[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/limite-de-siruri

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/limite-de-siruri**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/limite-de-siruri** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Limite de șiruri — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 142 exerciții cu limite de șiruri în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Limite de șiruri #1 — Începător · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. nu există

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

Când $n \to \infty$, $\dfrac{1}{n} \to 0$.

---

## Limite de șiruri #2 — Începător · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\infty$

**Indiciu:** Pentru $|q| < 1$, $q^n \to 0$.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

$\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$ deoarece $|q| = \dfrac{1}{2} < 1$.

---

## Limite de șiruri #3 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 5}{2n^2 - 1}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\infty$

**Indiciu:** Împărțiți numărătorul și numitorul cu $n^2$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{3}{2}$

**Rezolvare**

$\dfrac{3n^2 + 5}{2n^2 - 1} = \dfrac{3 + 5/n^2}{2 - 1/n^2} \to \dfrac{3}{2}$.

---

## Limite de șiruri #4 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n + 1}{n^2 + 3}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $\infty$

**Indiciu:** Împărțiți prin cea mai mare putere a lui $n$ din numitor.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

$\dfrac{n + 1}{n^2 + 3} = \dfrac{1/n + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \to \dfrac{0}{1} = 0$.

---

## Limite de șiruri #5 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin n}{n}$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{n}$
D. nu există

**Indiciu:** $|\sin n| \le 1$, deci $\!\left|\dfrac{\sin n}{n}\right| \le \dfrac{1}{n}$.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

Prin criteriul cleștar, $-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}$ și ambele margini tind la $0$, deci limita este $0$.

---

## Limite de șiruri #6 — Mediu · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ este egală cu:

A. $0$
B. $1$
C. $e$
D. $\infty$

**Răspuns corect:** C. $e$

**Rezolvare**

Aceasta este definiția standard a lui $e$: $\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \to e$.

---

## Limite de șiruri #7 — Avansat · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$ este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\infty$

**Indiciu:** Înmulțiți cu conjugatul: $\dfrac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$.

---

## Limite de șiruri #8 — Avansat · 5 puncte

Limita $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \!\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n$ este egală cu:

A. $1$
B. $e$
C. $e^2$
D. $\infty$

**Indiciu:** $\!\left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^n \to e^a$.

**Răspuns corect:** C. $e^2$

**Rezolvare**

Cu $a = 2$: $\!\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n \to e^2$.

---

## Limite de șiruri #9 — Avansat · 5 puncte

Valoarea limitei
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{n^4}$$
este:

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{4}$

**Indiciu:** Aplică teorema Cesàro–Stolz cu $a_n=1^3+2^3+\cdots+n^3$ și $b_n=n^4$ (strict crescător, nemărginit): limita raportului $\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{1}{4}$

**Rezolvare**

Notăm $a_n=1^3+2^3+\cdots+n^3$ și $b_n=n^4$, strict crescător și nemărginit. Prin Cesàro–Stolz:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{(n+1)^4-n^4}.$$

Dezvoltăm numitorul: $(n+1)^4-n^4 = 4n^3+6n^2+4n+1$. Deci
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{4n^3+6n^2+4n+1} = \frac14$$
(raportul termenilor dominanți de grad $3$).

Verificare prin formula închisă $1^3+\cdots+n^3=\left[\tfrac{n(n+1)}2\right]^2$: la $n=1000$, $a_n=(500500)^2$, iar $a_n/n^4 \approx 0{,}2505$, aproape de $\dfrac14$. ✓

---

## Limite de șiruri #10 — Expert · 5 puncte

Valoarea limitei
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n$$
este:

A. $e$
B. $e^3$
C. $e^2$
D. $1$

**Indiciu:** Scrie $\dfrac{n+1}{n-1}=1+\dfrac2{n-1}$ și notează $m=n-1\to\infty$, apoi raportează exponentul $n$ la $m$.

**Răspuns corect:** C. $e^2$

**Rezolvare**

Rescriem baza:
$$\frac{n+1}{n-1} = 1+\frac{2}{n-1}.$$

Notăm $m=n-1\to\infty$ (deci $n=m+1$):
$$\left(1+\frac2{m}\right)^{m+1} = \left(1+\frac2m\right)^{m}\cdot\left(1+\frac2m\right).$$

Primul factor $\to e^2$ (limita fundamentală generalizată), iar al doilea factor $\to 1$. Deci
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n = e^2\cdot 1 = e^2.$$

Verificare: la $n=1000$, $\left(\dfrac{1001}{999}\right)^{1000}\approx 7{,}3891$, aproape de $e^2\approx 7{,}3891$. ✓

---

## Limite de șiruri #11 — Expert · 5 puncte

Șirul $(x_n)_{n\ge1}$ este definit prin $x_1=2$ și $x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac3{x_n}\right)$. Valoarea limitei sale este:

A. $\dfrac{3}{2}$
B. $2$
C. $3$
D. $\sqrt3$

**Indiciu:** Folosește inegalitatea AM–GM pentru $x_n+\dfrac3{x_n}$ pentru a găsi o margine inferioară a șirului, apoi arată că șirul este descrescător; trece la limită în recurență pentru a afla ecuația verificată de $L$.

**Răspuns corect:** D. $\sqrt3$

**Rezolvare**

**Mărginire (AM–GM):** pentru orice $x>0$, $x+\dfrac3x\ge2\sqrt3$ (media aritmetică $\ge$ media geometrică), deci
$$x_{n+1} = \frac12\left(x_n+\frac3{x_n}\right) \ge \sqrt3 \quad\text{pentru orice } n\ge1.$$

**Monotonie:** pentru $x_n\ge\sqrt3$,
$$x_{n+1}-x_n = \frac{3-x_n^2}{2x_n} \le 0,$$
deci șirul este descrescător (începând cu $n\ge2$) și mărginit inferior de $\sqrt3$ ⇒ convergent.

Trecând la limită $L$ în recurență:
$$L = \frac12\left(L+\frac3L\right) \implies 2L^2 = L^2+3 \implies L^2=3 \implies L=\sqrt3$$
(rădăcina pozitivă, deoarece $x_n>0$).

Verificare: $x_1=2$, $x_2=1{,}75$, $x_3\approx 1{,}73214$, $x_4\approx 1{,}732051$, $x_5\approx 1{,}7320508=\sqrt3$ (convergență foarte rapidă — metoda lui Newton). ✓

---

## Limite de șiruri #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \prod_{k=2}^{n} \left(1 - \dfrac{1}{k^2}\right)$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $0$
C. $1$
D. $\dfrac{3}{4}$

**Indiciu:** $1-\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}$, care se descompune în două produse telescopice separate.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Descompunem fiecare factor: $1-\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\dfrac{k-1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k}$.

Produsul se separă astfel:
$$\prod_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)=\left(\prod_{k=2}^{n}\dfrac{k-1}{k}\right)\left(\prod_{k=2}^{n}\dfrac{k+1}{k}\right).$$

Primul produs telescopează: $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdots\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{1}{n}$.

Al doilea produs telescopează: $\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdots\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n+1}{2}$.

Deci, pentru orice $n\ge 2$:
$$\prod_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{n+1}{2n}.$$

Verificare numerică pentru $n=4$: produsul direct este $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{15}{16}=\dfrac{5}{8}$, iar formula dă $\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{5}{8}$ — coincid.

Trecând la limită:
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1}{2}.$$

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.