[canonical]: https://pbmate.ro/formule/numere-complexe

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/numere-complexe**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/numere-complexe** — nu adresa fișierului .md.

# Numere complexe — formule, forma trigonometrică și Moivre

Numerele complexe extind realele cu unitatea imaginară $i$ definită prin $i^2 = -1$. Un complex se scrie $z = a + bi$ (forma algebrică) sau $z = r(\cos t + i \sin t)$ (forma trigonometrică), unde $r = |z|$ este modulul și $t$ este argumentul. Mai jos găsești toate operațiile fundamentale (sumă, produs, cât, conjugat), trecerea între forme, formula lui Moivre pentru puteri și rădăcinile de ordin $n$ ale unității.

## Forma algebrică — definiție și operații

Un număr complex $z = a + bi$ are partea reală $a = \operatorname{Re}(z)$ și partea imaginară $b = \operatorname{Im}(z)$. Operațiile elementare se fac ca în algebră, ținând cont că $i^2 = -1$.

### Definiția unității imaginare

$$
i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1
$$

*Condiție:* puterile lui $i$ se repetă cu perioada $4$

### Sumă

$$
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
$$

### Produs

$$
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i
$$

### Conjugatul

$$
\overline{z} = a - bi
$$

*Condiție:* schimbi semnul părții imaginare

### Modulul

$$
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
$$

*Condiție:* distanța de la origine la $z$ în planul complex

### Câtul

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}
$$

*Condiție:* $z_2 \neq 0$; truc: amplifici cu conjugatul

## Proprietățile modulului și conjugatului

Aceste opt proprietăți rezolvă majoritatea cerințelor BAC. Modulul respectă produsele, conjugatul respectă orice operație elementară.

### Produsul cu conjugatul

$$
z \cdot \overline{z} = |z|^2
$$

### Modulul unui produs

$$
|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
$$

### Modulul unui cât

$$
\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}
$$

*Condiție:* $z_2 \neq 0$

### Modulul unei puteri

$$
|z^n| = |z|^n
$$

### Conjugatul unei sume

$$
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
$$

### Conjugatul unui produs

$$
\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
$$

### Caracterizarea realelor

$$
z = \overline{z} \iff z \in \mathbb{R}
$$

### Caracterizarea imaginar pur

$$
z + \overline{z} = 0 \iff z \text{ imaginar pur}
$$

*Condiție:* echivalent: $\operatorname{Re}(z) = 0$

## Forma trigonometrică

Reprezentarea $z = r(\cos t + i \sin t)$ separă mărimea ($r = |z|$) de direcția ($t = \arg z$, unghiul cu axa $Ox$). Esențială pentru puteri și rădăcini.

### Forma trigonometrică

$$
z = r (\cos t + i \sin t)
$$

*Condiție:* $r = |z|$, $t = \arg z \in [0, 2\pi)$

### Modulul din forma algebrică

$$
r = \sqrt{a^2 + b^2}
$$

### Argumentul din forma algebrică

$$
\cos t = \frac{a}{r},\quad \sin t = \frac{b}{r}
$$

*Condiție:* alege $t$ în cadranul corect după semnele lui $a$ și $b$

### Produsul în formă trigonometrică

$$
z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \bigl(\cos(t_1 + t_2) + i \sin(t_1 + t_2)\bigr)
$$

*Condiție:* module se înmulțesc, argumente se adună

### Câtul în formă trigonometrică

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl(\cos(t_1 - t_2) + i \sin(t_1 - t_2)\bigr)
$$

*Condiție:* module se împart, argumente se scad

## Formula lui Moivre și rădăcini

Moivre îți dă orice putere a unui complex direct, fără calcule iterate. Pentru rădăcini, ai exact $n$ valori distincte distribuite simetric pe un cerc.

### Formula lui Moivre

$$
z^n = r^n \bigl(\cos(nt) + i \sin(nt)\bigr)
$$

*Condiție:* $n \in \mathbb{Z}$

### Rădăcinile de ordin $n$

$$
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left(\cos \frac{t + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{t + 2k\pi}{n}\right)
$$

*Condiție:* $k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}$ — exact $n$ valori distincte

### Rădăcinile de ordin $n$ ale unității

$$
\varepsilon_k = \cos \frac{2k\pi}{n} + i \sin \frac{2k\pi}{n}
$$

*Condiție:* $k = 0, 1, \dots, n - 1$; pe cercul unitate, distribuite simetric

### Suma rădăcinilor de ordin $n$ ale unității

$$
\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \dots + \varepsilon_{n-1} = 0
$$

*Condiție:* $n \geq 2$ — sumă de vectori echidistanți pe cerc

### Produsul rădăcinilor de ordin $n$ ale unității

$$
\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_1 \cdot \dots \cdot \varepsilon_{n-1} = (-1)^{n+1}
$$

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.