[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/derivate

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/derivate**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/derivate** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Derivate — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 88 exerciții cu derivate în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Derivate #1 — Începător · 5 puncte

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2+3x$. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ este:

A. $5$
B. $4$
C. $2$
D. $3$

**Indiciu:** Pentru o funcție derivabilă, $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ — definiția derivatei în punctul $a$.

**Răspuns corect:** A. $5$

**Rezolvare**

Calculăm $f(1)=1^2+3\cdot 1=4$, deci limita devine:

$$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+3x-4}{x-1}$$

Forma este nedeterminată, $\dfrac{0}{0}$, așa că factorizăm numărătorul: $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$. Pentru $x\neq 1$:

$$\dfrac{(x-1)(x+4)}{x-1}=x+4$$

Prin urmare:

$$\lim_{x\to 1}(x+4)=5$$

Echivalent: limita este $f'(1)$ pentru $f(x)=x^2+3x$, iar $f'(x)=2x+3$, deci $f'(1)=2\cdot 1+3=5$.

---

## Derivate #2 — Începător · 5 puncte

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 4x + 7$. Conform teoremei lui Fermat, abscisa punctului staționar al lui $f$ este:

A. $4$
B. $2$
C. $-2$
D. $7$

**Indiciu:** Un punct staționar este soluția ecuației $f'(x) = 0$.

**Răspuns corect:** B. $2$

**Rezolvare**

Derivăm:
$$f'(x) = 2x - 4.$$

Punem $f'(x) = 0$:
$$2x - 4 = 0 \implies x = 2.$$

Verificare: $f'(2) = 2\cdot 2 - 4 = 0$. ✓

---

## Derivate #3 — Mediu · 5 puncte

Fie $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^7}}+\ln\sqrt[3]{x^{10}}$. Aflați $f(1)+f'(1)$.

A. $-\dfrac{17}{3}$
B. $\dfrac{3}{10}$
C. 1
D. 2
E. $\dfrac{10}{3}$
F. 0

**Indiciu:** Rescrieți cu reguli de exponenți: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^7}}=x^{-7/3}$ și $\ln\sqrt[3]{x^{10}}=\dfrac{10}{3}\ln x$.

**Răspuns corect:** D. 2

**Rezolvare**

$f(x)=x^{-7/3}+\dfrac{10}{3}\ln x$.

$f(1)=1^{-7/3}+\dfrac{10}{3}\ln 1=1+0=1$.

$f'(x)=-\dfrac{7}{3}x^{-10/3}+\dfrac{10}{3x}$, deci $f'(1)=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{10}{3}=1$.

Așadar $f(1)+f'(1)=1+1=2$.

---

## Derivate #4 — Mediu · 5 puncte

Daca $f(x) = (x^2 + 1)^3$, calculati $f'(1)$.

A. $12$
B. $18$
C. $24$
D. $48$

**Indiciu:** Aplicati derivata functiilor compuse.

**Răspuns corect:** C. $24$

**Rezolvare**

$f'(x) = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2$. In $x=1$: $6 \cdot 1 \cdot 4 = 24$.

---

## Derivate #5 — Mediu · 5 puncte

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 3mx$, unde $m\in\mathbb{R}$. Valoarea lui $m$ pentru care $x=2$ este punct staționar al lui $f$ este:

A. $4$
B. $12$
C. $-4$
D. $\dfrac{2}{3}$

**Indiciu:** Un punct staționar în $x_0$ verifică $f'(x_0)=0$.

**Răspuns corect:** A. $4$

**Rezolvare**

Derivăm:
$$f'(x) = 3x^2 - 3m.$$

Punem condiția $f'(2)=0$:
$$3\cdot 4 - 3m = 0 \implies 12 = 3m \implies m = 4.$$

Verificare: pentru $m=4$, $f'(x) = 3x^2-12$, iar $f'(2) = 12-12=0$. ✓

---

## Derivate #6 — Mediu · 5 puncte

Fie $f:[1,3]\to\mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. Valoarea lui $c$ dată de teorema lui Lagrange pentru $f$ pe $[1,3]$ este:

A. $4$
B. $1{,}5$
C. $2$
D. $3$

**Indiciu:** Calculează întâi panta $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$, apoi rezolvă $f'(c)$ egal cu acea pantă.

**Răspuns corect:** C. $2$

**Rezolvare**

Panta dreptei prin capete:
$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Rezolvăm $f'(c) = 4$:
$$f'(x) = 2x = 4 \implies x = 2.$$

Cum $2\in(1,3)$, avem $c=2$.

Verificare: $f'(2)=4$, egal cu panta calculată. ✓

---

## Derivate #7 — Avansat · 5 puncte

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ este:

A. $0$
B. $2$
C. $4$
D. $8$

**Indiciu:** Această limită este chiar definiția derivatei $f'(2)$ pentru $f(x) = x^2$.

**Răspuns corect:** C. $4$

**Rezolvare**

Limita are forma nedeterminată $\frac{0}{0}$. Factorizăm numărătorul:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2$$

Deci limita este $2 + 2 = 4$. (Echivalent: este $f'(2)$ pentru $f(x)=x^2$, iar $f'(x)=2x$.)

---

## Derivate #8 — Avansat · 5 puncte

Pentru $f(x) = x^3$, valoarea limitei $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^3 - 27}{h}$ este:

A. $3$
B. $9$
C. $18$
D. $27$

**Indiciu:** Recunoaște definiția derivatei: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = f'(3)$.

**Răspuns corect:** D. $27$

**Rezolvare**

Limita este, prin definiție, $f'(3)$ pentru $f(x) = x^3$. Cum $f'(x) = 3x^2$, obținem:

$$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27$$

(Distractorul $9$ apare dacă se folosește din greșeală $x^2$ în loc de $3x^2$.)

---

## Derivate #9 — Avansat · 5 puncte

Fie $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$. Atunci $f'(2)$ este egal cu:

A. $1$
B. $4$
C. $-2$
D. $7$

**Indiciu:** Regula produsului: $(uv)' = u'v + uv'$. Nu este adevărat că $(uv)' = u'v'$.

**Răspuns corect:** A. $1$

**Rezolvare**

Cu $u = x^2+1$ și $v = x-3$ avem $u' = 2x$, $v' = 1$:

$$f'(x) = 2x(x-3) + (x^2+1)\cdot 1 = 3x^2 - 6x + 1$$

La $x = 2$: $f'(2) = 12 - 12 + 1 = 1$. (Distractorul $4$ provine din eroarea $(uv)' = u'v' = 2x \cdot 1$ la $x=2$.)

---

## Derivate #10 — Expert · 5 puncte

Calculati $\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $2$

**Indiciu:** Este forma $\tfrac{0}{0}$ - aplicati regula lui L'Hopital de doua ori.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Substitutia directa da $\tfrac{0}{0}$. Derivam numaratorul si numitorul: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{2x}$ - tot $\tfrac{0}{0}$. Inca o data: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x}{2} = \dfrac{1}{2}$.

---

## Derivate #11 — Expert · 5 puncte

Fie $f:[1,e^2]\to\mathbb{R}$, $f(x) = \ln x$. Valoarea lui $c$ dată de teorema lui Lagrange pentru $f$ pe $[1,e^2]$ este:

A. $e^2-1$
B. $\dfrac{e^2+1}{2}$
C. $\dfrac{2}{e^2-1}$
D. $\dfrac{e^2-1}{2}$

**Indiciu:** Panta este $\dfrac{\ln(e^2)-\ln 1}{e^2-1}$. Rezolvă $f'(c)=\dfrac{1}{c}$ egal cu acea pantă.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{e^2-1}{2}$

**Rezolvare**

Panta dreptei prin capete:
$$\frac{f(e^2)-f(1)}{e^2-1} = \frac{\ln(e^2)-\ln 1}{e^2-1} = \frac{2-0}{e^2-1} = \frac{2}{e^2-1}.$$

Rezolvăm $f'(c) = \dfrac{2}{e^2-1}$, cu $f'(x)=\dfrac1x$:
$$\frac{1}{c} = \frac{2}{e^2-1} \implies c = \frac{e^2-1}{2}.$$

Verificare: $c=\dfrac{e^2-1}{2}\approx 3{,}19$, care aparține lui $(1,e^2)\approx (1,7{,}39)$, deci este un $c$ valid. ✓

---

## Derivate #12 — Legendar · 5 puncte

$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=$

A. nu există
B. $0$
C. $1$
D. $+\infty$

**Indiciu:** Dacă aplici direct L'Hôpital, ajungi la $\lim_{x\to\infty}(1+\cos x)$ — care NU există. Asta NU înseamnă că limita inițială nu există; regula lui L'Hôpital este pur și simplu inconcludentă aici. Încearcă altă metodă.

**Răspuns corect:** C. $1$

**Rezolvare**

Aplicând (naiv) L'Hôpital: $\dfrac{x+\sin x}{x} \to \dfrac{1+\cos x}{1}$, iar $\cos x$ oscilează la nesfârșit între $-1$ și $1$ — limita derivatelor NU EXISTĂ. Regula lui L'Hôpital EȘUEAZĂ (este inconcludentă), deși limita inițială există.

Metoda corectă: $\dfrac{x+\sin x}{x} = 1+\dfrac{\sin x}{x}$, iar $\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac1x\to0$ când $x\to\infty$ (teorema cleștelui). Deci limita este $1$.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.