[canonical]: https://pbmate.ro/formule/matrice > **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/matrice** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/matrice** — nu adresa fișierului .md. # Matrice și determinanți — formule, inversă și sisteme O matrice este un tabel de numere cu $m$ linii și $n$ coloane. Determinanul (definit doar pentru matrice pătratice) este un număr care îți spune dacă matricea e inversabilă și rezolvă sisteme de ecuații prin regula lui Cramer. Mai jos găsești operațiile fundamentale (sumă, produs, transpusă), formulele pentru determinanți de ordin $2$ și $3$ (Sarrus), formula matricei inverse $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*$ și aplicațiile la sisteme de ecuații liniare. ## Operații pe matrice Suma se face element cu element (matricele trebuie să aibă același format). Produsul cere ca numărul de coloane al primei matrice să egaleze numărul de linii al celei de-a doua. ### Suma a două matrice $$ (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$ *Condiție:* $A$ și $B$ de același format $m \times n$ ### Produs cu un scalar $$ (\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij} $$ *Condiție:* $\alpha \in \mathbb{R}$ ### Produsul a două matrice $$ (A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj} $$ *Condiție:* $A$ este $m \times p$, $B$ este $p \times n$, rezultat $m \times n$ ### Necomutativitatea produsului $$ A \cdot B \neq B \cdot A \text{ în general} $$ *Condiție:* chiar și când ambele produse există ### Transpusa $$ (A^t)_{ij} = a_{ji} $$ *Condiție:* interschimbi liniile cu coloanele ### Transpusa unui produs $$ (A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t $$ *Condiție:* ordinea se inversează ## Determinanți — formulele Sarrus și Laplace Pentru matrice de ordin $2$, formula e directă. Pentru ordin $3$, folosești regula lui Sarrus (cele șase produse cu diagonalele). Pentru ordin $\geq 4$, dezvolți după o linie sau coloană (Laplace). ### Determinant de ordin $2$ $$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc $$ ### Determinant de ordin $3$ — Sarrus $$ \det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} $$ *Condiție:* trei produse pe diagonalele descrescătoare minus trei produse pe diagonalele crescătoare ### Dezvoltare Laplace (după linia $i$) $$ \det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij} $$ *Condiție:* $M_{ij}$ — minorul (det. matricei obținute prin eliminarea liniei $i$ și coloanei $j$) ### Determinantul unui produs $$ \det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B $$ *Condiție:* $A$, $B$ pătratice, de același ordin ### Determinantul transpusei $$ \det(A^t) = \det A $$ ### Determinant cu scalar $$ \det(\alpha A) = \alpha^n \cdot \det A $$ *Condiție:* $A$ de ordin $n$ ## Proprietăți ale determinanților Aceste proprietăți simplifică drastic calculele — învață să le recunoști înainte să dezvolți Sarrus sau Laplace. ### Linie sau coloană de zerouri $$ \det A = 0 $$ *Condiție:* dacă o linie (sau coloană) este formată din zerouri ### Două linii sau coloane egale $$ \det A = 0 $$ *Condiție:* dacă două linii (sau două coloane) sunt egale ### Linii proporționale $$ \det A = 0 $$ *Condiție:* dacă o linie este multiplu al alteia ### Schimbarea a două linii $$ \text{schimbi 2 linii} \Rightarrow \det A \text{ își schimbă semnul} $$ ### Adăugarea unui multiplu al unei linii $$ \det A \text{ se păstrează când adaugi la o linie un multiplu al altei linii} $$ *Condiție:* regula de transformare elementară fără efect asupra determinantului ## Matricea inversă O matrice $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A \neq 0$. Inversa se calculează prin formula $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*$, unde $A^*$ este matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor). ### Criteriul de inversabilitate $$ A \text{ inversabilă} \iff \det A \neq 0 $$ ### Formula matricei inverse $$ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^* $$ *Condiție:* $A^* = (A_{ij})^t$ — adjuncta (transpusa cofactorilor) ### Inversa pentru matrice $2 \times 2$ $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$ *Condiție:* $ad - bc \neq 0$ ### Inversa unui produs $$ (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} $$ *Condiție:* ordinea se inversează ### Determinantul inversei $$ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} $$ ## Sisteme de ecuații — regula lui Cramer Un sistem liniar $A \cdot X = B$ cu $A$ matrice pătratică se rezolvă prin Cramer dacă $\det A \neq 0$. Atunci sistemul are soluție unică, iar fiecare necunoscută se exprimă printr-un raport de determinanți. ### Formula lui Cramer $$ x_i = \frac{\det A_i}{\det A} $$ *Condiție:* $A_i$ — matricea obținută înlocuind coloana $i$ a lui $A$ cu coloana termenilor liberi ### Compatibilitate $$ \det A \neq 0 \Rightarrow \text{sistem compatibil determinat (soluție unică)} $$ ### Determinant nul — cazul ambiguu $$ \det A = 0 \Rightarrow \text{sistem incompatibil sau compatibil nedeterminat} $$ *Condiție:* decizi după rangul matricei extinse (Kronecker-Capelli) ### Sistem omogen ($B = 0$) $$ \det A \neq 0 \Rightarrow \text{soluție unică } X = 0;\quad \det A = 0 \Rightarrow \text{soluții nebanale} $$ ## Reutilizare · Reuse Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.