[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/ecuatii-matriceale

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/ecuatii-matriceale**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/ecuatii-matriceale** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Ecuații matriceale — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 51 exerciții cu ecuații matriceale în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Ecuații matriceale #1 — Începător · 5 puncte

Inversa matricei $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ este:

A. $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

**Indiciu:** Pentru matrice diagonale, inversa are elementele reciproce pe diagonală.

**Răspuns corect:** C. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$ — verificați că $A \cdot A^{-1} = I_2$.

---

## Ecuații matriceale #2 — Începător · 5 puncte

Inversa matricei $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ este:

A. $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$
D. $\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

**Indiciu:** Pentru $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ cu $\det = ad - bc \ne 0$, inversa este $\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

**Răspuns corect:** A. $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$\det = 6 - 5 = 1$. Inversa: $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$.

---

## Ecuații matriceale #3 — Mediu · 5 puncte

Rezolvați $AX = B$ unde $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$. Soluția $X$ este:

A. $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}$

**Indiciu:** $X = A^{-1} B$.

**Răspuns corect:** B. $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$. Deci $X = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 6/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.

---

## Ecuații matriceale #4 — Mediu · 5 puncte

Pentru $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$, rezolvați $XA = B$. Atunci $X$ este egal cu:

A. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$

**Indiciu:** $X = B \cdot A^{-1}$.

**Răspuns corect:** C. $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$. Deci $X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 4 \cdot 1/2 \\ 6 \cdot 1 & 8 \cdot 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$.

---

## Ecuații matriceale #5 — Mediu · 5 puncte

Pentru ce valoare $m \in \mathbb{R}$ matricea $A = \begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m + 1 \end{pmatrix}$ NU este inversabilă?

A. $\{2\}$
B. $\{-2\}$
C. $\{-3, 2\}$
D. $\{0\}$

**Indiciu:** Impuneți $\det A = 0$.

**Răspuns corect:** C. $\{-3, 2\}$

**Rezolvare**

$\det A = m(m + 1) - 6 = m^2 + m - 6 = (m - 2)(m + 3) = 0 \Rightarrow m \in \{-3, 2\}$.

---

## Ecuații matriceale #6 — Mediu · 5 puncte

Pentru matrice inversabile $A, B$, inversa lui $AB$ este egală cu:

A. $A^{-1} B^{-1}$
B. $A B^{-1}$
C. $B^{-1} A^{-1}$
D. $(A B)^T$

**Indiciu:** $(AB)^{-1}$ — ordinea contează deoarece înmulțirea matricelor nu este comutativă.

**Răspuns corect:** C. $B^{-1} A^{-1}$

**Rezolvare**

$(AB)(B^{-1} A^{-1}) = A(B B^{-1}) A^{-1} = A I A^{-1} = I$. Deci $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.

---

## Ecuații matriceale #7 — Avansat · 5 puncte

Inversa matricei de rotație $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ este:

A. $R(\theta)$
B. $R(2\theta)$
C. $R(-\theta)$
D. $R(\pi - \theta)$

**Indiciu:** O rotație cu $\theta$ urmată de o rotație cu $-\theta$ dă matricea unitate.

**Răspuns corect:** C. $R(-\theta)$

**Rezolvare**

$R(\theta) R(-\theta) = I_2$, deci $R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$.

---

## Ecuații matriceale #8 — Avansat · 5 puncte

Pentru $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, matricea $A^2$ este egală cu:

A. $A$
B. $I_2$
C. $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

**Indiciu:** Calculați $A \cdot A$.

**Răspuns corect:** C. $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. ($A$ este nilpotentă.)

---

## Ecuații matriceale #9 — Avansat · 5 puncte

Sistemul $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$ sub forma matriceală $AX = B$ are $A$ egal cu:

A. $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}$

**Indiciu:** Liniile matricei coeficienților sunt coeficienții fiecărei ecuații.

**Răspuns corect:** A. $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ — coeficienții lui $x$ și $y$ din fiecare ecuație.

---

## Ecuații matriceale #10 — Expert · 5 puncte

Se dau matricele $A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$ şi $B=\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}$. Fie $X$ matricea de ordinul $2$ care verifică ecuaţia matriceală $AX=B$. Urma matricei $X$ (adică $\operatorname{tr}(X)=X_{11}+X_{22}$) este:

A. $1$
B. $5$
C. $3$
D. $-3$

**Indiciu:** Din $AX=B$ obţii $X=A^{-1}B$; pentru o matrice $2\times2$, dacă $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, atunci $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, unde $\det A$ se calculează pentru matricea dată.

**Răspuns corect:** C. $3$

**Rezolvare**

$\det(A)=2\cdot2-1\cdot3=1\ne0$, deci $A$ este inversabilă şi ecuaţia are soluţie unică $X=A^{-1}B$.

$$A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}.$$

$$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot5-1\cdot8&2\cdot3-1\cdot5\\-3\cdot5+2\cdot8&-3\cdot3+2\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.$$

Urma este $\operatorname{tr}(X)=X_{11}+X_{22}=2+1=3.$

Verificare: înmulţim înapoi, $AX=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot1&2\cdot1+1\cdot1\\3\cdot2+2\cdot1&3\cdot1+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\8&5\end{pmatrix}=B$ ✓, confirmă $X$ corect şi $\operatorname{tr}(X)=3$.

---

## Ecuații matriceale #11 — Expert · 5 puncte

Soluția ecuației $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ este:

A. $\begin{pmatrix}-3 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}$

**Indiciu:** Aici $B=I_2$, deci $X=A^{-1}$; iar $\det A=1$.

**Răspuns corect:** D. $\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}$

**Rezolvare**

$$\det A=1\cdot 3-2\cdot 1=1,$$

$$X=A^{-1}=\frac11\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}.$$ ✓

Verificare: $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2$ ✓

---

## Ecuații matriceale #12 — Expert · 5 puncte

Fie $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ și $B=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}$. Dacă $X$ verifică $XA^2=B$, elementul de pe poziția $(1,2)$ al lui $X$ este:

A. $6$
B. $-3$
C. $2$
D. $-5$

**Indiciu:** Din $XA^2=B$ rezultă $X=B\left(A^2\right)^{-1}$. Calculează întâi $A^2$, apoi inversează-l.

**Răspuns corect:** D. $-5$

**Rezolvare**

$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, cu $\det(A^2)=1$, deci $(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$. Atunci
$$X=B(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6+1\\2&-4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix}.$$

Elementul de pe poziția $(1,2)$ este $-5$.

Verificare: $XA^2=\begin{pmatrix}3&-5\\2&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6-5\\2&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}=B$ ✓.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.