[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/continuitate > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/continuitate** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/continuitate** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Continuitate — clasa a 11-a Clasa a 11-a · 35 exerciții cu continuitate în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Continuitate #1 — Începător · 5 puncte Funcția $f(x) = x^2 + 3x - 1$ este continuă pe: A. $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ B. $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ C. $\mathbb{R}$ D. doar pe $[0, 1]$ **Răspuns corect:** C. $\mathbb{R}$ **Rezolvare** Funcțiile polinomiale sunt continue peste tot pe $\mathbb{R}$. --- ## Continuitate #2 — Începător · 5 puncte Funcția $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ este discontinuă în: A. $0$ B. $2$ C. $-2$ D. niciunde **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** $f$ este nedefinită în $x = 2$, unde numitorul se anulează. --- ## Continuitate #3 — Mediu · 5 puncte Pentru ce valoare $a \in \mathbb{R}$ este $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \ne 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$ continuă în $x = 1$? A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $4$ **Indiciu:** Calculați $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ și egalați cu $a$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2$ când $x \to 1$. Pentru continuitate, $a = 2$. --- ## Continuitate #4 — Mediu · 5 puncte Pentru $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ x^2 + a, & x > 1 \end{cases}$, găsiți $a$ astfel încât $f$ să fie continuă în $x = 1$: A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $4$ **Indiciu:** Egalați $\lim_{x \to 1^-}f(x) = \lim_{x \to 1^+}f(x)$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** Stânga: $2 \cdot 1 + 1 = 3$. Dreapta: $1 + a$. Egalând: $a = 2$. --- ## Continuitate #5 — Mediu · 5 puncte Funcția $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ are în $x = 0$: A. o discontinuitate eliminabilă B. o prelungire continuă C. o discontinuitate de salt D. o discontinuitate esențială **Indiciu:** Calculați limitele laterale în $0$. **Răspuns corect:** C. o discontinuitate de salt **Rezolvare** $\lim_{x \to 0^-}f = -1$ și $\lim_{x \to 0^+}f = 1$ — limite finite dar inegale, deci o discontinuitate de salt. --- ## Continuitate #6 — Mediu · 5 puncte Prin Teorema Valorii Intermediare, ecuația $f(x) = x^3 + x - 1 = 0$ are cel puțin o rădăcină în: A. $(-1, 0)$ B. $(0, 1)$ C. $(1, 2)$ D. niciunde pe $\mathbb{R}$ **Indiciu:** Verificați semnele lui $f(0)$ și $f(1)$. **Răspuns corect:** B. $(0, 1)$ **Rezolvare** $f(0) = -1 < 0$ și $f(1) = 1 > 0$. Deoarece $f$ este continuă, prin TVI există $c \in (0, 1)$ cu $f(c) = 0$. --- ## Continuitate #7 — Avansat · 5 puncte Găsiți $a \in \mathbb{R}$ astfel încât $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(2x)}{x}, & x \ne 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}$ să fie continuă în $0$: A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $\dfrac{1}{2}$ **Indiciu:** $\dfrac{\sin(2x)}{x} = 2 \cdot \dfrac{\sin(2x)}{2x}$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$. Deci $a = 2$. --- ## Continuitate #8 — Avansat · 5 puncte Ecuația $\cos x = x$ are cel puțin o soluție în: A. $(-1, 0)$ B. $(0, \pi/2)$ C. $(\pi, 2\pi)$ D. niciunde **Indiciu:** Definiți $g(x) = \cos x - x$ și aplicați TVI (Bolzano). **Răspuns corect:** B. $(0, \pi/2)$ **Rezolvare** $g(0) = 1 > 0$, $g(\pi/2) = 0 - \pi/2 < 0$. Deoarece $g$ este continuă, prin TVI există $c \in (0, \pi/2)$ cu $g(c) = 0$, adică $\cos c = c$. --- ## Continuitate #9 — Avansat · 5 puncte Ecuația $x^3+x-5=0$ admite o soluție reală în intervalul: A. $(0,1)$ B. $(2,3)$ C. $(1,2)$ D. $(-2,-1)$ **Indiciu:** Aplică teorema lui Darboux (a valorii intermediare) pe capetele fiecărui interval — caută unde funcția își schimbă semnul. **Răspuns corect:** C. $(1,2)$ **Rezolvare** Fie $h(x)=x^3+x-5$, continuă pe $\mathbb{R}$. Avem $h(1)=1+1-5=-3<0$ și $h(2)=8+2-5=5>0$. Cum $h$ este continuă și schimbă semnul pe $[1,2]$, prin teorema lui Darboux există cel puțin o soluție în $(1,2)$. În celelalte intervale nu are loc schimbare de semn: $h(0)=-5$, $h(-1)=-7$ (ambele negative), $h(3)=25$ (pozitiv, ca și $h(2)$). În plus, $h'(x)=3x^2+1>0$ pentru orice $x$, deci $h$ este strict crescătoare — soluția este unică și se află exact în $(1,2)$. Verificare: $h(1{,}5)=3{,}375+1{,}5-5=-0{,}125<0$ și $h(1{,}6)=4{,}096+1{,}6-5=0{,}696>0$, deci rădăcina este chiar în $(1{,}5;\,1{,}6)\subset(1,2)$. ✓ --- ## Continuitate #10 — Expert · 5 puncte Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin(ax)}{x}, & x<0\\ b, & x=0\\ \dfrac{e^{2x}-1}{x}, & x>0\end{cases}$, cu $a,b\in\mathbb{R}$. Pentru ca $f$ să fie continuă pe $\mathbb{R}$, valoarea sumei $a+b$ este: A. $4$ B. $2$ C. $6$ D. $3$ **Indiciu:** Calculează separat limita la stânga (limita notabilă $\frac{\sin(ax)}{x}\to a$) și limita la dreapta (limita notabilă $\frac{e^{2x}-1}{x}\to2$); ambele trebuie să fie egale cu $f(0)=b$. **Răspuns corect:** A. $4$ **Rezolvare** $$\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(ax)}{x}=a\cdot\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(ax)}{ax}=a\cdot1=a$$ (pentru $a\ne0$; dacă $a=0$ limita e $0=a$, formula rămâne valabilă). $$\lim_{x\to0^+}\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{e^{2x}-1}{2x}=2\cdot1=2.$$ Continuitatea în $x=0$ cere ca cele două limite laterale și $f(0)=b$ să fie egale: $a=2$ și $b=2$. Deci $a+b=2+2=4$. Verificare: cu $a=b=2$, la $x=-0{,}001$: $\dfrac{\sin(-0{,}002)}{-0{,}001}\approx1{,}999999$; la $x=0{,}001$: $\dfrac{e^{0{,}002}-1}{0{,}001}\approx2{,}002$ — ambele aproape de $2=f(0)$. ✓ --- ## Continuitate #11 — Expert · 5 puncte Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le 1\\ ax+b, & x>1\end{cases}$$ Dacă $f$ este derivabilă pe $\mathbb R$, atunci $a+b$ este egal cu: A. $3$ B. $2$ C. $0$ D. $1$ **Indiciu:** Derivabilitatea în $x=1$ cere **două** condiții: continuitatea ($f$ să nu „sară") și egalitatea derivatelor laterale. **Răspuns corect:** D. $1$ **Rezolvare** Pe $(-\infty,1)$ și pe $(1,+\infty)$ funcția e derivabilă (polinoame). Rămâne punctul de racordare $x=1$. **Continuitate în $1$:** $$\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=a+b,$$ deci $a+b=1$. **Derivabilitate în $1$:** derivatele laterale trebuie să coincidă: $$f'_s(1)=2x\big|_{x=1}=2,\qquad f'_d(1)=a,$$ deci $a=2$, și atunci $b=1-a=-1$. Verificare: $f(x)=2x-1$ pentru $x>1$ — tangenta la parabolă în $(1,1)$, deci racordarea e netedă ✓. Prin urmare $$a+b=2+(-1)=1.$$ Observație: condiția de continuitate **singură** dă direct $a+b=1$ — dar derivabilitatea este cea care fixează $a$ și $b$ separat. ✓ --- ## Continuitate #12 — Legendar · 5 puncte Fie $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x^3$ (observă că $f(0)=f(1)=0$). Se știe că există $c\in\left[0,\tfrac12\right]$ astfel încât $f(c)=f\!\left(c+\tfrac12\right)$ (teorema „coardei orizontale" de lungime $\tfrac12$). Valoarea exactă a lui $c$ este: A. $\dfrac{1-\sqrt{13}}{12}$ B. $\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}$ C. $\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$ D. $\dfrac{13}{12}$ **Indiciu:** Definește $g(x)=f\!\left(x+\tfrac12\right)-f(x)$ pe $\left[0,\tfrac12\right]$. Din $f(0)=f(1)$ rezultă $g(0)=-g\!\left(\tfrac12\right)$, deci $g$ schimbă semnul (sau e nulă) — Darboux garantează o rădăcină. Rezolvă apoi exact ecuația $g(x)=0$. **Răspuns corect:** C. $\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$ **Rezolvare** **Pasul de recunoaștere:** definim $g(x)=f\!\left(x+\tfrac12\right)-f(x)$ pe $\left[0,\tfrac12\right]$. Atunci $$g(0) = f\!\left(\tfrac12\right)-f(0), \qquad g\!\left(\tfrac12\right) = f(1)-f\!\left(\tfrac12\right).$$ Cum $f(0)=f(1)=0$, avem $g(0)=f(1/2)$ și $g(1/2)=-f(1/2)$, deci $g(0)=-g(1/2)$ — cele două valori au semne opuse (sau ambele sunt $0$). Prin Darboux, există $c\in\left[0,\tfrac12\right]$ cu $g(c)=0$, adică $f(c)=f(c+1/2)$. **Rezolvare exactă:** cu $f(x)=x^2-x^3$, $$f\!\left(x+\tfrac12\right)-f(x) = \left(x+\tfrac12\right)^2-\left(x+\tfrac12\right)^3 - x^2+x^3.$$ Dezvoltând (verificat simbolic), ecuația $g(x)=0$ se reduce la $12x^2-2x-1=0$, cu soluțiile $$x = \frac{2\pm\sqrt{4+48}}{24} = \frac{1\pm\sqrt{13}}{12}.$$ Doar $\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}\approx 0{,}384 \in \left[0,\tfrac12\right]$ este validă (cealaltă, $\dfrac{1-\sqrt{13}}{12}\approx -0{,}217$, e negativă). Verificare (sympy): `solve(expand(f(x)-f(x+Rational(1,2))), x)` → $\left\{\dfrac{1-\sqrt{13}}{12},\ \dfrac{1+\sqrt{13}}{12}\right\}$; doar a doua e în $[0,1/2]$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.