[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/aplicatiile-derivatelor > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/aplicatiile-derivatelor** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/aplicatiile-derivatelor** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Aplicații ale derivatelor — clasa a 11-a Clasa a 11-a · 58 exerciții cu aplicații ale derivatelor în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Aplicații ale derivatelor #1 — Începător · 5 puncte Funcția $f(x) = x^2 + 2x$ este crescătoare pe: A. $\mathbb{R}$ B. $(-\infty, -1)$ C. $(-1, +\infty)$ D. $(0, +\infty)$ **Indiciu:** $f'(x) > 0$ acolo unde $f$ este crescătoare. **Răspuns corect:** C. $(-1, +\infty)$ **Rezolvare** $f'(x) = 2x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -1$. Deci $f$ este crescătoare pe $(-1, +\infty)$. --- ## Aplicații ale derivatelor #2 — Începător · 5 puncte Funcția $f(x) = x^2 - 4x + 5$ are minimul în: A. $x = -2$ B. $x = 2$ C. $x = 4$ D. $x = 5$ **Indiciu:** Egalați $f'(x) = 0$. **Răspuns corect:** B. $x = 2$ **Rezolvare** $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Deoarece $f''(x) = 2 > 0$, acesta este un minim. --- ## Aplicații ale derivatelor #3 — Mediu · 5 puncte Poziția unei particule este $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (în metri, $t$ în secunde). Viteza la $t = 2$ este: A. $-3$ m/s B. $0$ m/s C. $3$ m/s D. $9$ m/s **Indiciu:** Viteza este $v(t) = x'(t)$. **Răspuns corect:** A. $-3$ m/s **Rezolvare** $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$. La $t = 2$: $v = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s (particula se mișcă înapoi). --- ## Aplicații ale derivatelor #4 — Mediu · 5 puncte Pentru aceeași poziție $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$, accelerația la $t = 1$ este: A. $-6$ m/s² B. $0$ m/s² C. $6$ m/s² D. $9$ m/s² **Indiciu:** Accelerația este $a(t) = x''(t)$. **Răspuns corect:** A. $-6$ m/s² **Rezolvare** $a(t) = x''(t) = 6t - 12$. La $t = 1$: $a = -6$ m/s². --- ## Aplicații ale derivatelor #5 — Mediu · 5 puncte Funcția $f(x) = x^3$ este concavă pe: A. $\mathbb{R}$ B. $(-\infty, 0)$ C. $(0, +\infty)$ D. niciunde **Indiciu:** $f''(x) < 0$ ⇒ concavă; $f''(x) > 0$ ⇒ convexă. **Răspuns corect:** B. $(-\infty, 0)$ **Rezolvare** $f''(x) = 6x$. $f'' < 0 \Leftrightarrow x < 0$. Deci $f$ este concavă pe $(-\infty, 0)$. --- ## Aplicații ale derivatelor #6 — Mediu · 5 puncte Punctul de inflexiune al funcției $f(x) = x^3 - 3x$ se află în: A. $x = -1$ B. $x = 0$ C. $x = 1$ D. $f$ nu are punct de inflexiune **Indiciu:** Într-un punct de inflexiune, $f''$ își schimbă semnul (de obicei $f''(x) = 0$). **Răspuns corect:** B. $x = 0$ **Rezolvare** $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$. $f''$ își schimbă semnul în $x = 0$, deci inflexiunea este în $x = 0$. --- ## Aplicații ale derivatelor #7 — Avansat · 5 puncte Funcția $f(x) = x^3 - 3x^2$ este descrescătoare pe: A. $\mathbb{R}$ B. $(-\infty, 0)$ C. $(0, 2)$ D. $(2, +\infty)$ **Indiciu:** $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. **Răspuns corect:** C. $(0, 2)$ **Rezolvare** $f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$. Deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 2)$. (Crescătoare pe $(-\infty, 0)$ și $(2, +\infty)$.) --- ## Aplicații ale derivatelor #8 — Avansat · 5 puncte Dintre dreptunghiurile cu perimetrul $20$, cel cu aria maximă are dimensiunile: A. $4 \times 6$ B. $3 \times 7$ C. $5 \times 5$ D. $2 \times 8$ **Indiciu:** Fie o latură $x$; cealaltă este $10 - x$. Maximizați $A(x) = x(10 - x)$. **Răspuns corect:** C. $5 \times 5$ **Rezolvare** $A(x) = 10x - x^2$. $A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$. Dreptunghiul cu arie maximă este pătratul $5 \times 5$, cu aria $25$. --- ## Aplicații ale derivatelor #9 — Avansat · 5 puncte Suma absciselor punctelor de inflexiune ale graficului funcției $f(x) = x^4 - 4x^3$ este: A. $0$ B. $4$ C. $2$ D. $-2$ **Indiciu:** Punctele de inflexiune se află din $f''(x)=0$; factorizează $f''$ ca produs de doi factori. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** Derivăm de două ori: $$f'(x) = 4x^3-12x^2, \qquad f''(x) = 12x^2-24x = 12x(x-2).$$ Rădăcinile lui $f''$ sunt $x=0$ și $x=2$. Verificăm că $f''$ schimbă semn în ambele (produs de doi factori liniari distincți), deci ambele sunt puncte de inflexiune. Suma absciselor: $$0 + 2 = 2.$$ Verificare: $f''(-1)=36>0$, $f''(1)=-12<0$, $f''(3)=36>0$ — semnul alternează de două ori, confirmând cele două inflexiuni. ✓ --- ## Aplicații ale derivatelor #10 — Expert · 5 puncte Pentru ce valoare a lui $a$ are $f(x) = x^3 - 3ax + 1$ un minim local in $x = 2$? A. $a = 1$ B. $a = 2$ C. $a = 3$ D. $a = 4$ **Indiciu:** Puneti $f'(2) = 0$, apoi verificati ca $f''(2) > 0$. **Răspuns corect:** D. $a = 4$ **Rezolvare** $f'(x) = 3x^2 - 3a$, deci $f'(2) = 12 - 3a = 0 \Rightarrow a = 4$. Verificare: $f''(x) = 6x$, deci $f''(2) = 12 > 0$, confirmand minimul local. --- ## Aplicații ale derivatelor #11 — Expert · 5 puncte Fie $f_m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f_m(x) = x^4 - 2mx^2 + 1$, unde $m\in\mathbb{R}$. Pentru câte valori întregi ale lui $m\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ funcția $f_m$ are exact trei puncte critice? A. $7$ B. $4$ C. $3$ D. $6$ **Indiciu:** Rezolvă $f_m'(x)=0$ în funcție de semnul lui $m$; numărul de rădăcini reale distincte depinde dacă $m>0$, $m=0$ sau $m<0$. **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** Derivăm: $$f_m'(x) = 4x^3-4mx = 4x(x^2-m).$$ Rădăcina $x=0$ există întotdeauna. Ecuația $x^2=m$ mai are soluții reale (și anume $x=\pm\sqrt{m}$, distincte de $0$) **doar dacă $m>0$**. - Dacă $m>0$: trei puncte critice distincte, $\{-\sqrt m, 0, \sqrt m\}$. - Dacă $m\le 0$: un singur punct critic, $x=0$ (pentru $m=0$, $f_0'(x)=4x^3$ are doar rădăcina $x=0$, cu multiplicitate, dar tot un singur punct pe axă; pentru $m<0$, $x^2=m$ nu are soluții reale). Deci exact trei puncte critice au loc pentru $m\in\{1,2,3\}$ din mulțimea dată — **trei** valori întregi. Verificare: pentru $m=1$, $f_1'(x)=4x(x-1)(x+1)$, rădăcini $-1,0,1$ (trei); pentru $m=0$, $f_0'(x)=4x^3$, o singură rădăcină $x=0$; pentru $m=-1$, $x^2=-1$ nu are soluție reală. ✓ --- ## Aplicații ale derivatelor #12 — Legendar · 5 puncte Fie $a,b,c>0$ cu $a+b+c=3$. Valoarea minimă a expresiei $a^4+b^4+c^4$ este: A. $1$ B. $3$ C. $9$ D. $27$ **Indiciu:** Funcția $f(x)=x^4$ este convexă pe $(0,\infty)$. Aplică inegalitatea lui Jensen pentru $a,b,c$, folosind constrângerea dată asupra sumei $a+b+c$. **Răspuns corect:** B. $3$ **Rezolvare** Cum $f(x)=x^4$ e convexă, inegalitatea lui Jensen dă: $$\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\ge f\left(\frac{a+b+c}{3}\right) = f(1) = 1 \implies a^4+b^4+c^4\ge3.$$ Egalitatea are loc la $a=b=c=1$ (verifică: $1+1+1=3$ ✓), deci valoarea minimă este $3$. ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.