[canonical]: https://pbmate.ro/formule/progresii

> **Pagina web: https://pbmate.ro/formule/progresii**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/formule/progresii** — nu adresa fișierului .md.

# Progresii aritmetice și geometrice — formule și tehnici

Cele două tipuri de progresii — aritmetică (cu rația $r$, adunată) și geometrică (cu rația $q$, înmulțită) — au exact aceeași structură: definiție prin recurență, formulă pentru termenul general și formulă pentru suma primilor $n$ termeni. Mai jos găsești toate formulele, plus tehnica „trei termeni consecutivi” care apare pe BAC și suma infinită a unei progresii geometrice subunitare (cea care face ca $0{,}\overline{9} = 1$).

## Progresie aritmetică — definiție și termen general

O progresie aritmetică este un șir în care fiecare termen se obține adunând o constantă (rația $r$) la termenul anterior. Notația standard: $(a_n)_{n \geq 1}$ cu $a_1$ primul termen și $r$ rația.

### Definiția prin recurență

$$
a_{n+1} - a_n = r
$$

*Condiție:* $r \in \mathbb{R}$ — rația, constantă pentru toți $n$

### Termenul general

$$
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r
$$

*Condiție:* exprimă orice termen în funcție de $a_1$ și $r$

### Termen general în funcție de un termen oarecare

$$
a_n = a_m + (n - m) \cdot r
$$

### Termenul de mijloc — trei termeni consecutivi

$$
2 a_n = a_{n-1} + a_{n+1}
$$

*Condiție:* echivalent: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

### Caracterizare prin trei termeni

$$
a, b, c \text{ în PA} \iff b = \frac{a + c}{2}
$$

## Progresie aritmetică — suma primilor $n$ termeni

Trucul lui Gauss: suma primilor și ultimului termen e mereu aceeași, iar perechile sunt $n/2$. De aici toate variantele formulei.

### Suma — varianta cu primul și ultimul termen

$$
S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
$$

### Suma — varianta cu $a_1$ și rația

$$
S_n = \frac{\bigl(2 a_1 + (n - 1) r\bigr) \cdot n}{2}
$$

*Condiție:* utilă când nu ai $a_n$ calculat

### Suma primelor $n$ numere naturale

$$
1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
$$

*Condiție:* caz particular cu $a_1 = 1$, $r = 1$

### Suma primelor $n$ numere impare

$$
1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2
$$

*Condiție:* PA cu $a_1 = 1$, $r = 2$

## Progresie geometrică — definiție și termen general

O progresie geometrică este un șir în care fiecare termen se obține înmulțind o constantă (rația $q$) cu termenul anterior. Pentru a avea sens, niciun termen nu poate fi zero — deci $a_1 \neq 0$ și $q \neq 0$.

### Definiția prin recurență

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = q
$$

*Condiție:* $q \neq 0$ și $a_n \neq 0$ pentru toți $n$

### Termenul general

$$
a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}
$$

### Termen general în funcție de un termen oarecare

$$
a_n = a_m \cdot q^{n - m}
$$

### Termenul de mijloc — trei termeni consecutivi

$$
a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}
$$

*Condiție:* pentru termeni de același semn: $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$

### Caracterizare prin trei termeni

$$
a, b, c \text{ în PG} \iff b^2 = a \cdot c
$$

*Condiție:* $a$, $c$ de același semn pentru ca $b$ să fie real

## Progresie geometrică — suma primilor $n$ termeni

Pentru sumă, totul depinde dacă rația este 1 sau diferită de 1. Pentru $|q| < 1$ există și suma infinită — formula care apare în limite și serii.

### Suma — caz general

$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$

*Condiție:* $q \neq 1$

### Suma — caz $q = 1$

$$
S_n = n \cdot a_1
$$

*Condiție:* $q = 1$ — toți termenii sunt $a_1$

### Suma infinită — progresie geometrică subunitară

$$
S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}
$$

*Condiție:* $|q| < 1$ — singurul caz în care suma converge

### Formă utilă cu $a_n$

$$
S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}
$$

*Condiție:* $q \neq 1$ — derivă direct din formula generală

## Tehnici uzuale — trei termeni consecutivi și recurențe

Două tipare apar pe aproape orice problemă cu progresii: alegerea convenabilă a notației pentru trei termeni consecutivi și recunoașterea unei recurențe lineare ca PA sau PG.

### Trei termeni în PA — notație convenabilă

$$
a - r,\quad a,\quad a + r
$$

*Condiție:* suma celor trei termeni este $3a$, ușor de exploatat

### Trei termeni în PG — notație convenabilă

$$
\frac{a}{q},\quad a,\quad a \cdot q
$$

*Condiție:* produsul celor trei termeni este $a^3$

### Recurență lineară $\to$ PA

$$
a_{n+1} = a_n + r
$$

*Condiție:* orice șir cu această recurență e o PA cu rația $r$

### Recurență lineară $\to$ PG

$$
a_{n+1} = a_n \cdot q
$$

*Condiție:* $a_1 \neq 0$ — orice șir cu această recurență e o PG cu rația $q$

### Număr zecimal periodic ca PG infinită

$$
0{,}\overline{abc} = \frac{abc}{999} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{abc}{10^{3n}}
$$

*Condiție:* perioada are $k$ cifre $\Rightarrow$ numitor cu $k$ de 9

## Reutilizare · Reuse

Aceste formule sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These formulas are free to reuse in worksheets and practice tests.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.