[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/distante-si-arii

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/distante-si-arii**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/distante-si-arii** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Distanțe și arii — clasa a 10-a

Clasa a 10-a · 19 exerciții cu distanțe și arii în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Distanțe și arii #1 — Începător · 5 puncte

Distanța dintre $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$ este:

A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $7$

**Indiciu:** $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

**Răspuns corect:** C. $5$

**Rezolvare**

$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

---

## Distanțe și arii #2 — Începător · 5 puncte

Mijlocul segmentului $AB$ unde $A(2, 4)$ și $B(8, 10)$ este:

A. $(3, 5)$
B. $(4, 6)$
C. $(5, 7)$
D. $(6, 14)$

**Indiciu:** $M = \!\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

**Răspuns corect:** C. $(5, 7)$

**Rezolvare**

$M = \!\left(\dfrac{10}{2},\, \dfrac{14}{2}\right) = (5, 7)$.

---

## Distanțe și arii #3 — Mediu · 5 puncte

Un triunghi are vârfurile $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(0, 4)$. Aria sa este egală cu:

A. $6$
B. $10$
C. $12$
D. $24$

**Indiciu:** Triunghi dreptunghic cu catetele pe axe: aria $= \dfrac{1}{2} \cdot \text{baza} \cdot \text{înălțimea}$.

**Răspuns corect:** C. $12$

**Rezolvare**

Baza $= 6$, înălțimea $= 4$. Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

---

## Distanțe și arii #4 — Mediu · 5 puncte

Aria triunghiului cu vârfurile $A(1, 1)$, $B(4, 5)$, $C(7, 2)$ este:

A. $\dfrac{15}{2}$
B. $9$
C. $\dfrac{21}{2}$
D. $15$

**Indiciu:** Formula lui Gauss (șiretului): $\dfrac{1}{2}\,|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{21}{2}$

**Rezolvare**

$\text{Aria} = \dfrac{1}{2}\,|1(5 - 2) + 4(2 - 1) + 7(1 - 5)| = \dfrac{1}{2}\,|3 + 4 - 28| = \dfrac{1}{2} \cdot 21 = \dfrac{21}{2}$.

---

## Distanțe și arii #5 — Mediu · 5 puncte

Distanța de la origine la punctul $P(-3, 4)$ este:

A. $1$
B. $5$
C. $7$
D. $25$

**Răspuns corect:** B. $5$

**Rezolvare**

$d = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

---

## Distanțe și arii #6 — Mediu · 5 puncte

Punctele $A(1, 2)$, $B(3, 6)$, $C(5, 10)$ sunt:

A. coliniare
B. vârfurile unui triunghi dreptunghic
C. vârfurile unui triunghi isoscel
D. vârfurile unui triunghi echilateral

**Indiciu:** Trei puncte sunt coliniare dacă și numai dacă triunghiul pe care îl formează are aria $0$.

**Răspuns corect:** A. coliniare

**Rezolvare**

Aria $= \dfrac{1}{2}\,|1(6 - 10) + 3(10 - 2) + 5(2 - 6)| = \dfrac{1}{2}\,|-4 + 24 - 20| = 0$. Deci sunt coliniare.

---

## Distanțe și arii #7 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea punctelor $(x, y)$ echidistante față de $A(0, 0)$ și $B(4, 0)$ este dreapta:

A. $y = 2$
B. $y = 0$
C. $x = 2$
D. $x = 0$

**Indiciu:** Punctele echidistante față de două puncte = mediatoarea segmentului.

**Răspuns corect:** C. $x = 2$

**Rezolvare**

Egalăm $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$. Ridicând la pătrat: $x^2 = (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$, deci $8x = 16$, $x = 2$.

---

## Distanțe și arii #8 — Avansat · 5 puncte

Un patrulater $ABCD$ are vârfurile $A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3)$. Aria sa este:

A. $9$
B. $10$
C. $12$
D. $15$

**Indiciu:** $ABCD$ este un paralelogram (laturile $AB$ și $DC$ sunt paralele și egale). Folosiți baza × înălțimea.

**Răspuns corect:** C. $12$

**Rezolvare**

$\overrightarrow{AB} = (4, 0)$ și $\overrightarrow{DC} = (4, 0)$ — același vector, deci $ABCD$ este paralelogram. Baza $= 4$, înălțimea $= 3$. Aria $= 12$.

---

## Distanțe și arii #9 — Avansat · 5 puncte

Se dau punctele $A(3,1)$ și $B(-1,5)$. Punctul $M$, situat pe axa $Oy$, este egal depărtat de $A$ și $B$. Coordonatele lui $M$ sunt:

A. $(0,4)$
B. $(0,-2)$
C. $(0,2)$
D. $(0,6)$

**Indiciu:** Scrie $M(0,y)$ și pune condiția $MA^2=MB^2$ (nu $MA=MB$ direct, ca să eviți radicalii). Termenii de gradul $2$ în $y$ se reduc, rămânând o ecuație liniară.

**Răspuns corect:** C. $(0,2)$

**Rezolvare**

Fie $M(0,y)$. Condiția $MA=MB$ e echivalentă cu $MA^2=MB^2$:
$$(0-3)^2+(y-1)^2 = (0+1)^2+(y-5)^2.$$

Dezvoltăm: $9+y^2-2y+1 = 1+y^2-10y+25 \iff 10-2y = 26-10y \iff 8y=16 \iff y=2.$

Deci $M(0,2)$.

Verificare: $MA^2=(0-3)^2+(2-1)^2=9+1=10$; $MB^2=(0+1)^2+(2-5)^2=1+9=10$ — egale. ✓

---

## Distanțe și arii #10 — Expert · 5 puncte

Triunghiul $ABC$ are $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$. Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului sunt:

A. $\left(2,\dfrac83\right)$
B. $(3,0)$
C. $(3,4)$
D. $(0,4)$

**Indiciu:** Verifică mai întâi dacă triunghiul are un unghi drept (produsul scalar a două laturi care pornesc din același vârf). Dacă da, centrul cercului circumscris e mijlocul ipotenuzei — nu trebuie rezolvat sistemul celor două mediatoare.

**Răspuns corect:** C. $(3,4)$

**Rezolvare**

Verificăm unghiul din $A$: $\vec{AB}=(6,0)$, $\vec{AC}=(0,8)$, iar $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=6\cdot0+0\cdot8=0$ — deci $\widehat A=90°$, triunghiul e dreptunghic în $A$, iar $BC$ e ipotenuza.

**Proprietate cheie:** centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei (ipotenuza e diametru).

$$O = \text{mijlocul } BC = \left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3,4).$$

Verificare: $OA^2=3^2+4^2=25$, $OB^2=(3-6)^2+4^2=9+16=25$, $OC^2=3^2+(4-8)^2=9+16=25$ — toate egale, deci $O$ e echidistant de cele trei vârfuri. ✓ ($\left(2,\frac83\right)$ e centrul de greutate — o confuzie frecventă, nu centrul cercului circumscris.)

---

## Distanțe și arii #11 — Expert · 5 puncte

Se dau punctele $A(1,5)$ și $B(4,2)$. Punctul $M$, situat pe axa $Ox$, este egal depărtat de $A$ și $B$. Coordonatele lui $M$ sunt:

A. $(-1,0)$
B. $(1,0)$
C. $(-6,0)$
D. $(0,-1)$

**Indiciu:** Scrie $M(x,0)$ și pune condiția $MA^2=MB^2$ (nu $MA=MB$ direct, ca să eviți radicalii). Termenii de gradul $2$ în $x$ se reduc, rămânând o ecuație liniară.

**Răspuns corect:** A. $(-1,0)$

**Rezolvare**

Fie $M(x,0)$. Condiția $MA=MB$ e echivalentă cu $MA^2=MB^2$:
$$(x-1)^2+5^2 = (x-4)^2+2^2.$$

Dezvoltăm: $x^2-2x+1+25 = x^2-8x+16+4 \iff -2x+26=-8x+20 \iff 6x=-6 \iff x=-1.$

Deci $M(-1,0)$.

Verificare: $MA^2=(-1-1)^2+5^2=4+25=29$; $MB^2=(-1-4)^2+2^2=25+4=29$ — egale. ✓

---

## Distanțe și arii #12 — Legendar · 5 puncte

Fie $A(0,0)$, $B(6,3)$ și punctul variabil $C(2t+1,\,t+4)$, $t\in\mathbb{R}$. Aria triunghiului $ABC$ (aceeași pentru orice $t$) este egală cu:

A. $\dfrac{21}2$
B. $21$
C. $\dfrac{21}4$
D. $12$

**Indiciu:** Compară direcția de mișcare a lui $C$ (vectorul director al traiectoriei sale, când $t$ crește) cu direcția lui $AB$. Dacă sunt paralele, înălțimea din $C$ pe $AB$ nu se schimbă niciodată — aria e automat constantă.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{21}2$

**Rezolvare**

**Recunoașterea cheie:** când $t$ variază, $C(2t+1,t+4)$ se deplasează pe o dreaptă cu vector director $(2,1)$ (coeficienții lui $t$). Vectorul $\vec{AB}=(6,3)=3\cdot(2,1)$ este **paralel** cu această direcție — deci $C$ se mișcă mereu pe o dreaptă paralelă cu $AB$. Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ (adică înălțimea triunghiului) rămâne așadar constantă, indiferent de $t$, deci și aria e constantă.

Calculăm efectiv, cu formula determinantului:
$$2\cdot\text{Aria} = \big|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\big| = |6(t+4) - 3(2t+1)| = |6t+24-6t-3| = 21.$$

Parametrul $t$ dispare complet din calcul, confirmând invarianța. Aria este $\dfrac{21}2$.

Verificare numerică: la $t=0$, $C(1,4)$, aria $=\dfrac12|6\cdot4-3\cdot1|=\dfrac12\cdot21=\dfrac{21}2$; la $t=5$, $C(11,9)$, aria $=\dfrac12|6\cdot9-11\cdot3|=\dfrac12|54-33|=\dfrac{21}2$ — identic. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.