx 2{,}718$

## Proprietăți fundamentale — produs, cât, putere

Cele trei proprietăți care apar pe fiecare BAC. Toate cer condiția $a > 0$, $a \neq 1$ și argumentele strict pozitive — verifică domeniul înainte să aplici.

### Logaritmul unui produs

$$
\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
$$

*Condiție:* $x > 0$, $y > 0$

### Logaritmul unui cât

$$
\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
$$

*Condiție:* $x > 0$, $y > 0$

### Logaritmul unei puteri

$$
\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x
$$

*Condiție:* $x > 0$, $k \in \mathbb{R}$

### Logaritmul unui radical

$$
\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x
$$

*Condiție:* $x > 0$, $n \in \mathbb{N}^*$

### Putere la bază

$$
\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b
$$

*Condiție:* $n \neq 0$

### Putere atât la bază cât și la argument

$$
\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b
$$

*Condiție:* $n \neq 0$

## Schimbarea bazei

Când ai logaritmi cu baze diferite în aceeași expresie, treci totul într-o bază comună. Cea mai folosită alegere e baza $e$ (logaritm natural) sau baza 10.

### Formula generală

$$
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
$$

*Condiție:* $c > 0$, $c \neq 1$

### Inversa bazei

$$
\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
$$

*Condiție:* $b \neq 1$

### Lanț de logaritmi

$$
\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c
$$

*Condiție:* $b \neq 1$

### Trecere între lg și ln

$$
\lg b = \frac{\ln b}{\ln 10}, \quad \ln b = \frac{\lg b}{\lg e}
$$

## Ecuații logaritmice

Trei tipuri standard. Prima regulă universală: pune condiția de existență ($a > 0$, $a \neq 1$, argumente $> 0$) înainte să rezolvi — fără asta pierzi puncte la BAC chiar dacă ai numărul corect.

### Egalitate de logaritmi în aceeași bază

$$
\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)
$$

*Condiție:* $f(x) > 0$, $g(x) > 0$

### Logaritm egal cu o constantă

$$
\log_a f(x) = c \Rightarrow f(x) = a^c
$$

*Condiție:* $f(x) > 0$

### Ecuație cu baza variabilă

$$
\log_{f(x)} g(x) = c \Rightarrow g(x) = f(x)^c
$$

*Condiție:* $f(x) > 0$, $f(x) \neq 1$, $g(x) > 0$

### Tehnica substituției

$$
t = \log_a x \Rightarrow x = a^t
$$

*Condiție:* reduce ecuațiile pătratice în $\log_a x$ la o ecuație în $t$

## Inecuații logaritmice — regula sensului

Aceeași regulă pe care o uită toți în clasa a 10-a: funcția $\log_a$ e crescătoare dacă $a > 1$ și descrescătoare dacă $0 < a < 1$. Sensul inecuației se păstrează în primul caz și se schimbă în al doilea.

### Bază supraunitară

$$
\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) > g(x) > 0
$$

*Condiție:* $a > 1$

### Bază subunitară

$$
\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow 0 < f(x) < g(x)
$$

*Condiție:* $0 < a < 1$

### Logaritm față de o constantă (bază $> 1$)

$$
\log_a f(x) > c \Rightarrow f(x) > a^c
$$

*Condiție:* $a > 1$, $f(x) > 0$

### Logaritm față de o constantă (bază $< 1$)

$$
\log_a f(x) > c \Rightarrow 0 < f(x) < a^c
$$

*Condiție:* $0 < a < 1$

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.