[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/polinoame > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/polinoame** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/polinoame** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Polinoame în ℂ — clasa a 10-a Clasa a 10-a · 40 exerciții cu polinoame în ℂ în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Polinoame în ℂ #1 — Începător · 5 puncte Gradul polinomului $P(X) = 2X^4 - 5X^3 + X^2 - 7$ este: A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $7$ **Răspuns corect:** C. $4$ **Rezolvare** Gradul este cel mai mare exponent al lui $X$ cu coeficient nenul. Aici este $4$. --- ## Polinoame în ℂ #2 — Începător · 5 puncte Pentru $P(X) = X^3 - 2X + 5$, valoarea lui $P(2)$ este: A. $5$ B. $7$ C. $9$ D. $13$ **Răspuns corect:** C. $9$ **Rezolvare** $P(2) = 8 - 4 + 5 = 9$. --- ## Polinoame în ℂ #3 — Mediu · 5 puncte Restul împărțirii lui $P(X) = X^3 + 2X^2 - X + 5$ la $X - 1$ este: A. $0$ B. $5$ C. $7$ D. $9$ **Indiciu:** Prin teorema lui Bézout, restul împărțirii lui $P$ la $X - a$ este $P(a)$. **Răspuns corect:** C. $7$ **Rezolvare** $P(1) = 1 + 2 - 1 + 5 = 7$. --- ## Polinoame în ℂ #4 — Mediu · 5 puncte Câtul împărțirii lui $P(X) = X^3 - 4X^2 + 5X - 2$ la $X - 2$ are gradul: A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$ **Indiciu:** Împărțire de polinoame: $\deg(\text{cât}) = \deg(P) - \deg(\text{împărțitor})$. **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** $\deg(Q) = 3 - 1 = 2$. --- ## Polinoame în ℂ #5 — Mediu · 5 puncte Pentru $P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$, valoarea lui $x_1 + x_2 + x_3$ este: A. $-11$ B. $-6$ C. $6$ D. $11$ **Indiciu:** Relațiile lui Viète: pentru $X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots$, suma rădăcinilor este $-a_{n-1}$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** Coeficientul dominant este $1$ și coeficientul lui $X^2$ este $-6$, deci $x_1 + x_2 + x_3 = -(-6) = 6$. (Rădăcinile sunt de fapt $1, 2, 3$.) --- ## Polinoame în ℂ #6 — Mediu · 5 puncte Pentru polinomul $P(X) = 2X^3 - 6X^2 + X - 4$ cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$, produsul $x_1 x_2 x_3$ este egal cu: A. $-4$ B. $-2$ C. $2$ D. $4$ **Indiciu:** Pentru $aX^3 + bX^2 + cX + d$, $x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** $x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{-4}{2} = 2$. --- ## Polinoame în ℂ #7 — Avansat · 5 puncte Numărul de soluții reale ale ecuației $X^4 - 5X^2 + 4 = 0$ este: A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$ **Indiciu:** Substituiți $Y = X^2$ pentru a reduce la o ecuație de gradul al II-lea. **Răspuns corect:** D. $4$ **Rezolvare** Cu $Y = X^2$: $Y^2 - 5Y + 4 = 0 \Rightarrow Y \in \{1, 4\}$. Apoi $X^2 = 1 \Rightarrow X = \pm 1$ și $X^2 = 4 \Rightarrow X = \pm 2$. Patru soluții reale. --- ## Polinoame în ℂ #8 — Avansat · 5 puncte Pentru ce valoare $m \in \mathbb{R}$ este $X = 2$ o rădăcină a lui $P(X) = X^3 - mX + 4$? A. $-6$ B. $-4$ C. $6$ D. $8$ **Indiciu:** $P(2) = 0$ dă o ecuație în $m$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** $P(2) = 8 - 2m + 4 = 12 - 2m = 0 \Rightarrow m = 6$. --- ## Polinoame în ℂ #9 — Avansat · 5 puncte Prin schema lui Horner, se împarte $P(X)=2X^4-X^3+3X-4$ la $(X-1)$. Coeficientul lui $X$ din câtul obținut este: A. $4$ B. $1$ C. $2$ D. $-1$ **Indiciu:** $P(X)$ nu are termen în $X^2$ — în tabelul Horner trebuie inclus explicit un coeficient $0$ pentru $X^2$, altfel calculele următoare se decalează greșit. **Răspuns corect:** B. $1$ **Rezolvare** Coeficienții lui $P$, incluzând explicit termenul lipsă: $2,\ -1,\ 0,\ 3,\ -4$ (coeficientul lui $X^2$ este $0$). Schema lui Horner cu rădăcina $1$: $$b_0=2$$ $$b_1=-1+2\cdot1=1$$ $$b_2=0+1\cdot1=1$$ $$b_3=3+1\cdot1=4$$ $$\text{rest}=-4+4\cdot1=0$$ Câtul este $Q(X)=2X^3+X^2+X+4$, iar restul este $0$ (deci $(X-1)$ e factor al lui $P$). Coeficientul lui $X$ în cât este $1$. Verificare (împărțire directă): $2X^4-X^3+3X-4=(X-1)(2X^3+X^2+X+4)$ — dezvoltând membrul drept se regăsește exact $P(X)$. ✓ --- ## Polinoame în ℂ #10 — Expert · 5 puncte Restul împărțirii polinomului $P(X)=X^{41}+X^{22}+3$ la $X^2+1$ este: A. $3$ B. $X+3$ C. $X+2$ D. $2X+1$ **Indiciu:** Fie $i$ o rădăcină a lui $X^2+1$ (deci $i^2=-1$). Evaluează $P(i)$ reducând exponenții $41$ și $22$ **modulo $4$** (deoarece $i^4=1$), apoi identifică restul $R(X)=aX+b$ din $R(i)=P(i)$. **Răspuns corect:** C. $X+2$ **Rezolvare** Fie $i$ o rădăcină a lui $X^2+1=0$, deci $i^2=-1$ și $i^4=1$. Reducem exponenții modulo $4$: $41=4\cdot10+1$, deci $i^{41}=i^1=i$. La fel, $22=4\cdot5+2$, deci $i^{22}=i^2=-1$. $$P(i) = i + (-1) + 3 = i+2.$$ Restul $R(X)=aX+b$ (grad $<2$) satisface $R(i)=P(i)$, adică $ai+b=2+i$. Identificând partea reală și cea imaginară: $a=1,\,b=2$. Restul este $R(X)=X+2$. Verificare (pe exponenți mai mici, aceeași metodă): pentru $X^5+X^2+3$ împărțit la $X^2+1$, $5\equiv1$ și $2\equiv2\pmod4$, deci restul prezis e tot $X+2$; împărțirea polinomială directă confirmă exact $X+2$. Aceeași reducere modulo $4$ se aplică identic la exponenții $41$ și $22$. ✓ --- ## Polinoame în ℂ #11 — Expert · 5 puncte Ecuația $X^2-(m+1)X+(m-2)=0$ are rădăcinile reale $x_1,x_2$ astfel încât $x_1^2+x_2^2=21$. Suma tuturor valorilor reale ale lui $m$ pentru care este posibil acest lucru este: A. $8$ B. $-8$ C. $0$ D. $16$ **Indiciu:** Folosește identitatea $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$, exprimată cu relațiile lui Viète $x_1+x_2=m+1$ și $x_1x_2=m-2$. Vei obține o ecuație de gradul $2$ în $m$, cu **două** soluții — nu una singură. **Răspuns corect:** C. $0$ **Rezolvare** Prin relațiile lui Viète: $x_1+x_2=m+1$ și $x_1x_2=m-2$. Folosim identitatea $$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = (m+1)^2-2(m-2) = m^2+2m+1-2m+4 = m^2+5.$$ Condiția $x_1^2+x_2^2=21$ devine: $$m^2+5=21 \implies m^2=16 \implies m=4 \text{ sau } m=-4.$$ **Verificare că ambele valori dau rădăcini reale** (discriminantul ecuației trebuie să fie $\ge0$): $\Delta=(m+1)^2-4(m-2)=m^2-2m+9$. La $m=4$: $\Delta=16-8+9=17>0$ ✓. La $m=-4$: $\Delta=16+8+9=33>0$ ✓ — ambele valori sunt valide, nu doar una. Suma tuturor valorilor lui $m$: $4+(-4)=0$. Verificare directă: la $m=4$, ecuația e $X^2-5X+2=0$, cu $x_1+x_2=5,\,x_1x_2=2$, deci $x_1^2+x_2^2=25-4=21$ ✓. La $m=-4$, ecuația e $X^2+3X-6=0$, cu $x_1+x_2=-3,\,x_1x_2=-6$, deci $x_1^2+x_2^2=9+12=21$ ✓. --- ## Polinoame în ℂ #12 — Legendar · 5 puncte Restul împărțirii polinomului $P(X)=X^{2026}+X^{1000}+1$ la $X^2+X+1$ este: A. $X+1$ B. $3$ C. $X+2$ D. $2X+1$ **Indiciu:** Fie $\omega$ o rădăcină complexă a lui $X^2+X+1$ (deci $\omega^3=1$ și $\omega\neq1$). Evaluează $P(\omega)$ reducând exponenții $2026$ și $1000$ **modulo $3$**, apoi identifică restul $R(X)=aX+b$ din $R(\omega)=P(\omega)$. **Răspuns corect:** D. $2X+1$ **Rezolvare** Fie $\omega$ o rădăcină a lui $X^2+X+1=0$; atunci $\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$ și $\omega\neq1$, deci $\omega^3=1$. Reducem exponenții modulo $3$: $2026 = 3\cdot675+1$, deci $\omega^{2026}=\omega^1=\omega$. La fel, $1000=3\cdot333+1$, deci $\omega^{1000}=\omega$. $$P(\omega) = \omega+\omega+1 = 2\omega+1.$$ Restul $R(X)=aX+b$ (grad $<2$) satisface $R(\omega)=P(\omega)$, adică $a\omega+b=2\omega+1$. Cum $\{1,\omega\}$ e o bază peste $\mathbb{Q}$ (polinomul $X^2+X+1$ e ireductibil peste $\mathbb Q$), identificăm coeficienții: $a=2,\,b=1$. Restul este $R(X)=2X+1$. Verificare (pe exponenți mai mici, aceeași metodă): pentru $X^7+X^4+1$ împărțit la $X^2+X+1$, $7\equiv1$ și $4\equiv1\pmod3$, deci restul prezis e tot $2X+1$; împărțirea polinomială directă confirmă exact $2X+1$. ✓ Aceeași reducere modulo $3$ se aplică identic la exponenții $2026$ și $1000$. ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.