[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/asimptote

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/asimptote**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/asimptote** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Asimptote — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 88 exerciții cu asimptote în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Asimptote #1 — Începător · 5 puncte

Asimptota verticală a funcției $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ este dreapta:

A. $y = 0$
B. $y = 3$
C. $x = 3$
D. $x = 0$

**Indiciu:** Asimptotele verticale apar acolo unde numitorul este zero (și numărătorul este nenul).

**Răspuns corect:** C. $x = 3$

**Rezolvare**

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

---

## Asimptote #2 — Începător · 5 puncte

Asimptota orizontală a funcției $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 5}$ la $\pm\infty$ este:

A. $y = 0$
B. $y = 1$
C. $y = 2$
D. nu există asimptotă orizontală

**Indiciu:** Numărător și numitor de același grad: împărțiți coeficienții dominanți.

**Răspuns corect:** C. $y = 2$

**Rezolvare**

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x + 1}{x - 5} = 2$, deci $y = 2$.

---

## Asimptote #3 — Mediu · 5 puncte

Funcția $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$ are asimptote verticale în:

A. $x = 0$ doar
B. $x = 1$ doar
C. $x = 2$ doar
D. $x = -2$ și $x = 2$

**Indiciu:** Găsiți toate valorile unde numitorul este zero (numărătorul este nenul acolo).

**Răspuns corect:** D. $x = -2$ și $x = 2$

**Rezolvare**

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$. Ambele sunt asimptote verticale.

---

## Asimptote #4 — Mediu · 5 puncte

Asimptota oblică a funcției $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ când $x \to \pm\infty$ este:

A. $y = 1$
B. $y = x$
C. $y = x^2$
D. $y = x + 1$

**Indiciu:** Împărțiți $x^2 + 1$ la $x$: câtul este $x$, restul este $1$.

**Răspuns corect:** B. $y = x$

**Rezolvare**

$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$. Când $x \to \pm\infty$, $\dfrac{1}{x} \to 0$, deci asimptota oblică este $y = x$.

---

## Asimptote #5 — Mediu · 5 puncte

Pentru $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$, $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ este egal cu:

A. $-\infty$
B. $0$
C. $\infty$
D. $1$

**Indiciu:** Apropiați-vă de $1$ prin dreapta: $x - 1 > 0$ și mic.

**Răspuns corect:** C. $\infty$

**Rezolvare**

$x - 1 \to 0^+$, deci $\dfrac{1}{x - 1} \to +\infty$.

---

## Asimptote #6 — Mediu · 5 puncte

Funcția $f(x) = \tg x$ are asimptote verticale în:

A. $x = n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$
B. $x = \dfrac{\pi}{2}$ doar
C. $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$
D. niciunde

**Indiciu:** Unde este $\cos x = 0$?

**Răspuns corect:** C. $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$

**Rezolvare**

$\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ are asimptote verticale acolo unde $\cos x = 0$, adică $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$.

---

## Asimptote #7 — Avansat · 5 puncte

Asimptota oblică a funcției $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{x - 1}$ când $x \to \pm\infty$ este:

A. $y = 2x$
B. $y = 2x + 3$
C. $y = 2x + 5$
D. $y = x + 1$

**Indiciu:** Împărțiți $2x^2 + 3x + 1$ la $x - 1$.

**Răspuns corect:** C. $y = 2x + 5$

**Rezolvare**

$\dfrac{2x^2 + 3x + 1}{x - 1} = 2x + 5 + \dfrac{6}{x - 1}$. Când $x \to \pm\infty$, restul dispare, rămânând asimptota oblică $y = 2x + 5$.

---

## Asimptote #8 — Avansat · 5 puncte

Funcția $f(x) = e^{-x}$ la $x \to \infty$:

A. are asimptotă orizontală $y = 0$
B. are asimptotă orizontală $y = 1$
C. are asimptotă verticală $x = 0$
D. nu are asimptotă

**Răspuns corect:** A. are asimptotă orizontală $y = 0$

**Rezolvare**

$\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$, deci $y = 0$ este asimptotă orizontală la $+\infty$.

---

## Asimptote #9 — Avansat · 5 puncte

Numărul total de asimptote (verticale + orizontale + oblice) ale funcției $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ este:

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

**Indiciu:** Numărați asimptotele verticale (zerouri ale numitorului), apoi orizontale/oblice din limita la infinit.

**Răspuns corect:** C. $3$

**Rezolvare**

Verticale: $x = \pm 1$ (două). Orizontală: $\lim f(x) = 1$ (una). Total: $3$. (Nu există oblică — funcția rațională are numărător și numitor de același grad.)

---

## Asimptote #10 — Expert · 5 puncte

Asimptota oblică a graficului funcției $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ spre $-\infty$ are ecuația:

A. $y=x$
B. $y=2x$
C. $y=0$
D. $y=-x$

**Indiciu:** Atenție — pentru $x\to-\infty$, radicalul $\sqrt{x^2}$ nu se simplifică la $x$, ci la modulul lui $x$; calculează separat panta față de cazul $x\to+\infty$ folosind această observație.

**Răspuns corect:** D. $y=-x$

**Rezolvare**

**Panta:** $m=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. Pentru $x<0$, $\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+1/x^2}$ (fiindcă $\sqrt{x^2}=|x|=-x$), deci

$$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-1.$$

Așadar $m=-1$.

**Ordonata:** $n=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-(-x)\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$. Cu substituția $x=-t$ ($t\to+\infty$):

$$\sqrt{t^2+1}-t=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}\xrightarrow[t\to\infty]{}0,$$

deci $n=0$.

Asimptota este $y=-x$ — diferită de asimptota spre $+\infty$, care este $y=x$ (o capcană clasică: rădăcina pătrată "alege" semnul lui $x$).

Verificare: la $x=-1000$, $f(x)=\sqrt{1000001}\approx1000{,}0005$, iar $-x=1000$; diferența $\approx0{,}0005\to0$. ✓

---

## Asimptote #11 — Expert · 5 puncte

Asimptota orizontală spre $+\infty$ a graficului funcției $f(x)=x\ln\dfrac{x+1}{x}$ este dreapta de ecuație:

A. $y=0$
B. $y=e$
C. $y=1$
D. graficul nu are asimptotă orizontală

**Indiciu:** $\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac1x$, deci $f(x)=\ln\left(1+\dfrac1x\right)^{x}$. Ce limită remarcabilă recunoști?

**Răspuns corect:** C. $y=1$

**Rezolvare**

Folosind proprietatea logaritmului:
$$f(x)=x\ln\left(1+\frac1x\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)^{x}.$$

Cum $\left(1+\dfrac1x\right)^{x}\to e$ când $x\to+\infty$, iar logaritmul este continuu:
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln e=1.$$

Deci $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Observație: este o nedeterminare $\infty\cdot 0$ — logaritmul tinde la $0$, dar „de ordinul $\frac1x$", exact cât să compenseze factorul $x$. ✓

---

## Asimptote #12 — Legendar · 5 puncte

Fie $f(x) = \sqrt{x^2+4x+3} - x$, $x \in (-\infty,-3]\cup[-1,\infty)$. Ecuația asimptotei oblice a graficului funcției $f$ spre $-\infty$ este:

A. $y = 2x + 2$
B. $y = -2x + 2$
C. $y = -x - 2$
D. $y = -2x - 2$

**Indiciu:** Spre $-\infty$, scrie $f(x) = \dfrac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}+x}$ (raționalizare) și calculează separat $m=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}$, apoi $n=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-mx)$. Atenție: pentru $x<0$, $\sqrt{x^2}=-x\neq x$.

**Răspuns corect:** D. $y = -2x - 2$

**Rezolvare**

**Pasul 1 (calculăm mai întâi limita auxiliară $D(x)$, prin raționalizare).** Notăm $D(x)=\sqrt{x^2+4x+3}+x$ și amplificăm cu conjugata pentru a scăpa de radical:

$$D(x) = \sqrt{x^2+4x+3}+x = \frac{\left(x^2+4x+3\right)-x^2}{\sqrt{x^2+4x+3}-x} = \frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}-x}$$

Pentru $x\to-\infty$ (deci $x<0$), $\sqrt{x^2+4x+3}=-x\sqrt{1+\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2}}$, deci numitorul $\sqrt{x^2+4x+3}-x = -x\Big(\sqrt{1+\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2}}+1\Big) \to -x\cdot 2$. Împărțind numărătorul și numitorul prin $x$:

$$D(x) = \frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}-x} \xrightarrow[x\to-\infty]{} \frac{4}{-2} = -2$$

**Pasul 2 (panta $m$).** Amplificăm $f$ însăși cu conjugata: $f(x) = \sqrt{x^2+4x+3}-x = \dfrac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}+x} = \dfrac{4x+3}{D(x)}$. Atunci:

$$m = \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty} \frac{4x+3}{x\cdot D(x)} = \lim_{x\to-\infty}\frac{4+\tfrac{3}{x}}{D(x)} = \frac{4}{-2} = -2$$

**Pasul 3 (ordonata $n$).** Direct din definiție:

$$n = \lim_{x\to-\infty}\big(f(x)-mx\big) = \lim_{x\to-\infty}\big(\sqrt{x^2+4x+3}-x+2x\big) = \lim_{x\to-\infty}\big(\sqrt{x^2+4x+3}+x\big) = \lim_{x\to-\infty} D(x) = -2$$

(acesta e exact $D(x)$ calculat la Pasul 1.)

Deci $m=-2$, $n=-2$, iar asimptota oblică spre $-\infty$ este **$y = -2x-2$**.

Observație pentru cei care aleg $y=2x+2$: aceea e capcana clasică de semn (uitarea faptului că $\sqrt{x^2}=-x$, nu $x$, când $x\to-\infty$). Spre $+\infty$, în schimb, funcția are o asimptotă *orizontală* $y=2$ (nu oblică, pentru că acolo $m=0$) — ramurile nu sunt simetrice, spre deosebire de o funcție rațională obișnuită unde $+\infty$ și $-\infty$ dau mereu aceeași asimptotă.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.