[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/numere-complexe

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/numere-complexe**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/numere-complexe** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Numere complexe — clasa a 10-a

Clasa a 10-a · 126 exerciții cu numere complexe în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Numere complexe #1 — Începător · 5 puncte

Calculați modulul lui $z = 3 + 4i$.

A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $7$

**Indiciu:** $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

**Răspuns corect:** C. $5$

**Rezolvare**

$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

---

## Numere complexe #2 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $(1 + i)^2$ este:

A. $1$
B. $1 + 2i$
C. $2i$
D. $1 - 2i$

**Indiciu:** $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ și $i^2 = -1$.

**Răspuns corect:** C. $2i$

**Rezolvare**

$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

---

## Numere complexe #3 — Mediu · 5 puncte

Numărul complex $\dfrac{1 + i}{1 - i}$ este egal cu:

A. $0$
B. $1$
C. $i$
D. $-i$

**Indiciu:** Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului.

**Răspuns corect:** C. $i$

**Rezolvare**

$\dfrac{1 + i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{(1 + i)^2}{1 - i^2} = \dfrac{2i}{2} = i$.

---

## Numere complexe #4 — Mediu · 5 puncte

Forma trigonometrică a lui $z = -1 + i\sqrt{3}$ este:

A. $2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
B. $\sqrt{3}\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$
C. $2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$
D. $2\!\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$

**Indiciu:** Calculați $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2}$, apoi găsiți argumentul observând că $z$ se află în cadranul al doilea.

**Răspuns corect:** C. $2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$

**Rezolvare**

$|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$. Argument: $\tg\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$, cu $z$ în cadranul al doilea, deci $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Astfel $z = 2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

---

## Numere complexe #5 — Mediu · 5 puncte

Calculați $(1 + i)^{8}$.

A. $-16$
B. $8i$
C. $16$
D. $256$

**Indiciu:** Scrieți $1 + i = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$, apoi aplicați formula lui De Moivre.

**Răspuns corect:** C. $16$

**Rezolvare**

$(1 + i)^8 = \!\left[\sqrt{2}\right]^{8} \cdot \!\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16 \cdot (1 + 0) = 16$.

---

## Numere complexe #6 — Mediu · 5 puncte

Numărul soluțiilor complexe distincte ale ecuației $z^n = 1$ (unde $n \ge 1$) este:

A. $1$
B. $2$
C. $n$
D. $2n$

**Indiciu:** Rădăcinile de ordin $n$ ale unității sunt $\varepsilon_k = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}$ pentru $k = 0, 1, \ldots, n-1$.

**Răspuns corect:** C. $n$

**Rezolvare**

Prin Teorema Fundamentală a Algebrei (sau formula lui De Moivre), ecuația $z^n = 1$ are exact $n$ rădăcini complexe distincte, rădăcinile de ordin $n$ ale unității $\varepsilon_k = e^{2\pi i k/n}$, $k = 0, \ldots, n-1$.

---

## Numere complexe #7 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea numerelor complexe $z$ care satisfac $|z - 1| = |z + 1|$ este:

A. Un cerc centrat în origine
B. Un cerc centrat în $1$
C. Axa imaginară
D. Axa reală

**Indiciu:** $|z - a| = |z - b|$ descrie mediatoarea segmentului $[a, b]$ în planul complex.

**Răspuns corect:** C. Axa imaginară

**Rezolvare**

$|z - 1| = |z - (-1)|$ descrie mulțimea punctelor echidistante față de $1$ și $-1$. Aceasta este mediatoarea segmentului dintre ele, adică axa imaginară $\operatorname{Re}(z) = 0$.

---

## Numere complexe #8 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea tuturor soluțiilor complexe ale ecuației $z^2 = -4$ este:

A. $\{2, -2\}$
B. $\{2i\}$
C. $\{2i, -2i\}$
D. $\{1 + i, -1 - i\}$

**Indiciu:** $z^2 = -4 = 4i^2 \Rightarrow z = \pm 2i$.

**Răspuns corect:** C. $\{2i, -2i\}$

**Rezolvare**

$z^2 = -4 \Rightarrow z^2 + 4 = 0 \Rightarrow (z - 2i)(z + 2i) = 0$. Soluții: $z = 2i$ sau $z = -2i$.

---

## Numere complexe #9 — Avansat · 5 puncte

Pentru $n \ge 2$, suma tuturor rădăcinilor de ordin $n$ ale unității este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $n$
D. $\dfrac{1}{n}$

**Indiciu:** Rădăcinile sunt rădăcini ale lui $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + z + 1) = 0$. Aplicați relațiile lui Viète la $z^n - 1 = 0$.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

Polinomul $z^n - 1$ are coeficientul lui $z^{n-1}$ egal cu zero, deci prin relațiile lui Viète suma rădăcinilor este $0$. Echivalent, suma geometrică $\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k / n} = \dfrac{1 - 1}{1 - e^{2\pi i / n}} = 0$ (pentru $n \ge 2$).

---

## Numere complexe #10 — Expert · 5 puncte

Fie $z_1, z_2, z_3, z_4, z_5$ soluțiile complexe ale ecuației $z^5=32$. Suma $z_1+z_2+z_3+z_4+z_5$ este:

A. 0
B. 32
C. 10
D. 2

**Indiciu:** Rădăcinile ecuației $z^5-32=0$ satisfac relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este $-\dfrac{\text{coeficientul lui }z^4}{\text{coeficientul lui }z^5}$.

**Răspuns corect:** A. 0

**Rezolvare**

Ecuația $z^5=32$ se scrie $z^5-32=0$, un polinom de gradul $5$ cu coeficientul lui $z^4$ egal cu $0$.

Prin relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $-\dfrac{0}{1}=0$.

Verificare prin forma trigonometrică (Moivre): modulul fiecărei rădăcini este $\sqrt[5]{32}=2$, iar argumentele sunt $\dfrac{2k\pi}{5}$, pentru $k=0,1,2,3,4$, deci $z_k=2\left(\cos\dfrac{2k\pi}{5}+i\sin\dfrac{2k\pi}{5}\right)$.

Notând $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}$, suma este $2\left(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\right)$, o progresie geometrică de rație $\omega\neq1$ cu $5$ termeni; cum $\omega$ este rădăcină de ordinul $5$ a unității, numărătorul $\omega^{5}-1$ se anulează, deci paranteza este $0$.

$$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0$$

---

## Numere complexe #11 — Expert · 5 puncte

Fie $\varepsilon$ o rădăcină de ordin $5$ a unității, $\varepsilon\neq 1$. Valoarea sumei
$$1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\varepsilon^4$$
este:

A. $5$
B. $1$
C. $0$
D. $-1$

**Indiciu:** Termenii $1,\varepsilon,\varepsilon^2,\varepsilon^3,\varepsilon^4$ sunt exact toate rădăcinile de ordin $5$ ale unității, luate o singură dată fiecare. Folosește formula sumei unei progresii geometrice sau relațiile lui Viète pentru $z^5-1=0$.

**Răspuns corect:** C. $0$

**Rezolvare**

Numărul $\varepsilon$ este o rădăcină primitivă de ordin $5$ a unității, deci puterile $\varepsilon^0=1,\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3,\varepsilon^4$ parcurg exact cele $5$ rădăcini distincte ale ecuației $z^5=1$.

Suma tuturor rădăcinilor polinomului $z^5-1=0$ este, prin relațiile lui Viète, egală cu opusul coeficientului lui $z^4$ (care este $0$, întrucât $z^5-1$ nu conține termen în $z^4$):
$$1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\varepsilon^4 = 0.$$

(Echivalent: este suma unei progresii geometrice cu rația $\varepsilon\neq1$: $\dfrac{\varepsilon^5-1}{\varepsilon-1}=\dfrac{1-1}{\varepsilon-1}=0$.)

Verificare numerică: pentru $\varepsilon=\cos72^\circ+i\sin72^\circ$, suma celor $5$ termeni calculată numeric este $\approx0+0i$ (eroare de rotunjire de ordinul $10^{-15}$). ✓

---

## Numere complexe #12 — Legendar · 5 puncte

Fie $z_1, z_2, \ldots, z_6$ rădăcinile ecuației $z^6 = -64$ în $\mathbb{C}$. Produsul tuturor rădăcinilor cu **partea reală strict pozitivă** este:

A. $-4$
B. $8$
C. $4$
D. $4\sqrt{3}$

**Indiciu:** Scrie $-64 = 64(\cos\pi + i\sin\pi)$ și determină toate cele 6 rădăcini de forma $2\!\left(\cos\dfrac{\pi + 2k\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi+2k\pi}{6}\right)$, $k = 0,1,\ldots,5$.

**Răspuns corect:** C. $4$

**Rezolvare**

Scriem $-64 = 64(\cos\pi + i\sin\pi)$. Cele 6 rădăcini sunt:

$$z_k = 2\!\left(\cos\frac{(2k+1)\pi}{6} + i\sin\frac{(2k+1)\pi}{6}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, 5.$$

Calculând pentru fiecare $k$:

$$k=0:\; \frac{\pi}{6} \Rightarrow z_0 = \sqrt{3}+i, \quad k=1:\; \frac{\pi}{2} \Rightarrow z_1 = 2i,$$
$$k=2:\; \frac{5\pi}{6} \Rightarrow z_2 = -\sqrt{3}+i, \quad k=3:\; \frac{7\pi}{6} \Rightarrow z_3 = -\sqrt{3}-i,$$
$$k=4:\; \frac{3\pi}{2} \Rightarrow z_4 = -2i, \quad k=5:\; \frac{11\pi}{6} \Rightarrow z_5 = \sqrt{3}-i.$$

Rădăcinile cu parte reală strict pozitivă sunt $z_0 = \sqrt{3}+i$ și $z_5 = \sqrt{3}-i$.

Produsul lor:

$$z_0 \cdot z_5 = (\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i) = 3 - i^2 = 3 + 1 = 4.$$

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.