[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/binomul-lui-newton > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/binomul-lui-newton** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/binomul-lui-newton** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Binomul lui Newton — clasa a 10-a Clasa a 10-a · 84 exerciții cu binomul lui newton în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Binomul lui Newton #1 — Începător · 5 puncte Dezvoltarea lui $(a + b)^2$ este: A. $a^2 + b^2$ B. $a^2 - 2ab + b^2$ C. $a^2 + 2ab + b^2$ D. $2(a + b)$ **Răspuns corect:** C. $a^2 + 2ab + b^2$ **Rezolvare** Binomul lui Newton dă $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. --- ## Binomul lui Newton #2 — Începător · 5 puncte În dezvoltarea lui $(x + 1)^4$, coeficientul lui $x^2$ este: A. $2$ B. $4$ C. $6$ D. $12$ **Indiciu:** $C_{4}^{k}$ este coeficientul lui $x^{4-k}$ în dezvoltarea lui $(x + 1)^4$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** Coeficientul lui $x^2$ corespunde lui $k = 2$: $C_{4}^{2} = 6$. --- ## Binomul lui Newton #3 — Mediu · 5 puncte Termenul general $T_{k+1}$ din dezvoltarea lui $(2x + 3)^n$ este: A. $C_{n}^{k} 2^k x^k 3^{n-k}$ B. $C_{n}^{k} 2^{n-k} x^{n-k} 3^{n-k}$ C. $C_{n}^{k} (2x)^{n-k} 3^k$ D. $C_{n}^{k} 2^k 3^{n-k} x^{n-k}$ **Indiciu:** $T_{k+1} = C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$ în $(a + b)^n$. **Răspuns corect:** C. $C_{n}^{k} (2x)^{n-k} 3^k$ **Rezolvare** Cu $a = 2x$ și $b = 3$: $T_{k+1} = C_{n}^{k}(2x)^{n-k} 3^k$. --- ## Binomul lui Newton #4 — Mediu · 5 puncte Coeficientul lui $x^3$ în $(x + 2)^5$ este: A. $20$ B. $32$ C. $40$ D. $80$ **Indiciu:** $T_{k+1} = C_{5}^{k} x^{5-k} 2^k$. Exponentul lui $x$ este $5 - k = 3$. **Răspuns corect:** C. $40$ **Rezolvare** $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$. Coeficient: $C_{5}^{2} \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40$. --- ## Binomul lui Newton #5 — Mediu · 5 puncte Suma tuturor coeficienților binomiali din $(x + 1)^{10}$ este: A. $10$ B. $100$ C. $1024$ D. $2048$ **Indiciu:** Substituiți $x = 1$. **Răspuns corect:** C. $1024$ **Rezolvare** Suma coeficienților unui polinom $P(x)$ este $P(1)$. Deci $\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k} = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$. --- ## Binomul lui Newton #6 — Mediu · 5 puncte Valoarea lui $C_{6}^{0} - C_{6}^{1} + C_{6}^{2} - \cdots + C_{6}^{6}$ este: A. $0$ B. $1$ C. $32$ D. $64$ **Indiciu:** Aceasta este $(1 - 1)^6$ dezvoltat. **Răspuns corect:** A. $0$ **Rezolvare** $\sum_{k=0}^{6}(-1)^k C_{6}^{k} = (1 - 1)^6 = 0$. --- ## Binomul lui Newton #7 — Avansat · 5 puncte În dezvoltarea lui $\!\left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\right)^{6}$, numărul termenilor raționali (adică cu putere întreagă a lui $x$) este: A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$ **Indiciu:** Termenul general: $C_{6}^{k} x^{(6-k)/2} \cdot x^{-k} = C_{6}^{k} x^{(6 - 3k)/2}$. Exponentul este întreg când $6 - 3k$ este par. **Răspuns corect:** D. $4$ **Rezolvare** Exponentul $\dfrac{6 - 3k}{2}$ este întreg când $k$ este par: $k \in \{0, 2, 4, 6\}$ — patru valori. --- ## Binomul lui Newton #8 — Avansat · 5 puncte Determinați $n \in \mathbb{N}^*$ pentru care dezvoltarea binomială $(1 + x)^n$ are $11$ termeni. A. $9$ B. $10$ C. $11$ D. $12$ **Indiciu:** $(1 + x)^n$ are $n + 1$ termeni. **Răspuns corect:** B. $10$ **Rezolvare** $n + 1 = 11 \Rightarrow n = 10$. --- ## Binomul lui Newton #9 — Avansat · 5 puncte Termenul din mijloc al dezvoltării lui $(x + 1)^8$ are coeficientul: A. $28$ B. $56$ C. $70$ D. $128$ **Indiciu:** Pentru un exponent par $n = 8$, termenul din mijloc corespunde lui $k = n/2 = 4$. **Răspuns corect:** C. $70$ **Rezolvare** Coeficientul din mijloc: $C_{8}^{4} = 70$. --- ## Binomul lui Newton #10 — Expert · 5 puncte Fie dezvoltarea $(1+x)^n$. Știind că suma coeficienților binomiali de rang par, $$C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots = 512,$$ valoarea lui $n$ este: A. $9$ B. $8$ C. $11$ D. $10$ **Indiciu:** Adună dezvoltările lui $(1+1)^n=2^n$ și $(1-1)^n=0$: termenii de rang impar se anulează, iar cei de rang par se dublează. Obții identitatea $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=2^{n-1}$. **Răspuns corect:** D. $10$ **Rezolvare** Din binomul lui Newton: $$(1+1)^n = C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n = 2^n,$$ $$(1-1)^n = C_n^0-C_n^1+C_n^2-\cdots\pm C_n^n = 0.$$ Adunăm cele două relații: termenii de rang impar se anulează, iar cei de rang par se dublează: $$2\left(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots\right) = 2^n \implies C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots = 2^{n-1}.$$ Punem condiția din enunț: $$2^{n-1}=512=2^9 \implies n-1=9 \implies n=10.$$ Verificare directă pentru $n=10$: $C_{10}^0+C_{10}^2+C_{10}^4+C_{10}^6+C_{10}^8+C_{10}^{10} = 1+45+210+210+45+1 = 512$. ✓ --- ## Binomul lui Newton #11 — Expert · 5 puncte Numărul natural $n$ verifică egalitatea $\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$. Valoarea lui $\binom{n}{4}$ este: A. $56$ B. $70$ C. $28$ D. $84$ **Indiciu:** Folosește proprietatea $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. Ce relație obții între $3$, $5$ și $n$? **Răspuns corect:** B. $70$ **Rezolvare** Din $\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$ și proprietatea $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ rezultă $n - 3 = 5$, deci $n = 8$. Verificare: $\binom{8}{3} = \binom{8}{5} = 56$ ✓. $$\binom{n}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!\cdot 4!} = 70.$$ --- ## Binomul lui Newton #12 — Legendar · 5 puncte Se știe că în dezvoltarea expresiei $\left(\dfrac{2x^3+1}{x^2}\right)^n$ coeficienții termenilor $T_3$ și $T_4$ sunt egali. Valoarea lui $n$ este: A. $6$ B. $8$ C. $10$ D. $5$ **Indiciu:** Scrie fracția ca sumă de două puteri ale lui $x$: $\dfrac{2x^3+1}{x^2} = 2x + \dfrac{1}{x^2}$. Coeficientul (numeric) al lui $T_{k+1}$ este $\binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}$. Egalează coeficienții lui $T_3$ (k=2) și $T_4$ (k=3) și rezolvă pentru $n$. **Răspuns corect:** B. $8$ **Rezolvare** **Pasul 1 — desparte fracția.** $$\frac{2x^3+1}{x^2} = 2x + \frac{1}{x^2}.$$ **Pasul 2 — termenul general al lui $\left(2x + \dfrac{1}{x^2}\right)^n$.** $$T_{k+1} = \binom{n}{k}(2x)^{n-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k} \cdot x^{n-3k}.$$ Coeficientul numeric al lui $T_{k+1}$ este $c_k = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}$. **Pasul 3 — egalarea coeficienților $T_3$ și $T_4$.** $$T_3 \text{ (}k=2\text{): } c_2 = \binom{n}{2} \cdot 2^{n-2}.$$ $$T_4 \text{ (}k=3\text{): } c_3 = \binom{n}{3} \cdot 2^{n-3}.$$ $$c_2 = c_3 \Rightarrow \binom{n}{2} \cdot 2^{n-2} = \binom{n}{3} \cdot 2^{n-3}.$$ Împărțim ambii membri prin $2^{n-3}$: $$2\binom{n}{2} = \binom{n}{3}.$$ **Pasul 4 — rezolvarea ecuației.** $$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$ $$n(n-1) = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$ Deoarece $n \geq 4$, putem împărți prin $n(n-1) \neq 0$: $$1 = \frac{n-2}{6} \Rightarrow n - 2 = 6 \Rightarrow n = 8.$$ **Verificare:** $2\binom{8}{2} = 2 \cdot 28 = 56 = \binom{8}{3}$ ✓. ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.