[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/geometrie-in-spatiu

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/geometrie-in-spatiu**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/geometrie-in-spatiu** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Geometrie analitică în spațiu — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 10 exerciții cu geometrie analitică în spațiu în bibliotecă, 10 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Geometrie analitică în spațiu #1 — Începător · 5 puncte

Modulul $\|\vec{v}\|$ pentru $\vec{v} = (1, 2, 2)$ este:

A. $\sqrt{5}$
B. $3$
C. $5$
D. $9$

**Indiciu:** $\|(a, b, c)\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

**Răspuns corect:** B. $3$

**Rezolvare**

$\|\vec{v}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #2 — Începător · 5 puncte

Distanța de la $A(1, 2, 3)$ la $B(4, 6, 3)$ este:

A. $4$
B. $5$
C. $7$
D. $\sqrt{50}$

**Răspuns corect:** B. $5$

**Rezolvare**

$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$. (Tripla 3-4-5 în planul $xy$.)

---

## Geometrie analitică în spațiu #3 — Începător · 5 puncte

Mijlocul segmentului $AB$ unde $A(2, -1, 4)$ și $B(8, 5, -2)$:

A. $(5, 2, 1)$
B. $(6, 6, -6)$
C. $(3, 3, 1)$
D. $(10, 4, 2)$

**Răspuns corect:** A. $(5, 2, 1)$

**Rezolvare**

Facem media fiecărei coordonate: $((2+8)/2, (-1+5)/2, (4-2)/2) = (5, 2, 1)$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #4 — Începător · 5 puncte

$(1, 2, 3) \cdot (2, -1, 1) = ?$

A. $0$
B. $2$
C. $3$
D. $6$

**Răspuns corect:** C. $3$

**Rezolvare**

$1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 3\cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #5 — Mediu · 5 puncte

Pentru ce valoare $a$ este $(a, 1, 2) \perp (3, -1, -1)$?

A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. $3$

**Indiciu:** Perpendiculari ⟺ produsul scalar = 0.

**Răspuns corect:** B. $1$

**Rezolvare**

$3a - 1 - 2 = 0 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #6 — Mediu · 5 puncte

$(1, 0, 0) \times (0, 2, 0) = ?$

A. $(0, 0, 0)$
B. $(2, 0, 0)$
C. $(0, 0, 2)$
D. $(0, 2, 0)$

**Indiciu:** Produs vectorial: $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$.

**Răspuns corect:** C. $(0, 0, 2)$

**Rezolvare**

$(1, 0, 0) \times (0, 2, 0) = (0\cdot 0 - 0\cdot 2, 0\cdot 0 - 1\cdot 0, 1\cdot 2 - 0\cdot 0) = (0, 0, 2)$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #7 — Mediu · 5 puncte

Raza sferei $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$ este:

A. $6$
B. $7$
C. $14$
D. $49$

**Răspuns corect:** B. $7$

**Rezolvare**

$r^2 = 49 \Rightarrow r = 7$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #8 — Mediu · 5 puncte

Distanța de la $(0, 0, 0)$ la planul $2x + 2y + z - 6 = 0$ este:

A. $2$
B. $3$
C. $\sqrt{5}$
D. $6$

**Indiciu:** $d = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.

**Răspuns corect:** A. $2$

**Rezolvare**

$d = |{-6}|/\sqrt{4 + 4 + 1} = 6/3 = 2$.

---

## Geometrie analitică în spațiu #9 — Avansat · 5 puncte

Cele patru puncte $(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ sunt coplanare?

A. Da
B. Nu
C. Doar trei dintre ele sunt
D. Nu se poate determina

**Indiciu:** Calculați volumul tetraedrului pe care îl formează.

**Răspuns corect:** B. Nu

**Rezolvare**

Tetraedrul cu aceste vârfuri are volumul $1/6 \ne 0$, deci cele patru puncte NU sunt coplanare — formează un tetraedru nedegenerat.

---

## Geometrie analitică în spațiu #10 — Avansat · 5 puncte

Volumul tetraedrului cu vârfurile $(0,0,0), (3,0,0), (0,4,0), (0,0,5)$ este:

A. $5$
B. $10$
C. $30$
D. $60$

**Indiciu:** Volumul unui tetraedru cu muchiile $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ dintr-un vârf este $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| / 6$.

**Răspuns corect:** B. $10$

**Rezolvare**

Cele trei muchii din origine sunt $(3,0,0), (0,4,0), (0,0,5)$. Determinantul: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Volumul: $60/6 = 10$.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.