[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/drepte-in-plan

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/drepte-in-plan**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/drepte-in-plan** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Drepte în plan — clasa a 10-a

Clasa a 10-a · 37 exerciții cu drepte în plan în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Drepte în plan #1 — Începător · 5 puncte

Panta dreptei $y = 3x - 7$ este:

A. $-7$
B. $-3$
C. $3$
D. $7$

**Răspuns corect:** C. $3$

**Rezolvare**

În forma $y = mx + b$, panta este $m = 3$.

---

## Drepte în plan #2 — Începător · 5 puncte

Ordonata la origine a dreptei $y = -2x + 5$ este:

A. $-5$
B. $-2$
C. $5$
D. $2$

**Răspuns corect:** C. $5$

**Rezolvare**

Termenul liber din forma $y = mx + b$ este ordonata la origine: $b = 5$.

---

## Drepte în plan #3 — Mediu · 5 puncte

O dreaptă paralelă cu $y = -3x + 2$ care trece prin $(1, 4)$ are ecuația:

A. $y = 3x + 1$
B. $y = -3x + 4$
C. $y = -3x + 7$
D. $y = \dfrac{1}{3}x + 4$

**Indiciu:** Dreptele paralele au aceeași pantă.

**Răspuns corect:** C. $y = -3x + 7$

**Rezolvare**

Panta $= -3$. Dreapta prin $(1, 4)$: $y - 4 = -3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 7$.

---

## Drepte în plan #4 — Mediu · 5 puncte

O dreaptă perpendiculară pe $y = 2x + 1$ care trece prin origine are panta:

A. $-2$
B. $-\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $2$

**Indiciu:** Pantele dreptelor perpendiculare se înmulțesc la $-1$.

**Răspuns corect:** B. $-\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

$m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

---

## Drepte în plan #5 — Mediu · 5 puncte

Distanța de la $A(2, 3)$ la dreapta $3x - 4y + 5 = 0$ este:

A. $\dfrac{1}{5}$
B. $\dfrac{2}{5}$
C. $\dfrac{3}{5}$
D. $1$

**Indiciu:** $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{5}$

**Rezolvare**

$d = \dfrac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|-1|}{5} = \dfrac{1}{5}$.

---

## Drepte în plan #6 — Mediu · 5 puncte

Dreapta $2x - 3y + 6 = 0$ intersectează axa $Ox$ în:

A. $(-3, 0)$
B. $(0, -3)$
C. $(0, 2)$
D. $(3, 0)$

**Indiciu:** Intersecția cu $Ox$ se obține punând $y = 0$.

**Răspuns corect:** A. $(-3, 0)$

**Rezolvare**

$2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$, deci dreapta intersectează $Ox$ în $(-3, 0)$.

---

## Drepte în plan #7 — Avansat · 5 puncte

Dreptele $y = 2x - 1$ și $y = -x + 5$ se intersectează în punctul:

A. $(0, -1)$
B. $(1, 4)$
C. $(2, 3)$
D. $(3, 2)$

**Indiciu:** Egalați membrii drepți și rezolvați în raport cu $x$.

**Răspuns corect:** C. $(2, 3)$

**Rezolvare**

$2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, $y = 3$. Intersecția: $(2, 3)$.

---

## Drepte în plan #8 — Avansat · 5 puncte

Mediatoarea segmentului de la $A(0, 0)$ la $B(4, 0)$ are ecuația:

A. $y = 2$
B. $y = 0$
C. $x = 2$
D. $x = 0$

**Indiciu:** Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe el.

**Răspuns corect:** C. $x = 2$

**Rezolvare**

Mijlocul: $(2, 0)$. Segmentul $AB$ este orizontal, deci mediatoarea este verticală prin $(2, 0)$: $x = 2$.

---

## Drepte în plan #9 — Avansat · 5 puncte

Ecuația dreptei paralele cu $d: 3x-2y+5=0$, care trece prin punctul $A(2,-1)$, este:

A. $3x-2y+5=0$
B. $2x-3y-7=0$
C. $3x-2y+2=0$
D. $3x-2y-8=0$

**Indiciu:** Orice dreaptă paralelă cu $d: 3x-2y+5=0$ are aceiași coeficienți $A=3,\,B=-2$, doar termenul liber diferă: $3x-2y+C=0$. Determină $C$ din condiția $A(2,-1)\in$ dreaptă.

**Răspuns corect:** D. $3x-2y-8=0$

**Rezolvare**

O dreaptă paralelă cu $d$ păstrează coeficienții lui $x$ și $y$: $3x-2y+C=0$, pentru un anume $C\neq5$ (altfel ar coincide cu $d$).

Punem condiția ca $A(2,-1)$ să aparțină dreptei:
$$3\cdot2-2\cdot(-1)+C=0 \implies 6+2+C=0 \implies C=-8.$$

Ecuația căutată este $3x-2y-8=0$.

Verificare: $A(2,-1)$: $3\cdot2-2\cdot(-1)-8=6+2-8=0$ ✓. Coeficienții $(3,-2)$ sunt identici cu ai lui $d$, deci dreptele sunt paralele (și distincte, deoarece $-8\neq5$). ✓

---

## Drepte în plan #10 — Expert · 5 puncte

Dreptele $d_1: 2x-y-1=0$ și $d_2: x+y-5=0$ se intersectează în punctul $P$. Ecuația dreptei care trece prin $P$ și prin punctul $C(0,4)$, **fără a calcula explicit coordonatele lui $P$**, este:

A. $2x+y-7=0$
B. $x+2y-6=0$
C. $x+2y-8=0$
D. $3x-y-3=0$

**Indiciu:** Orice dreaptă prin $P$ (cu excepția lui $d_2$ însuși) se scrie ca fascicul $d_1+\lambda d_2=0$, pentru un anume $\lambda$. Determină $\lambda$ punând condiția ca fasciculul să treacă prin $C(0,4)$.

**Răspuns corect:** C. $x+2y-8=0$

**Rezolvare**

Fasciculul de drepte prin $P$ (intersecția lui $d_1$ și $d_2$) este
$$(2x-y-1) + \lambda(x+y-5) = 0.$$

Punem condiția ca această dreaptă să treacă prin $C(0,4)$:
$$(0-4-1) + \lambda(0+4-5) = 0 \implies -5 - \lambda = 0 \implies \lambda=-5.$$

Înlocuind:
$$(2x-y-1) - 5(x+y-5) = 0 \implies 2x-y-1-5x-5y+25=0 \implies -3x-6y+24=0,$$
adică, după împărțirea prin $-3$: $x+2y-8=0$.

Verificare: $P$ (rezolvând separat $d_1\cap d_2$) este $\left(\dfrac15,\dfrac75\right)$, iar $\dfrac15+2\cdot\dfrac75-8=\dfrac15+\dfrac{14}5-8=3-8=-5$... recalculăm corect: $\dfrac15+\dfrac{14}{5}=\dfrac{15}{5}=3$, iar $3-8=-5\neq 0$ — deci verificăm cu grijă: de fapt $P=(2,3)$ (din $2x-y=1$ și $x+y=5$: $3x=6\Rightarrow x=2,\,y=3$), iar $2+2\cdot3-8=2+6-8=0$ ✓. Prin $C(0,4)$: $0+8-8=0$ ✓.

---

## Drepte în plan #11 — Expert · 5 puncte

Dreapta $d$ trece prin punctul $A(2,3)$ și determină pe cele două axe de coordonate segmente egale ca lungime, ambele diferite de origine. Ecuația dreptei $d$ este:

A. $x+y+5=0$
B. $x+y-5=0$
C. $3x-2y=0$
D. $2x-y-1=0$

**Indiciu:** O dreaptă cu tăieturi egale și nenule pe axe are forma $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1$, adică $x+y=a$ (pantă $-1$). Dreapta prin origine care „trece" prin $A$ NU are tăieturi nenule — se exclude.

**Răspuns corect:** B. $x+y-5=0$

**Rezolvare**

O dreaptă cu tăieturi nenule și egale pe axe (fie ele ambele egale cu $a\neq 0$) are ecuația
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1 \iff x+y=a.$$

Punând condiția ca $A(2,3)\in d$: $2+3=a \Rightarrow a=5$.

Deci $d: x+y-5=0$.

**Capcana:** dreapta $3x-2y=0$ trece și ea prin $A(2,3)$ (deoarece $3\cdot2-2\cdot3=0$), dar taie ambele axe **în origine** — tăieturile sale sunt amândouă $0$, deci nu sunt „segmente diferite de origine" cum cere enunțul; se exclude.

Verificare: intersecția cu $Ox$ este $(5,0)$, cu $Oy$ este $(0,5)$ — segmente egale, ambele nenule, iar $2+3-5=0$ confirmă că $A\in d$. ✓

---

## Drepte în plan #12 — Legendar · 5 puncte

Fie familia de drepte $d_m: (m^2+2m)x + (3m^2+m+4)y + 2m^2-m+4 = 0$, $m \in \mathbb{R}$. Există un punct fix prin care trece $d_m$ pentru **orice** valoare a lui $m$. Coordonatele acestui punct sunt:

A. $(-1,1)$
B. $(1,-1)$
C. $(1,1)$
D. $(-1,-1)$

**Indiciu:** Spre deosebire de un fascicul obișnuit, expresia e de gradul $2$ în $m$. Grupeaz-o după puterile $m^2$, $m^1$, $m^0$ — vei obține **trei** ecuații în $x,y$. Rezolvă din două dintre ele, apoi verifică-le cu a treia.

**Răspuns corect:** B. $(1,-1)$

**Rezolvare**

Grupăm după puterile lui $m$:
$$\underbrace{(x+3y+2)}_{\text{coef. lui }m^2}m^2 + \underbrace{(2x+y-1)}_{\text{coef. lui }m}m + \underbrace{(4y+4)}_{\text{termen liber}} = 0.$$

Pentru ca ecuația să aibă loc pentru **orice** $m$ (o infinitate de valori), fiecare din cei trei coeficienți trebuie să fie nul — obținem un sistem de **trei** ecuații cu **două** necunoscute:
$$x+3y+2=0, \qquad 2x+y-1=0, \qquad 4y+4=0.$$

Din a treia: $y=-1$. Din a doua: $2x-1-1=0 \Rightarrow x=1$.

**Pasul de verificare (esențial):** înlocuim în prima ecuație, care nu a fost încă folosită: $1+3(-1)+2 = 1-3+2=0$ ✓ — sistemul e consistent, deci punctul fix există cu adevărat și este $(1,-1)$.

Verificare numerică directă: pentru $m=1$, $d_1: 3x+8y+5=0$, iar $3-8+5=0$ ✓; pentru $m=-2$, $d_{-2}: 0\cdot x+14y+10=0 \Rightarrow y=-\dfrac{10}{14}$... recalculăm: coeficientul lui $x$ la $m=-2$ este $4-4=0$, cel al lui $y$ este $12-2+4=14$, termenul liber $8+2+4=14$, deci $d_{-2}: 14y+14=0 \Rightarrow y=-1$ (orice $x$!) — compatibil cu $(1,-1)$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.