[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/functii-trigonometrice-inverse

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/functii-trigonometrice-inverse**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/functii-trigonometrice-inverse** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Funcții trigonometrice inverse — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 60 exerciții cu funcții trigonometrice inverse în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Funcții trigonometrice inverse #1 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos 1$ este:

A. $\dfrac\pi2$
B. $\pi$
C. $0$
D. $1$

**Indiciu:** Care unghi din $[0,\pi]$ are cosinusul $1$?

**Răspuns corect:** C. $0$

**Rezolvare**

$$\cos 0=1\ \Rightarrow\ \arccos 1=0.$$ ✓

Este valoarea **minimă** a arccosinusului, atinsă în capătul $x=1$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #2 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos 0$ este:

A. $\dfrac\pi2$
B. $\pi$
C. $1$
D. $0$

**Indiciu:** Care unghi din $[0,\pi]$ are cosinusul $0$?

**Răspuns corect:** A. $\dfrac\pi2$

**Rezolvare**

$$\arccos 0=\frac\pi2.$$ ✓

Coincide cu $\arcsin 1$ — nu întâmplător: $\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2$ pentru orice $x$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #3 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos(-1)$ este:

A. $\pi$
B. $-\dfrac\pi2$
C. $0$
D. $-\pi$

**Indiciu:** Care unghi din $[0,\pi]$ are cosinusul $-1$?

**Răspuns corect:** A. $\pi$

**Rezolvare**

$$\arccos(-1)=\pi.$$ ✓

Este valoarea **maximă** a arccosinusului. Observă că, spre deosebire de arcsinus, arccosinusul **nu** ia valori negative.

---

## Funcții trigonometrice inverse #4 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos\dfrac12$ este:

A. $\dfrac\pi6$
B. $\dfrac{2\pi}{3}$
C. $\dfrac\pi3$
D. $\dfrac\pi4$

**Indiciu:** Caută unghiul din $[0,\pi]$ al cărui cosinus este $\dfrac12$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac\pi3$

**Rezolvare**

$$\arccos\frac12=\frac\pi3.$$ ✓

Verificare cu relația complementară: $\arcsin\dfrac12+\arccos\dfrac12=\dfrac\pi6+\dfrac\pi3=\dfrac\pi2$ ✓

---

## Funcții trigonometrice inverse #5 — Avansat · 5 puncte

Calculați $\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

A. $0$
B. $\dfrac{\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{4}$
D. $\dfrac{\pi}{3}$
E. $\dfrac{\pi}{2}$
F. $\pi$

**Indiciu:** Folosiți identitatea complementară: $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ pentru orice $x \in [-1, 1]$.

**Răspuns corect:** E. $\dfrac{\pi}{2}$

**Rezolvare**

Conform identității complementare, $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ pentru orice $x \in [-1, 1]$. Cu $x = \sqrt{3}/2$, suma este $\dfrac{\pi}{2}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #6 — Avansat · 5 puncte

Calculați $\arctg(1) + \arctg(\sqrt{3})$.

A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{7\pi}{12}$
E. $\dfrac{2\pi}{3}$
F. $\dfrac{3\pi}{4}$

**Indiciu:** Recunoașteți valorile notabile: $\arctg(1) = \dfrac{\pi}{4}$ (deoarece $\tg\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$) și $\arctg(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}$ (deoarece $\tg\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$).

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{7\pi}{12}$

**Rezolvare**

$\arctg(1) = \dfrac{\pi}{4}$ și $\arctg(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}$. Suma este $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{4\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #7 — Avansat · 5 puncte

Calculați $\arccos\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{\pi}{2}$
E. $\dfrac{2\pi}{3}$
F. $\dfrac{5\pi}{6}$

**Indiciu:** Calculați mai întâi $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ folosind formula $\sin(\pi - x) = \sin x$, apoi aplicați $\arccos$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{\pi}{6}$

**Rezolvare**

$\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Deci $\arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #8 — Expert · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}\right)$ este:

A. $\dfrac{2\pi}{3}$
B. $-\dfrac{2\pi}{3}$
C. $\dfrac\pi3$
D. $\dfrac{4\pi}{3}$

**Indiciu:** Calculează întâi $\cos\dfrac{4\pi}{3}$; rezultatul final trebuie să fie în $[0,\pi]$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{2\pi}{3}$

**Rezolvare**

$$\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12\ \Rightarrow\ \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$$ ✓

Cum $\dfrac{4\pi}{3}\notin[0,\pi]$, egalitatea $\arccos(\cos x)=x$ **nu** se aplică. Rezultatul corect este $2\pi-\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #9 — Expert · 5 puncte

Valoarea lui $\sin\left(\arccos\dfrac35\right)$ este:

A. $\dfrac35$
B. $-\dfrac45$
C. $\dfrac{16}{25}$
D. $\dfrac45$

**Indiciu:** Notează $t=\arccos\dfrac35$; atunci $t\in[0,\pi]$, unde **sinusul** este pozitiv.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac45$

**Rezolvare**

Fie $t=\arccos\dfrac35$, deci $\cos t=\dfrac35$ și $t\in[0,\pi]$.

$$\sin^2t=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\ \Rightarrow\ \sin t=\frac45,$$
rădăcina pozitivă fiind cea corectă, fiindcă pe $[0,\pi]$ sinusul este $\ge 0$. ✓

Formula generală: $\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #10 — Expert · 5 puncte

Valoarea lui $\cos\left(\arcsin\dfrac35\right)$ este:

A. $\dfrac35$
B. $-\dfrac45$
C. $\dfrac{16}{25}$
D. $\dfrac45$

**Indiciu:** Notează $t=\arcsin\dfrac35$; atunci $\sin t=\dfrac35$, iar $t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$, unde cosinusul este **pozitiv**.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac45$

**Rezolvare**

Fie $t=\arcsin\dfrac35$, deci $\sin t=\dfrac35$ și $t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$.

$$\cos^2t=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\ \Rightarrow\ \cos t=\frac45,$$
rădăcina pozitivă fiind cea corectă, fiindcă pe codomeniul arcsinusului cosinusul este $\ge 0$. ✓

Formula generală: $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #11 — Expert · 5 puncte

Funcția $f:[-1,1]\to\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$, $f(x)=\arcsin x$, este:

A. strict descrescătoare
B. constantă
C. strict crescătoare
D. crescătoare doar pe $[0,1]$

**Indiciu:** Inversa unei funcții strict crescătoare este tot strict crescătoare.

**Răspuns corect:** C. strict crescătoare

**Rezolvare**

Pe $\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$ sinusul este strict crescător, deci și inversa lui este **strict crescătoare**. ✓

Confirmare prin derivată:
$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0\quad\text{pe }(-1,1).$$ ✓

(Arccosinusul, prin contrast, este strict **descrescător**.)

---

## Funcții trigonometrice inverse #12 — Expert · 5 puncte

Pentru orice $x\in\mathbb R$, valoarea lui $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x)$ este:

A. $x$ doar pentru $|x|\le 1$
B. $\dfrac1x$
C. $x$
D. $\operatorname{arctg}x$

**Indiciu:** Există vreo restricție asupra lui $x$? Compară cu domeniul arctangentei.

**Răspuns corect:** C. $x$

**Rezolvare**

$$\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x)=x\qquad\text{pentru orice }x\in\mathbb R.$$ ✓

Spre deosebire de $\sin(\arcsin x)$, unde $x$ trebuie să fie în $[-1,1]$, aici **nu** există nicio restricție — arctangenta este definită pe tot $\mathbb R$.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.