[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/determinanti

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/determinanti**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/determinanti** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Determinanți — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 108 exerciții cu determinanți în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Determinanți #1 — Începător · 5 puncte

Determinantul matricei $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ este:

A. $1$
B. $2$
C. $5$
D. $10$

**Indiciu:** $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.

**Răspuns corect:** B. $2$

**Rezolvare**

$\det A = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 2$.

---

## Determinanți #2 — Începător · 5 puncte

Determinantul matricei diagonale $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ este:

A. $-30$
B. $0$
C. $4$
D. $30$

**Indiciu:** Pentru o matrice diagonală (sau triunghiulară), determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.

**Răspuns corect:** A. $-30$

**Rezolvare**

$\det = 2 \cdot 5 \cdot (-3) = -30$.

---

## Determinanți #3 — Mediu · 5 puncte

Determinantul matricei $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ este:

A. $-15$
B. $-1$
C. $1$
D. $15$

**Indiciu:** Folosiți regula lui Sarrus sau dezvoltarea după prima coloană.

**Răspuns corect:** C. $1$

**Rezolvare**

Dezvoltăm după prima coloană: $1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 0 + 5 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) = -24 + 5 \cdot 5 = 1$.

---

## Determinanți #4 — Mediu · 5 puncte

Dacă $\det(A) = 5$ pentru o matrice $3 \times 3$, atunci $\det(2A)$ este:

A. $5$
B. $10$
C. $40$
D. $80$

**Indiciu:** $\det(kA) = k^n \det(A)$ pentru o matrice $n \times n$.

**Răspuns corect:** C. $40$

**Rezolvare**

$\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \cdot 5 = 40$.

---

## Determinanți #5 — Mediu · 5 puncte

Pentru ce valoare $m \in \mathbb{R}$ este $\det \begin{pmatrix} m & 1 \\ 4 & m \end{pmatrix} = 0$?

A. $\{0\}$
B. $\{2\}$
C. $\{-2, 2\}$
D. $\{4\}$

**Indiciu:** Egalați $m^2 - 4 = 0$.

**Răspuns corect:** C. $\{-2, 2\}$

**Rezolvare**

$m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m \in \{-2, 2\}$.

---

## Determinanți #6 — Mediu · 5 puncte

Dacă $\det(A) = 3$ și $\det(B) = -2$, atunci $\det(AB)$ este:

A. $-6$
B. $1$
C. $5$
D. $6$

**Indiciu:** $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.

**Răspuns corect:** A. $-6$

**Rezolvare**

$\det(AB) = 3 \cdot (-2) = -6$.

---

## Determinanți #7 — Avansat · 5 puncte

Determinantul $\det \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$ este egal cu (Vandermonde):

A. $abc$
B. $a + b + c$
C. $(b - a)(c - a)(c - b)$
D. $(a - b)(a - c)(b - c)$

**Indiciu:** Formula standard Vandermonde.

**Răspuns corect:** C. $(b - a)(c - a)(c - b)$

**Rezolvare**

$\det = (b - a)(c - a)(c - b)$. (Este zero dacă și numai dacă cel puțin două dintre $a, b, c$ sunt egale.)

---

## Determinanți #8 — Avansat · 5 puncte

O matrice pătrată $A$ este inversabilă dacă și numai dacă:

A. $\det(A) = 0$
B. $A$ este simetrică
C. $\det(A) \ne 0$
D. toate elementele sunt nenule

**Răspuns corect:** C. $\det(A) \ne 0$

**Rezolvare**

Inversabilitate ⟺ determinant nenul.

---

## Determinanți #9 — Avansat · 5 puncte

Se dă determinantul Vandermonde $\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}$. Valoarea acestuia este:

A. $12$
B. $-12$
C. $6$
D. $24$

**Indiciu:** Este un determinant Vandermonde cu valorile $a=-1,\,b=2,\,c=3$; formula este $(b-a)(c-a)(c-b)$.

**Răspuns corect:** A. $12$

**Rezolvare**

Cu $a=-1,\,b=2,\,c=3$:
$$(b-a)(c-a)(c-b)=(2-(-1))(3-(-1))(3-2)=3\cdot4\cdot1=12.$$

Verificare: dezvoltând direct determinantul prin regula lui Sarrus se obţine acelaşi rezultat, $12$ — formula Vandermonde este doar o scurtătură pentru acest tipar de matrice. ✓

---

## Determinanți #10 — Expert · 5 puncte

Se dă determinantul tridiagonal cu parametrul real $m$:
$$\begin{vmatrix}m&1&0\\1&m&1\\0&1&m\end{vmatrix}=0.$$
Suma tuturor valorilor reale ale lui $m$ pentru care ecuaţia este verificată este:

A. $2$
B. $-2$
C. $\sqrt{2}$
D. $0$

**Indiciu:** Dezvoltă după prima linie pentru a obţine o ecuaţie de gradul al treilea în $m$; observă că poţi afla suma tuturor rădăcinilor direct din coeficienţi (Viète), fără a le calcula individual.

**Răspuns corect:** D. $0$

**Rezolvare**

Dezvoltând după prima linie:
$$\Delta(m)=m\begin{vmatrix}m&1\\1&m\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\0&m\end{vmatrix}=m(m^2-1)-m=m^3-2m.$$

Ecuaţia $m^3-2m=0$ se scrie $m(m^2-2)=0$, cu rădăcinile $m=0$, $m=\sqrt2$, $m=-\sqrt2$ — toate reale.

Suma lor este $0+\sqrt2+(-\sqrt2)=0$. (Acelaşi rezultat rezultă direct din Viète: în $m^3+0\cdot m^2-2m+0=0$, coeficientul lui $m^2$ este $0$, deci suma rădăcinilor este $-\dfrac{0}{1}=0$.)

Verificare: $0^3-2\cdot0=0$ ✓, $(\sqrt2)^3-2\sqrt2=2\sqrt2-2\sqrt2=0$ ✓, $(-\sqrt2)^3-2(-\sqrt2)=-2\sqrt2+2\sqrt2=0$ ✓ — toate cele trei rădăcini verifică ecuaţia, iar suma lor este $0$.

---

## Determinanți #11 — Expert · 5 puncte

Punctele $A(1,\,1)$, $B(2,\,3)$ și $C(3,\,5)$ sunt coliniare deoarece:

A. $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=1$
B. $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=0$
C. au aceleași abscise
D. suma coordonatelor este constantă

**Indiciu:** Calculează efectiv determinantul cu coordonatele punctelor și o coloană de $1$, apoi leagă-l de aria triunghiului $ABC$.

**Răspuns corect:** B. $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=0$

**Rezolvare**

$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=1(3-5)-1(2-3)+1(10-9)=-2+1+1=0.$$ ✓

Anularea acestui determinant este chiar criteriul de coliniaritate — el este, până la factorul $\dfrac12$, aria triunghiului $ABC$. Aria nulă înseamnă triunghi degenerat, adică puncte coliniare.

(Într-adevăr, toate trei se află pe dreapta $y=2x-1$.)

---

## Determinanți #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea determinantului $$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ -3 & -2 & -1 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & -2 & -3 & 0 \end{vmatrix}$$ este:

A. $0$
B. $8$
C. $6$
D. $4$

**Indiciu:** Comparați $A^{T}$ cu $-A$ — verificați relația dintre $a_{ij}$ și $a_{ji}$. Apoi legați $\det(A^{T})$ de $\det(-A)$ folosind $\det(A^{T})=\det(A)$ și $\det(cA)=c^{n}\det(A)$ (aici $n=5$). O dezvoltare directă pe linii/coloane ar avea prea mulți termeni pentru a fi practică.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

Notăm $A$ matricea dată. Verificăm din elemente că $a_{ij} = -a_{ji}$ pentru orice pereche $(i,j)$ — de exemplu $a_{12}=2=-a_{21}$, $a_{25}=3=-a_{52}$, $a_{34}=1=-a_{43}$ — și $a_{ii}=0$ pe diagonală, deci $A^{T} = -A$ (matrice antisimetrică). Folosim două proprietăți valabile pentru orice matrice pătratică $n\times n$: $$\det(A^{T}) = \det(A) \quad \text{și} \quad \det(cA) = c^{n}\det(A).$$ Pentru $c=-1$ și $n=5$ (impar): $$\det(-A) = (-1)^{5}\det(A) = -\det(A).$$ Cum $A^{T} = -A$, rezultă $$\det(A) = \det(A^{T}) = \det(-A) = -\det(A) \;\Rightarrow\; 2\det(A) = 0 \;\Rightarrow\; \det(A) = 0.$$ Observație: concluzia e independentă de valorile concrete — orice matrice antisimetrică de ordin impar are determinant $0$; o dezvoltare Laplace directă pe prima linie ar necesita patru minori $4\times 4$ (fiecare reductibil la minori $3\times 3$ și $2\times 2$), deci zeci de termeni — nepractic sub presiune de timp. Ca verificare directă, dezvoltarea pe prima linie dă $$\det(A) = -a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14} + a_{15}M_{15} = -2(-4) + 1(-2) - 3(4) + 1(6) = 8 - 2 - 12 + 6 = 0,$$ confirmând recunoașterea structurală.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.