[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/statistica

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/statistica**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-10/statistica** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Statistică descriptivă și eșantionare — clasa a 10-a

Clasa a 10-a · 56 exerciții cu statistică descriptivă și eșantionare în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Statistică descriptivă și eșantionare #1 — Începător · 5 puncte

Media aritmetică a mulțimii $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ este:

A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $30$

**Răspuns corect:** C. $6$

**Rezolvare**

$\dfrac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #2 — Începător · 5 puncte

Mediana mulțimii $\{3, 7, 1, 9, 5\}$ este:

A. $3$
B. $5$
C. $7$
D. $9$

**Indiciu:** Ordonați mai întâi datele, apoi alegeți valoarea din mijloc.

**Răspuns corect:** B. $5$

**Rezolvare**

Ordonat: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Valoarea din mijloc (a 3-a din 5) este $5$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #3 — Mediu · 5 puncte

Amplitudinea (intervalul de variație) a mulțimii $\{12, 7, 22, 9, 18, 4\}$ este:

A. $4$
B. $9$
C. $18$
D. $22$

**Indiciu:** Amplitudinea = max − min.

**Răspuns corect:** C. $18$

**Rezolvare**

Max $= 22$, min $= 4$, deci amplitudinea $= 22 - 4 = 18$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #4 — Mediu · 5 puncte

Mediana mulțimii $\{4, 1, 3, 8, 5, 6\}$ este:

A. $4$
B. $4.5$
C. $5$
D. $5.5$

**Indiciu:** Pentru un set de date cu număr par de elemente, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.

**Răspuns corect:** B. $4.5$

**Rezolvare**

Ordonat: $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. Cele două valori din mijloc sunt $4$ și $5$. Mediana $= \dfrac{4 + 5}{2} = 4.5$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #5 — Mediu · 5 puncte

O clasă are $20$ de elevi. Notele lor la matematică sunt: $5$ elevi au luat $7$, $8$ elevi au luat $8$, $7$ elevi au luat $9$. Media notelor este:

A. $7.8$
B. $8.0$
C. $8.1$
D. $8.5$

**Indiciu:** Medie ponderată: $\dfrac{\sum f_i \cdot x_i}{\sum f_i}$.

**Răspuns corect:** C. $8.1$

**Rezolvare**

Suma $= 5 \cdot 7 + 8 \cdot 8 + 7 \cdot 9 = 35 + 64 + 63 = 162$. Media $= \dfrac{162}{20} = 8.1$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #6 — Mediu · 5 puncte

Prima cuartilă $Q_1$ a mulțimii $\{2, 4, 5, 7, 8, 11, 14\}$ este:

A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $7$

**Indiciu:** $Q_1$ este mediana jumătății inferioare (excluzând mediana globală pentru $n$ impar).

**Răspuns corect:** B. $4$

**Rezolvare**

Ordonat (deja): $\{2, 4, 5, 7, 8, 11, 14\}$. Mediana este $7$ (poziția 4). Jumătatea inferioară: $\{2, 4, 5\}$. Mediana jumătății inferioare: $4$. Deci $Q_1 = 4$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #7 — Avansat · 5 puncte

Dacă media mulțimii $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ este $\bar{x}$, media mulțimii $\{x_1 + 5, x_2 + 5, \ldots, x_n + 5\}$ este:

A. $\bar{x}$
B. $\bar{x} + 5$
C. $5\bar{x}$
D. $\bar{x} + \dfrac{5}{n}$

**Indiciu:** Adăugarea unei constante $c$ la fiecare valoare deplasează media cu $c$.

**Răspuns corect:** B. $\bar{x} + 5$

**Rezolvare**

$\dfrac{1}{n}\sum (x_i + 5) = \dfrac{1}{n}\sum x_i + 5 = \bar{x} + 5$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #8 — Avansat · 5 puncte

Dacă setul de date $\{x_1, \ldots, x_n\}$ are abaterea standard $\sigma$, abaterea standard a mulțimii $\{2x_1, \ldots, 2x_n\}$ este:

A. $\sigma$
B. $\sigma + 2$
C. $2\sigma$
D. $4\sigma$

**Indiciu:** Abaterea standard se scalează liniar la înmulțirea cu o constantă pozitivă.

**Răspuns corect:** C. $2\sigma$

**Rezolvare**

$\sigma(c \cdot x) = |c| \sigma(x)$. Cu $c = 2$: $\sigma(2x) = 2\sigma$.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #9 — Avansat · 5 puncte

Un tabel de frecvențe pentru notele obținute de $20$ de elevi la un test arată: nota $4$ — $2$ elevi, nota $5$ — $4$ elevi, nota $6$ — $6$ elevi, nota $7$ — $5$ elevi, nota $8$ — $3$ elevi. Amplitudinea intercuartilică $IQR=Q_3-Q_1$ a acestei distribuții este:

A. $2$
B. $3$
C. $1$
D. $4$

**Indiciu:** Construiește frecvențele cumulate ($2, 6, 12, 17, 20$) pentru a localiza pozițiile. Cu $n=20$ (par), $Q_1$ este mediana primelor $10$ valori, iar $Q_3$ este mediana ultimelor $10$ valori din șirul ordonat complet.

**Răspuns corect:** A. $2$

**Rezolvare**

Frecvențele cumulate: $4\to2$, $5\to6$, $6\to12$, $7\to17$, $8\to20$.

**Jumătatea inferioară** (pozițiile $1$–$10$): pozițiile $1$–$2$ au nota $4$, pozițiile $3$–$6$ au nota $5$, pozițiile $7$–$10$ au nota $6$. Șirul acestor $10$ valori este $4,4,5,5,5,5,6,6,6,6$, iar mediana lor (media pozițiilor $5$ și $6$) este $Q_1=\dfrac{5+5}{2}=5$.

**Jumătatea superioară** (pozițiile $11$–$20$): pozițiile $11$–$12$ au nota $6$, pozițiile $13$–$17$ au nota $7$, pozițiile $18$–$20$ au nota $8$. Șirul este $6,6,7,7,7,7,7,8,8,8$, iar mediana lor este $Q_3=\dfrac{7+7}{2}=7$.

$$IQR = Q_3-Q_1 = 7-5=2.$$

Verificare: reconstituind șirul complet de $20$ note din tabel și calculând direct cuartilele (poziții $5$–$6$ pentru $Q_1$, poziții $15$–$16$ pentru $Q_3$) se obține din nou $Q_1=5$, $Q_3=7$, $IQR=2$. ✓

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #10 — Expert · 5 puncte

Se consideră setul de $5$ numere reale $\{10,\ 11,\ 12,\ 13,\ x\}$, unde $x$ este necunoscut. Determinați suma TUTUROR valorilor posibile ale lui $x$ pentru care media aritmetică a setului este egală cu mediana lui.

A. $34$
B. $35$
C. $23$
D. $\dfrac{69}{2}$

**Indiciu:** Poziția lui $x$ în șirul ordonat schimbă formula medianei. Analizează separat cazurile $x\le11$, $11<x\le12$ și $x>12$ — în fiecare caz scrie ecuația media=mediana și verifică dacă soluția obținută respectă efectiv intervalul presupus.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{69}{2}$

**Rezolvare**

Notăm $a=10,b=11,c=12,d=13$ valorile fixe, ordonate crescător.

**Cazul $x\le b=11$:** șirul ordonat este $x,a,b,c,d$ sau $a,x,b,c,d$ (mediana rămâne $b=11$ în ambele situații). Ecuația medie=mediană:
$$\frac{10+11+12+13+x}{5}=11 \implies 46+x=55 \implies x=9.$$
Verificăm: $9\le11$ ✓, deci $x=9$ e o soluție validă. (Șir: $9,10,11,12,13$ → mediana $=11=$ media $\frac{55}{5}=11$.) ✓

**Cazul $11<x\le12$:** șirul ordonat este $10,11,x,12,13$, iar mediana este chiar $x$. Ecuația:
$$\frac{10+11+12+13+x}{5}=x \implies 46+x=5x \implies 4x=46 \implies x=\frac{23}{2}=11{,}5.$$
Verificăm: $11<11{,}5\le12$ ✓, deci $x=\dfrac{23}{2}$ e o soluție validă. (Șir: $10,11,11{,}5,12,13$ → mediana $=11{,}5=$ media $\frac{57{,}5}{5}=11{,}5$.) ✓

**Cazul $x>12$:** șirul ordonat este $10,11,12,13,x$ (mediana $=12$). Ecuația:
$$\frac{10+11+12+13+x}{5}=12 \implies 46+x=60 \implies x=14.$$
Verificăm: $14>12$ ✓ (și $14>13$, deci șirul $10,11,12,13,14$ e corect ordonat), deci $x=14$ e o soluție validă. (Mediana $=12=$ media $\frac{60}{5}=12$.) ✓

**Suma tuturor soluțiilor valide:**
$$9+\frac{23}{2}+14 = \frac{18+23+28}{2}=\frac{69}{2}.$$

Verificare (scanare exhaustivă): testând toate valorile $x=\frac{k}{2}$ pentru $k$ întreg în intervalul $[-100,100]$, singurele care satisfac media$=$mediana pentru acest set sunt exact $x\in\{9,\ 11{,}5,\ 14\}$ — nicio altă valoare, confirmând că suma corectă este $\dfrac{69}{2}=34{,}5$. ✓

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #11 — Expert · 5 puncte

Grupul $A$ are $n_A=5$ elevi, cu media notelor $60$ și varianța $16$. Grupul $B$ are $n_B=10$ elevi, cu media notelor $75$ și varianța $25$. Varianța (populațională) a grupului COMBINAT, format din toți cei $15$ elevi, este:

A. $22$
B. $72$
C. $20{,}5$
D. $41$

**Indiciu:** Varianța grupului combinat NU este media (ponderată sau nu) a celor două varianțe — trebuie adăugat un termen suplimentar, provenit din faptul că mediile celor două grupuri diferă între ele. Formula: $\text{Var}_{\text{total}}=\dfrac{n_A\left[\text{Var}_A+(\mu_A-\mu)^2\right]+n_B\left[\text{Var}_B+(\mu_B-\mu)^2\right]}{n_A+n_B}$, unde $\mu$ este media globală.

**Răspuns corect:** B. $72$

**Rezolvare**

**Media globală** (ponderată cu numărul de elevi din fiecare grup):
$$\mu = \frac{n_A\mu_A+n_B\mu_B}{n_A+n_B} = \frac{5\cdot60+10\cdot75}{15} = \frac{300+750}{15} = \frac{1050}{15}=70.$$

**Varianța combinată** (formula varianței "pooled", care include OBLIGATORIU dispersia mediilor grupurilor față de media globală):
$$\text{Var}_{\text{total}} = \frac{n_A\left[\text{Var}_A+(\mu_A-\mu)^2\right]+n_B\left[\text{Var}_B+(\mu_B-\mu)^2\right]}{n_A+n_B}.$$

Calculăm termenii: $(\mu_A-\mu)^2=(60-70)^2=100$; $(\mu_B-\mu)^2=(75-70)^2=25$.
$$\text{Var}_{\text{total}} = \frac{5(16+100)+10(25+25)}{15} = \frac{5\cdot116+10\cdot50}{15} = \frac{580+500}{15} = \frac{1080}{15}=72.$$

**Capcana:** media ponderată NAIVĂ a celor două varianțe (ignorând complet diferența dintre medii) ar da $\dfrac{5\cdot16+10\cdot25}{15}=\dfrac{80+250}{15}=\dfrac{330}{15}=22$ — mult mai mică decât valoarea corectă, pentru că ignoră complet dispersia SUPLIMENTARĂ introdusă de faptul că grupurile au medii diferite.

Verificare (sumă de pătrate, definiție directă): $E[X_A^2]=\text{Var}_A+\mu_A^2=16+3600=3616$; $E[X_B^2]=25+5625=5650$. Suma totală a pătratelor: $5\cdot3616+10\cdot5650=18080+56500=74580$; $E[X_{\text{total}}^2]=74580/15=4972$; $\text{Var}_{\text{total}}=4972-70^2=4972-4900=72$ ✓, coincide.

---

## Statistică descriptivă și eșantionare #12 — Legendar · 5 puncte

Un set de date conține $n=4$ valori reale. Suma pătratelor TUTUROR diferențelor dintre perechile distincte de valori (există $\binom{4}{2}=6$ astfel de perechi) este $96$. Varianța (populațională) a setului de date este:

A. $96$
B. $24$
C. $6$
D. $16$

**Indiciu:** Există o identitate exactă (valabilă pentru orice set de $n$ numere reale): $\displaystyle\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2 = n^2\cdot\text{Var}(X)$, unde $\text{Var}(X)$ este varianța populațională. NU se împarte la $n$ și NU se împarte la numărul de perechi ($\binom{n}{2}$).

**Răspuns corect:** C. $6$

**Rezolvare**

Folosim identitatea (valabilă pentru orice set de $n$ numere reale, indiferent de valorile lor exacte):
$$\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2 = n^2\cdot\text{Var}(X).$$

**De ce e adevărată:** dubla sumă peste toate perechile ORDONATE, $\sum_i\sum_j(x_i-x_j)^2$, se dezvoltă ca $2n\sum_i x_i^2-2\left(\sum_i x_i\right)^2=2n\cdot n\cdot\text{Var}(X)=2n^2\text{Var}(X)$ (folosind $\sum(x_i-\bar x)^2=n\cdot\text{Var}(X)$). Cum termenii diagonali ($i=j$) sunt nuli, iar fiecare pereche neordonată apare de $2$ ori în suma ordonată, rezultă $\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2 = n^2\text{Var}(X)$.

Aplicăm cu $n=4$ și suma dată $96$:
$$96 = 4^2\cdot\text{Var}(X) = 16\cdot\text{Var}(X) \implies \text{Var}(X) = \frac{96}{16} = 6.$$

Verificare (identitate testată pe un set concret): pentru $\{1,3,5,7\}$, media este $4$, varianța este $\dfrac{9+1+1+9}{4}=5$. Suma pătratelor celor $6$ diferențe de perechi: $(1-3)^2+(1-5)^2+(1-7)^2+(3-5)^2+(3-7)^2+(5-7)^2=4+16+36+4+16+4=80$. Verificăm identitatea: $n^2\cdot\text{Var}=16\cdot5=80$ ✓ — coincide exact, confirmând validitatea formulei folosite (și, prin urmare, corectitudinea răspunsului $\text{Var}(X)=6$ pentru datele din enunț).

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.