[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/probabilitati

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/probabilitati**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/probabilitati** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Probabilități — clasa a 10-a

Clasa a 10-a · 86 exerciții cu probabilități în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Probabilități #1 — Începător · 5 puncte

O monedă echilibrată este aruncată o dată. Probabilitatea de a obține cap este:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\dfrac{1}{4}$

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

O monedă echilibrată are două rezultate egal probabile; probabilitatea de a obține cap este $\dfrac{1}{2}$.

---

## Probabilități #2 — Începător · 5 puncte

Un zar echilibrat cu $6$ fețe este aruncat. Probabilitatea de a obține un număr par este:

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{2}{3}$
D. $\dfrac{1}{6}$

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Rezultatele pare: $\{2, 4, 6\}$, adică trei din șase. Probabilitate $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

---

## Probabilități #3 — Mediu · 5 puncte

Două zaruri echilibrate sunt aruncate. Probabilitatea ca suma să fie $7$ este:

A. $\dfrac{1}{12}$
B. $\dfrac{1}{9}$
C. $\dfrac{1}{6}$
D. $\dfrac{1}{4}$

**Indiciu:** Enumerați perechile $(a, b)$ cu $a + b = 7$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{1}{6}$

**Rezolvare**

Perechile sunt $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — șase din $36$ de rezultate posibile. Probabilitate $= \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

---

## Probabilități #4 — Mediu · 5 puncte

Un număr natural de două cifre este ales la întâmplare. Probabilitatea ca suma cifrelor sale să fie divizibilă cu $11$ este:

A. $\dfrac{1}{45}$
B. $\dfrac{1}{10}$
C. $\dfrac{8}{90}$
D. $\dfrac{1}{9}$

**Indiciu:** Numerele de două cifre merg de la $10$ la $99$ ($90$ de valori). Găsiți-le pe cele a căror sumă de cifre este $11$ sau alt multiplu ≤ 18.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{8}{90}$

**Rezolvare**

Există $90$ de numere de două cifre. Sumele de cifre divizibile cu $11$ în intervalul $[1, 18]$: doar $11$. Numerele cu suma cifrelor egală cu $11$: $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ — opt numere. Probabilitate $= \dfrac{8}{90} = \dfrac{4}{45}$.

---

## Probabilități #5 — Mediu · 5 puncte

O pungă conține $3$ bile roșii și $5$ bile albastre. Se extrag două bile fără înlocuire. Probabilitatea ca ambele să fie roșii este:

A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{3}{32}$
C. $\dfrac{3}{28}$
D. $\dfrac{9}{64}$

**Indiciu:** $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{3}{28}$

**Rezolvare**

$P = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{56} = \dfrac{3}{28}$.

---

## Probabilități #6 — Mediu · 5 puncte

Se aruncă un zar. Știind că rezultatul este par, probabilitatea ca el să fie mai mare decât $3$ este:

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{2}{3}$
D. $1$

**Indiciu:** Probabilitate condiționată: $P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{2}{3}$

**Rezolvare**

Rezultatele pare: $\{2, 4, 6\}$. Dintre acestea, $\{4, 6\}$ sunt $> 3$: probabilitate $\dfrac{2}{3}$.

---

## Probabilități #7 — Avansat · 5 puncte

O monedă trucată arată cap cu probabilitate $\dfrac{1}{3}$. La $4$ aruncări, probabilitatea de a obține exact $2$ capete este:

A. $\dfrac{4}{27}$
B. $\dfrac{6}{81}$
C. $\dfrac{8}{27}$
D. $\dfrac{16}{81}$

**Indiciu:** Schema Bernoulli: $C_{n}^{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{8}{27}$

**Rezolvare**

$P = C_{4}^{2}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \!\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{81} = \dfrac{8}{27}$.

---

## Probabilități #8 — Avansat · 5 puncte

Două cutii — Cutia A are $3$ bile roșii și $1$ albastră; Cutia B are $1$ roșie și $3$ albastre. O cutie este aleasă la întâmplare și se extrage o bilă. Știind că bila este roșie, probabilitatea că provine din Cutia A este:

A. $\dfrac{1}{4}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{3}{4}$
D. $\dfrac{3}{8}$

**Indiciu:** Formula lui Bayes: $P(A | R) = \dfrac{P(R | A) P(A)}{P(R | A) P(A) + P(R | B) P(B)}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{3}{4}$

**Rezolvare**

$P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}$, $P(R|A) = \dfrac{3}{4}$, $P(R|B) = \dfrac{1}{4}$.

$P(A|R) = \dfrac{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2}} = \dfrac{3/8}{4/8} = \dfrac{3}{4}$.

---

## Probabilități #9 — Avansat · 5 puncte

Dintr-un grup de $5$ băieți și $4$ fete se formează, la întâmplare, un comitet de $3$ persoane. Care este probabilitatea ca în comitet să fie cel puțin o fată?

A. $\dfrac{5}{42}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{2}{3}$
D. $\dfrac{37}{42}$

**Indiciu:** E mai simplu să calculezi complementara: probabilitatea ca în comitet să nu fie nicio fată (deci toți $3$ să fie băieți), apoi scazi din $1$.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{37}{42}$

**Rezolvare**

Numărul total de comitete posibile: $\displaystyle\binom{9}{3}=84$.

Numărul de comitete fără nicio fată (toți $3$ membri băieți): $\displaystyle\binom{5}{3}=10$.

$$P(\text{fără fete}) = \frac{10}{84}=\frac{5}{42}, \qquad P(\text{cel puțin o fată}) = 1-\frac{5}{42}=\frac{37}{42}.$$

Verificare: enumerare brute-force a tuturor celor $\binom{9}{3}=84$ comitete confirmă exact $74$ dintre ele cu cel puțin o fată, iar $\dfrac{74}{84}=\dfrac{37}{42}$. ✓

---

## Probabilități #10 — Expert · 5 puncte

$10$ persoane se așază la întâmplare în jurul unei mese rotunde (contează doar ordinea relativă, nu locul absolut — există $9!$ așezări relative egal probabile). Care este probabilitatea ca două persoane fixate dinainte, $A$ și $B$, să fie așezate alăturat?

A. $\dfrac{2}{9}$
B. $\dfrac{1}{5}$
C. $\dfrac{2}{5}$
D. $\dfrac{1}{9}$

**Indiciu:** Prin simetrie, fixează locul lui $A$ (nu contează unde, la o masă rotundă). Locul lui $B$ este atunci uniform distribuit printre celelalte $9$ locuri rămase — câte dintre acestea sunt vecine cu $A$?

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{2}{9}$

**Rezolvare**

**Argument de simetrie:** la o masă rotundă, fixăm locul lui $A$ (fără a pierde din generalitate, pentru că doar așezarea relativă contează). Celelalte $9$ persoane, printre care $B$, ocupă la întâmplare celelalte $9$ locuri, fiecare aranjament la fel de probabil. Deci locul lui $B$ este uniform distribuit printre cele $9$ locuri rămase.

Dintre acestea, exact $2$ locuri sunt vecine cu $A$ (unul la stânga, unul la dreapta). Deci
$$P(A,B\text{ alăturați}) = \frac{2}{9}.$$

(Formula $\frac{1}{n-1}=\frac{1}{9}$ ar fi greșită — uită factorul $2$, pentru că $A$ are doi vecini, nu unul singur.)

Verificare prin numărare directă: numărul de așezări circulare cu $A,B$ alăturați este $2\cdot 8!$ (blocul $AB$ sau $BA$, apoi $8!$ moduri de a plasa blocul și celelalte $8$ persoane în cerc), din totalul $9!$. Raportul este $\dfrac{2\cdot8!}{9!}=\dfrac{2}{9}$, confirmând rezultatul obținut prin simetrie. ✓

---

## Probabilități #11 — Expert · 5 puncte

O boală afectează $1\%$ din populație. Un test de diagnostic are sensibilitate $95\%$ (adică $P(\text{pozitiv}\mid\text{bolnav})=0{,}95$) și specificitate $90\%$ (adică $P(\text{negativ}\mid\text{sănătos})=0{,}90$, deci $P(\text{pozitiv}\mid\text{sănătos})=0{,}10$). O persoană aleasă la întâmplare din populație testează pozitiv. Probabilitatea ca ea să fie efectiv bolnavă este:

A. $\dfrac{95}{100}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{19}{217}$
D. $\dfrac{9}{100}$

**Indiciu:** Folosește formula lui Bayes: $P(\text{bolnav}\mid\text{pozitiv})=\dfrac{P(\text{pozitiv}\mid\text{bolnav})\cdot P(\text{bolnav})}{P(\text{pozitiv})}$, unde $P(\text{pozitiv})$ se calculează prin formula probabilității totale.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{19}{217}$

**Rezolvare**

Notăm $P(\text{bolnav})=0{,}01$, $P(\text{sănătos})=0{,}99$.

$$P(\text{pozitiv}) = P(\text{poz}\mid\text{bolnav})P(\text{bolnav}) + P(\text{poz}\mid\text{sănătos})P(\text{sănătos}) = 0{,}95\cdot0{,}01 + 0{,}10\cdot0{,}99 = 0{,}0095+0{,}099=0{,}1085.$$

$$P(\text{bolnav}\mid\text{pozitiv}) = \frac{0{,}0095}{0{,}1085} = \frac{19}{217}\approx 8{,}76\%.$$

Rezultat contraintuitiv: deși testul pare foarte precis ($95\%$ sensibilitate, $90\%$ specificitate), o persoană testată pozitiv are totuși șanse mici (sub $9\%$) de a fi efectiv bolnavă — pentru că boala este rară, iar cele $10\%$ „fals pozitive" din marea masă de persoane sănătoase depășesc numeric adevăratele cazuri pozitive.

Verificare (fracții exacte): $P(\text{bolnav})=\frac{1}{100}$, $P(\text{poz}\mid\text{bolnav})=\frac{19}{20}$, $P(\text{poz}\mid\text{sănătos})=\frac{1}{10}$; $P(\text{pozitiv})=\frac{1}{100}\cdot\frac{19}{20}+\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{10}=\frac{19}{2000}+\frac{198}{2000}=\frac{217}{2000}$, deci $P(\text{bolnav}\mid\text{pozitiv})=\frac{19/2000}{217/2000}=\frac{19}{217}$. ✓

---

## Probabilități #12 — Legendar · 5 puncte

O familie are exact $2$ copii. Presupunem că fiecare copil este, independent, băiat sau fată cu probabilitate $\frac12$ fiecare, iar ziua din săptămână în care s-a născut este uniform distribuită pe cele $7$ zile, independent de gen și de celălalt copil. Se știe că CEL PUȚIN UNUL dintre cei doi copii este băiat NĂSCUT ÎNTR-O ZI DE MARȚI. Probabilitatea ca AMBII copii să fie băieți este:

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{13}{27}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{4}$

**Indiciu:** Nu ignora informația despre ziua nașterii! Lucrează în spațiul complet al perechilor (gen, zi) pentru fiecare copil — sunt $14$ combinații egal probabile per copil — și numără atent cazurile care satisfac condiția „cel puțin un băiat născut marți".

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{13}{27}$

**Rezolvare**

Fiecare copil are $14$ combinații (gen, zi) egal probabile ($2$ genuri $\times$ $7$ zile), deci familia are $14\times14=196$ combinații egal probabile în total.

**Numărăm evenimentul condiție** („cel puțin un băiat-marți", notat BT): copilul $1$ e BT în $1\times14=14$ combinații (indiferent de copilul $2$); analog copilul $2$ e BT în $14$ combinații; ambii sunt BT simultan în $1\times1=1$ combinație. Prin includere-excludere:
$$|\text{cel puțin un BT}| = 14+14-1=27.$$

**Numărăm, printre acestea, cazurile cu ambii băieți:** dacă ambii copii sunt băieți (indiferent de zi), avem $7\times7=49$ combinații; printre acestea, cele cu cel puțin un BT sunt (aceeași includere-excludere, restrânsă la „ambii băieți"): copilul $1$=BT: $1\times7=7$; copilul $2$=BT: $7\times1=7$; ambii BT: $1$; total $7+7-1=13$.

Deci
$$P(\text{ambii băieți}\mid\text{cel puțin un BT}) = \frac{13}{27}.$$

Acest rezultat este contraintuitiv: fără informația despre ziua nașterii, probabilitatea „clasică" ar fi $\frac13$ (din cele $3$ cazuri egal probabile BB, BF, FB rămase după eliminarea FF); specificarea zilei „marți" o modifică surprinzător la $\frac{13}{27}\approx0{,}481$, mult mai aproape de $\frac12$.

Verificare: enumerare brute-force a tuturor celor $196$ de combinații (gen, zi) $\times$ (gen, zi) confirmă exact $27$ cazuri cu cel puțin un BT, dintre care exact $13$ au ambii copii băieți, deci $\frac{13}{27}$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.