[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/permutari-aranjamente-combinari > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/permutari-aranjamente-combinari** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/permutari-aranjamente-combinari** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Permutări, Aranjamente și Combinări — clasa a 10-a Clasa a 10-a · 173 exerciții cu permutări, aranjamente și combinări în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Permutări, Aranjamente și Combinări #1 — Începător · 5 puncte Valoarea lui $5!$ este: A. $25$ B. $60$ C. $120$ D. $720$ **Răspuns corect:** C. $120$ **Rezolvare** $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #2 — Începător · 5 puncte Numărul de moduri de a aranja $4$ cărți distincte pe un raft este: A. $4$ B. $16$ C. $24$ D. $256$ **Indiciu:** Acesta este $P_4 = 4!$. **Răspuns corect:** C. $24$ **Rezolvare** $4! = 24$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #3 — Mediu · 5 puncte Numărul de coduri din $3$ litere care se pot forma folosind litere din $\{A, B, C, D, E\}$ fără repetiție este: A. $15$ B. $20$ C. $60$ D. $125$ **Indiciu:** Acesta este $A_5^3 = \dfrac{5!}{(5-3)!}$. **Răspuns corect:** C. $60$ **Rezolvare** $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #4 — Mediu · 5 puncte Numărul de submulțimi cu $3$ elemente ale unei mulțimi cu $5$ elemente este: A. $5$ B. $10$ C. $15$ D. $60$ **Indiciu:** $C_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. **Răspuns corect:** B. $10$ **Rezolvare** $C_{5}^{3} = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #5 — Mediu · 5 puncte Determinați $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, astfel încât $C_{n}^{2} = 15$. A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $15$ **Indiciu:** $C_{n}^{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** $\dfrac{n(n-1)}{2} = 15 \Rightarrow n^2 - n - 30 = 0 \Rightarrow n \in \{6, -5\}$. Singura valoare admisibilă este $n = 6$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #6 — Mediu · 5 puncte Numărul de numere de două cifre cu cifre distincte formate din $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ este: A. $10$ B. $20$ C. $25$ D. $32$ **Indiciu:** Prima cifră: $5$ variante; a doua cifră: $4$ variante rămase. **Răspuns corect:** B. $20$ **Rezolvare** $5 \cdot 4 = 20$, ceea ce este $A_5^2$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #7 — Avansat · 5 puncte Folosind identitatea lui Pascal $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$, calculați $C_{7}^{3} + C_{7}^{4}$. A. $35$ B. $56$ C. $70$ D. $128$ **Indiciu:** $C_{7}^{3} + C_{7}^{4} = C_{8}^{4}$. **Răspuns corect:** C. $70$ **Rezolvare** Prin Pascal: $C_{7}^{3} + C_{7}^{4} = C_{8}^{4} = \dfrac{8!}{4!\,4!} = 70$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #8 — Avansat · 5 puncte La o întâlnire, fiecare pereche de persoane dă mâna exact o dată. Dacă sunt în total $45$ de strângeri de mână, câte persoane sunt? A. $9$ B. $9.5$ C. $10$ D. $45$ **Indiciu:** $C_{n}^{2} = 45$. **Răspuns corect:** C. $10$ **Rezolvare** $\dfrac{n(n-1)}{2} = 45 \Rightarrow n(n-1) = 90 \Rightarrow n = 10$. --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #9 — Avansat · 5 puncte Un grup format din $4$ băieți și $3$ fete trebuie așezat în rând astfel încât cele $3$ fete să stea alăturate (grupate). Numărul de așezări posibile este: A. $5040$ B. $720$ C. $144$ D. $360$ **Indiciu:** Tratează cele $3$ fete ca un singur „bloc"; numără așezările blocului împreună cu cei $4$ băieți, apoi înmulțește cu numărul de așezări interne ale fetelor. **Răspuns corect:** B. $720$ **Rezolvare** Tratăm cele $3$ fete ca un singur bloc (deoarece trebuie să stea alăturate). Rămân de așezat în rând $4$ băieți $+\ 1$ bloc $= 5$ „unități", ceea ce se poate face în $5!$ moduri. În interiorul blocului, cele $3$ fete pot fi ordonate în $3!$ moduri. Numărul total de așezări: $$5!\cdot 3! = 120\cdot 6 = 720.$$ Verificare: fără restricție, toate cele $7$ persoane s-ar așeza în $7!=5040$ moduri; cu restricția „fetele alăturate", numărul scade la $720$, deoarece $720=5!\cdot3!$ numără doar așezările în care cele $3$ fete apar consecutiv (ca bloc), o submulțime strictă a celor $5040$ de așezări posibile. ✓ --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #10 — Expert · 5 puncte Câte numere de patru cifre au cifrele în ordine strict crescătoare (de exemplu $1358$)? A. $210$ B. $126$ C. $3024$ D. $84$ **Indiciu:** Fiecărei mulțimi de patru cifre îi corespunde **exact un** număr cu cifre crescătoare. Poate apărea cifra $0$ într-un astfel de număr? **Răspuns corect:** B. $126$ **Rezolvare** **Pasul de recunoaștere:** o mulțime de patru cifre distincte determină **unic** numărul cu cifrele în ordine crescătoare (există o singură ordonare crescătoare). Deci nu numărăm aranjamente, ci submulțimi. Cifra $0$ nu poate apărea: fiind cea mai mică, ar trebui să stea pe prima poziție, ceea ce nu e permis. Așadar cifrele se aleg din $\{1,2,\dots,9\}$: $$\mathrm{C}_9^4=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{24}=126.$$ (Verificat prin enumerarea completă a celor $126$ de submulțimi de câte $4$ elemente ale $\{1,\dots,9\}$.) ✓ --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #11 — Expert · 5 puncte În câte moduri se pot distribui $10$ bile identice în $3$ cutii distincte, astfel încât fiecare cutie să conțină cel puțin o bilă? A. $66$ B. $120$ C. $27$ D. $36$ **Indiciu:** Așază cele $10$ bile în rând; între ele există $9$ spații. O distribuție corespunde alegerii a $2$ spații în care pui separatoare. **Răspuns corect:** D. $36$ **Rezolvare** Bilele fiind identice, o distribuție este determinată de tripletul $(a,b,c)$ cu $a+b+c=10$ și $a,b,c\ge 1$. **Metoda separatoarelor:** așezăm cele $10$ bile în rând; între ele apar $9$ spații. Alegând $2$ spații distincte pentru două separatoare, obținem exact trei grupe nevide: $$\mathrm{C}_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36.$$ (Verificat prin enumerarea completă a tripletelor: exact $36$.) Observație: dacă cutiile ar putea rămâne goale, răspunsul ar fi $\mathrm{C}_{10+2}^{2}=\mathrm{C}_{12}^2=66$. ✓ --- ## Permutări, Aranjamente și Combinări #12 — Legendar · 5 puncte Valoarea sumei $\displaystyle S = \sum_{k=0}^{8} \binom{9}{k}\binom{9}{k+1}$ este: A. $48620$ B. $43758$ C. $31824$ D. $12870$ **Indiciu:** Scrie $\binom{9}{k+1}=\binom{9}{8-k}$ (simetria combinărilor) și recunoaște suma ca o convoluție Vandermonde $\sum_k \binom{9}{k}\binom{9}{8-k}$, care numără alegeri de $8$ elemente din $18$. **Răspuns corect:** B. $43758$ **Rezolvare** Folosim simetria $\binom{9}{k+1} = \binom{9}{9-(k+1)} = \binom{9}{8-k}$, deci suma devine: $$S = \sum_{k=0}^{8} \binom{9}{k}\binom{9}{8-k}$$ Aceasta este exact convoluția Vandermonde generală $\sum_{k=0}^{p}\binom{m}{k}\binom{n}{p-k} = \binom{m+n}{p}$, aplicată cu $m=n=9$ și $p=8$: $$S = \binom{9+9}{8} = \binom{18}{8}$$ Calculăm: $$\binom{18}{8} = 43758$$ **Verificare (identitate combinatorică):** $\binom{18}{8}$ numără submulțimile de $8$ elemente dintr-o mulțime de $18$ elemente, împărțită în două grupe de câte $9$; alegând $k$ elemente din prima grupă și $8-k$ din a doua, pentru $k=0,\dots,8$, se obține exact $\sum_{k=0}^{8}\binom{9}{k}\binom{9}{8-k} = \sum_{k=0}^{8}\binom{9}{k}\binom{9}{k+1}$, confirmând $S=43758$. (Nu se confundă cu $\binom{18}{9}=48620$, valoarea convoluției **nedecalate** $\sum\binom{9}{k}^2$.) ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.