[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/limite-de-functii

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/limite-de-functii**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/limite-de-functii** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Limite de funcții — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 76 exerciții cu limite de funcții în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Limite de funcții #1 — Începător · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)$ este egală cu:

A. $1$
B. $5$
C. $9$
D. $11$

**Răspuns corect:** C. $9$

**Rezolvare**

Pentru polinoame, substituim direct: $4 + 6 - 1 = 9$.

---

## Limite de funcții #2 — Începător · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ este egală cu:

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{2}{3}$
C. $1$
D. $\dfrac{4}{3}$

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{2}{3}$

**Rezolvare**

Substituim: $\dfrac{1 + 1}{1 + 2} = \dfrac{2}{3}$.

---

## Limite de funcții #3 — Mediu · 5 puncte

Limita remarcabilă $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\dfrac{\pi}{2}$
D. $\infty$

**Răspuns corect:** B. $1$

**Rezolvare**

O limită remarcabilă standard: $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$.

---

## Limite de funcții #4 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\infty$

**Indiciu:** Folosiți identitatea unghiului înjumătățit: $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

$\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \!\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}$.

---

## Limite de funcții #5 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $e$
D. $\infty$

**Răspuns corect:** B. $1$

**Rezolvare**

O limită remarcabilă standard: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$.

---

## Limite de funcții #6 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\ln 2$
D. $\infty$

**Răspuns corect:** B. $1$

**Rezolvare**

O limită remarcabilă standard: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$.

---

## Limite de funcții #7 — Avansat · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x - 1}$ este egală cu (aplicând Bézout / factorizare):

A. $0$
B. $1$
C. $3$
D. $\infty$

**Indiciu:** $x = 1$ este o rădăcină a numărătorului.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

$x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2 (x + 2)$. Deci $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x - 1} = (x - 1)(x + 2) \to 0$ când $x \to 1$.

---

## Limite de funcții #8 — Avansat · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^r - 1}{x}$ este egală cu (pentru $r \in \mathbb{R}$):

A. $0$
B. $1$
C. $r$
D. $r + 1$

**Indiciu:** O limită remarcabilă standard; poate fi derivată și prin regula lui L'Hôpital.

**Răspuns corect:** C. $r$

**Rezolvare**

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^r - 1}{x} = r$. (Aceasta generalizează derivata binomială în zero.)

---

## Limite de funcții #9 — Avansat · 5 puncte

Calculati $\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2}$.

A. $0$
B. $\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $1$

**Indiciu:** Folositi $1-\cos x = 2\sin^2(x/2)$ sau aplicati regula lui L'Hopital de doua ori.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Folosind $1-\cos x = 2\sin^2(x/2)$: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}\cdot 1 = \dfrac{1}{2}$.

---

## Limite de funcții #10 — Expert · 5 puncte

Valoarea limitei $\lim_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$ este:

A. $0$
B. $\dfrac13$
C. $\dfrac16$
D. $1$

**Indiciu:** Este o formă $0/0$; dezvoltă $\sin x$ în serie Taylor în jurul lui $0$ (sau aplică regula lui L'Hôpital de trei ori consecutive).

**Răspuns corect:** C. $\dfrac16$

**Rezolvare**

Din dezvoltarea Taylor, $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$, deci

$$x-\sin x = \frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}+\cdots.$$

Împărțind prin $x^3$:

$$\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16-\frac{x^2}{120}+\cdots\xrightarrow[x\to0]{}\frac16.$$

(Echivalent, aplicând L'Hôpital de trei ori pe forma $0/0$: $\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\to\dfrac{\sin x}{6x}\to\dfrac{\cos x}{6}\to\dfrac16$.)

Verificare numerică: la $x=0{,}01$, $\dfrac{x-\sin x}{x^3}\approx0{,}166667$. ✓

---

## Limite de funcții #11 — Expert · 5 puncte

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$ este:

A. $\dfrac{e}{2}$
B. $e$
C. $-e$
D. $-\dfrac{e}{2}$

**Indiciu:** Scrie $(1+x)^{1/x}=e^{g(x)}$ cu $g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$, dezvoltă $g(x)=1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}-\cdots$ și apoi dezvoltă $e^{g(x)}$ până la ordinul $x^1$ (peste valoarea $e$).

**Răspuns corect:** D. $-\dfrac{e}{2}$

**Rezolvare**

Notăm $f(x)=(1+x)^{1/x}=e^{g(x)}$, unde $g(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$.

Din $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$, obținem

$$g(x)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\cdots.$$

Atunci $f(x)=e^{g(x)}=e\cdot e^{g(x)-1}$, cu $g(x)-1=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3}-\cdots\to0$. Folosind $e^{u}\approx1+u+\cdots$ pentru $u=g(x)-1\to0$:

$$f(x)\approx e\left(1-\frac{x}{2}+\cdots\right)=e-\frac{e}{2}x+\cdots.$$

Deci

$$\frac{f(x)-e}{x}\approx-\frac{e}{2}+\cdots\xrightarrow[x\to0]{}-\frac{e}{2}.$$

(Echivalent: cum $f$ se prelungește continuu în $0$ cu $f(0)=e$, raportul este exact rata de variație $f'(0)$, calculabilă și prin L'Hôpital pe forma $0/0$.)

Verificare numerică: la $x=0{,}0001$, $\dfrac{(1{,}0001)^{10000}-e}{0{,}0001}\approx-1{,}35902$, aproape de $-\dfrac{e}{2}\approx-1{,}35914$. ✓

---

## Limite de funcții #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\cos(2x)\cos(3x)}{x^2}$ este:

A. $7$
B. $14$
C. $6$
D. $\dfrac12$

**Indiciu:** Nu este o singură limită notabilă „la vedere". Notează $a=\cos x$, $b=\cos(2x)$, $c=\cos(3x)$ și folosește identitatea $1-abc=(1-a)+a(1-b)+ab(1-c)$ pentru a separa produsul în trei termeni, fiecare reductibil la limita notabilă $\dfrac{1-\cos(kx)}{x^2}\to\dfrac{k^2}{2}$.

**Răspuns corect:** A. $7$

**Rezolvare**

Fie $a=\cos x$, $b=\cos2x$, $c=\cos3x$. Identitatea algebrică

$$1-abc=(1-a)+a(1-b)+ab(1-c)$$

descompune produsul într-o sumă telescopată. Împărțind prin $x^2$:

$$\frac{1-abc}{x^2}=\frac{1-a}{x^2}+a\cdot\frac{1-b}{x^2}+ab\cdot\frac{1-c}{x^2}.$$

Când $x\to0$: $a\to1$, $b\to1$, deci $a\to1$ și $ab\to1$. Folosind limita notabilă $\dfrac{1-\cos(kx)}{x^2}\to\dfrac{k^2}{2}$ pentru $k=1,2,3$:

$$\frac{1-a}{x^2}\to\frac{1^2}{2}=\frac12,\qquad \frac{1-b}{x^2}\to\frac{2^2}{2}=2,\qquad \frac{1-c}{x^2}\to\frac{3^2}{2}=\frac92.$$

Deci limita totală este

$$\frac12+1\cdot2+1\cdot\frac92=\frac12+2+\frac92=\frac{1+4+9}{2}=\frac{14}{2}=7.$$

(Formula generală: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(a_1x)\cdots\cos(a_nx)}{x^2}=\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{2}$ — aici $\dfrac{1^2+2^2+3^2}{2}=7$.)

Verificare numerică: la $x=0{,}001$, $\dfrac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{x^2}\approx6{,}999984$, aproape de $7$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.