[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/puteri-radicali-logaritmi

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/puteri-radicali-logaritmi**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/puteri-radicali-logaritmi** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Puteri, Radicali, Logaritmi — clasa a 10-a

Clasa a 10-a · 70 exerciții cu puteri, radicali, logaritmi în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Puteri, Radicali, Logaritmi #1 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $8^{2/3}$ este:

A. $\dfrac{16}{3}$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $4$
D. $16$

**Indiciu:** $8^{2/3} = \big(\sqrt[3]{8}\big)^2$.

**Răspuns corect:** C. $4$

**Rezolvare**

$\sqrt[3]{8} = 2$, deci $8^{2/3} = 2^2 = 4$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #2 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ este:

A. $4$
B. $\sqrt{15}$
C. $6$
D. $36$

**Indiciu:** $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ pentru $a, b \ge 0$.

**Răspuns corect:** C. $6$

**Rezolvare**

$\sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #3 — Mediu · 5 puncte

După raționalizarea numitorului, $\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}$ este egal cu:

A. $\sqrt{3} - 1$
B. $\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$
D. $\dfrac{1}{2}$

**Indiciu:** Înmulțiți numărătorul și numitorul cu conjugatul $\sqrt{3} + 1$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$

**Rezolvare**

$\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #4 — Mediu · 5 puncte

Soluția ecuației $3^{x+1} = 27$ este:

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $9$

**Indiciu:** Exprimați ambii membri ca puteri ale lui $3$.

**Răspuns corect:** B. $2$

**Rezolvare**

$27 = 3^3$, deci $3^{x+1} = 3^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #5 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\log_2 6 + \log_2 \dfrac{8}{3}$ este:

A. $\log_2 \dfrac{8}{3}$
B. $\log_2 14$
C. $4$
D. $6$

**Indiciu:** $\log_b A + \log_b B = \log_b(A \cdot B)$.

**Răspuns corect:** C. $4$

**Rezolvare**

$\log_2 6 + \log_2 \dfrac{8}{3} = \log_2\!\left(6 \cdot \dfrac{8}{3}\right) = \log_2 16 = 4$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #6 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\log_4 8$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $1$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $2$

**Indiciu:** Folosiți formula de schimbare a bazei sau scrieți $4$ și $8$ ca puteri ale lui $2$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{3}{2}$

**Rezolvare**

$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #7 — Avansat · 5 puncte

Soluția ecuației $\log_2(2x^2 + x + 1) - \log_2(x^2 - x + 2) = 1$ este:

A. $\{1\}$
B. $\{-1\}$
C. $\{1, -3\}$
D. Nicio soluție reală

**Indiciu:** Combinați logaritmii: $\log_2 \dfrac{2x^2 + x + 1}{x^2 - x + 2} = 1 \Rightarrow \dfrac{2x^2 + x + 1}{x^2 - x + 2} = 2$.

**Răspuns corect:** A. $\{1\}$

**Rezolvare**

$2x^2 + x + 1 = 2(x^2 - x + 2) \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 2x^2 - 2x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$.

Verificarea domeniului: pentru $x = 1$, $2x^2 + x + 1 = 4 > 0$ și $x^2 - x + 2 = 2 > 0$, deci ambii logaritmi sunt definiți. Mulțimea soluțiilor este $\{1\}$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #8 — Avansat · 5 puncte

Dacă $x = \log_2 5$, atunci $4^x$ este egal cu:

A. $5$
B. $10$
C. $25$
D. $\log_2 25$

**Indiciu:** $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$. Folosiți $x = \log_2 5$.

**Răspuns corect:** C. $25$

**Rezolvare**

$4^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = 5^2 = 25$.

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #9 — Avansat · 5 puncte

Relația corectă dintre $\sqrt{3}$ și $\sqrt[3]{5}$ este:

A. $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5}$
B. $\sqrt{3} < \sqrt[3]{5}$
C. $\sqrt{3} = \sqrt[3]{5}$
D. Nu pot fi comparate fără calculator

**Indiciu:** Scrieți $\sqrt{3}=3^{1/2}$ și $\sqrt[3]{5}=5^{1/3}$, apoi aduceți exponenții la același numitor folosind $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$.

**Răspuns corect:** A. $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5}$

**Rezolvare**

$\sqrt{3}=3^{1/2}=3^{3/6}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[6]{27}$ și $\sqrt[3]{5}=5^{1/3}=5^{2/6}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}$.

Funcția $x\mapsto\sqrt[6]{x}$ este strict crescătoare pe $[0,\infty)$, iar $27>25$, deci $\sqrt[6]{27}>\sqrt[6]{25}$.

$$\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}.$$

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #10 — Expert · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației
$$x^{2/3}\le 9$$
(unde $x^{2/3}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$, definit pentru orice $x\in\mathbb{R}$) este:

A. $[-27,27]$
B. $[0,27]$
C. $(-\infty,27]$
D. $[-729,729]$

**Indiciu:** Pentru $a\ge 0$, inegalitatea $t^2\le a$ este echivalentă cu $-\sqrt{a}\le t\le \sqrt{a}$.

**Răspuns corect:** A. $[-27,27]$

**Rezolvare**

Notăm $t=\sqrt[3]{x}$, definit pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Inecuația $x^{2/3}\le 9$ devine $t^2\le 9$, echivalentă cu $-3\le t\le 3$.

Revenind la $x$: $-3\le \sqrt[3]{x}\le 3 \Leftrightarrow (-3)^3\le x\le 3^3 \Leftrightarrow -27\le x\le 27$.

Verificare: $(-27)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{-27}\right)^2=(-3)^2=9$ ✓; $27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$ ✓, ambele capete satisfac egalitatea.

$$x\in[-27,27].$$

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #11 — Expert · 5 puncte

Câte numere naturale $x$ verifică ecuația
$$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\ ?$$

A. $1$
B. $2$
C. $0$
D. $6$

**Indiciu:** Notează $u=\sqrt{x-1}$, deci $x=u^2+1$. Rescrie fiecare expresie de sub radicalul exterior — sunt pătrate perfecte în $u$.

**Răspuns corect:** D. $6$

**Rezolvare**

Domeniul: $x\ge 1$. Fie $u=\sqrt{x-1}\ge 0$, deci $x=u^2+1$.

**Pasul de recunoaștere** — ambele expresii sunt pătrate perfecte:
$$x+3-4\sqrt{x-1}=u^2+4-4u=(u-2)^2,$$
$$x+8-6\sqrt{x-1}=u^2+9-6u=(u-3)^2.$$

Cum $\sqrt{A^2}=|A|$, ecuația devine
$$|u-2|+|u-3|=1.$$

Aceasta este suma distanțelor de la $u$ la $2$ și la $3$: egală cu $1$ exact pentru $u\in[2,3]$ (în afara acestui interval e strict mai mare).

Deci
$$2\le\sqrt{x-1}\le 3\iff 4\le x-1\le 9\iff 5\le x\le 10.$$

Numerele naturale din $[5,10]$ sunt $5,6,7,8,9,10$ — adică $6$ valori.

Verificare pentru $x=7$ ($u=\sqrt6\approx 2{,}449$): $|2{,}449-2|+|2{,}449-3|=0{,}449+0{,}551=1$ ✓.

Observație: mulțimea soluțiilor reale este intervalul $[5,10]$, nu un set de puncte izolate. ✓

---

## Puteri, Radicali, Logaritmi #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea produsului
$$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{62} 63 \cdot \log_{63} 64$$
este:

A. $62$
B. $32$
C. $6$
D. $5$

**Indiciu:** Fiecare factor are forma $\log_k(k+1)$ pentru $k=2,3,\dots,63$. Prin schimbare de bază, $\log_k(k+1)=\dfrac{\ln(k+1)}{\ln k}$ — ce se întâmplă cu produsul acestor fracții succesive?

**Răspuns corect:** C. $6$

**Rezolvare**

Scriem fiecare factor prin schimbare de bază:
$$\log_2 3\cdot\log_3 4\cdots\log_{63}64 = \frac{\ln3}{\ln2}\cdot\frac{\ln4}{\ln3}\cdot\frac{\ln5}{\ln4}\cdots\frac{\ln64}{\ln63}.$$

Toți termenii intermediari se simplifică succesiv (telescopare) — $\ln 3$ apare la numărător în primul factor și la numitor în al doilea, $\ln4$ apare la numărător în al doilea și numitor în al treilea, etc. Rămâne doar primul numitor și ultimul numărător:
$$\frac{\ln64}{\ln2} = \log_2 64 = 6 \quad(\text{deoarece } 2^6=64).$$

Deși produsul are $62$ de factori, valoarea lui colapsează la întregul $6$ — numărul de termeni ($62$) nu are nicio legătură directă cu rezultatul.

Verificare: calcul simbolic al întregului produs (toate cele $62$ de fracții) confirmă exact valoarea $6$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.