[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/logaritmi

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/logaritmi**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/logaritmi** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Logaritmi — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 10 exerciții cu logaritmi în bibliotecă, 10 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Logaritmi #1 — Începător · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_2(x - 3) > 2$ este:

A. $(7, +\infty)$
B. $[7, +\infty)$
C. $(3, +\infty)$
D. $(3, 7)$

**Indiciu:** Baza $2 > 1$, deci funcția $\log_2$ este strict crescătoare — inegalitatea se păstrează la ridicare la putere. Nu uita că argumentul trebuie să fie strict pozitiv.

**Răspuns corect:** A. $(7, +\infty)$

**Rezolvare**

Condiția de existență a logaritmului impune $x - 3 > 0$, adică $x > 3$.

Deoarece baza $2 > 1$, funcția logaritmică este strict crescătoare, deci inegalitatea

$$\log_2(x - 3) > 2$$

este echivalentă cu

$$x - 3 > 2^2 = 4$$

Rezolvând:

$$x > 7$$

Condiția $x > 7$ implică automat $x > 3$, deci nu există restricții suplimentare.

Mulțimea soluțiilor este:

$$(7, +\infty)$$

---

## Logaritmi #2 — Începător · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\lg(2x + 3) < 1$ este:

A. $\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)$
B. $\left(\dfrac{7}{2},\ +\infty\right)$
C. $\left(-\dfrac{3}{2},\ +\infty\right)$
D. $\left(-\infty,\ \dfrac{7}{2}\right)$

**Indiciu:** $\lg$ este crescătoare: $\lg A < \lg B \iff A < B$ (pentru $A, B > 0$). Nu uita că domeniul impune $2x + 3 > 0$.

**Răspuns corect:** A. $\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)$

**Rezolvare**

**Domeniu:** $2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\dfrac{3}{2}$, deci $x \in \left(-\dfrac{3}{2}, +\infty\right)$.

**Inecuația:** $\lg(2x+3) < 1 = \lg 10$. Deoarece $\lg$ este strict crescătoare:
$$2x + 3 < 10.$$

$$2x < 7 \Rightarrow x < \dfrac{7}{2}.$$

**Intersecție cu domeniul:** $\left(-\dfrac{3}{2}, +\infty\right) \cap \left(-\infty, \dfrac{7}{2}\right) = \left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right).$

$$x \in \left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)$$

---

## Logaritmi #3 — Începător · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\ln(3x - 1) \le \ln 5$ este:

A. $\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]$
B. $\left[\dfrac{1}{3},\ 2\right]$
C. $\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right)$
D. $\left(\dfrac{1}{3},\ +\infty\right)$
E. $(-\infty,\ 2]$

**Indiciu:** $\ln$ este strict crescătoare, deci $\ln A \le \ln B \iff A \le B$ (când $A > 0$).

**Răspuns corect:** A. $\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]$

**Rezolvare**

**Domeniu:** $3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{1}{3}$.

**Inecuația:** $\ln(3x-1) \le \ln 5 \Rightarrow 3x - 1 \le 5 \Rightarrow x \le 2$.

**Intersecție:** $x \in \left(\dfrac{1}{3},\ 2\right].$

$$\left(\dfrac{1}{3},\ 2\right]$$

---

## Logaritmi #4 — Mediu · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_{1/2}(3x - 1) < -2$ este:

A. $\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)$
B. $\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{3}\right)$
C. $\left(\dfrac{1}{3},\ +\infty\right)$
D. $\left(-\infty,\ \dfrac{5}{3}\right)$
E. $\left(1,\ \dfrac{5}{3}\right)$

**Indiciu:** Funcția $\log_a$ este strict **descrescătoare** când $a \in (0,1)$: eliminând logaritmul, sensul inecuației se **inversează**.

**Răspuns corect:** A. $\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)$

**Rezolvare**

**Domeniu:** $3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{1}{3}$.

**Rescriem:** $-2 = \log_{1/2} 4$ (deoarece $(1/2)^{-2} = 4$), deci $\log_{1/2}(3x-1) < \log_{1/2} 4$.

**Monotonie inversă** ($\log_{1/2}$ descrescătoare): $3x - 1 > 4 \Rightarrow x > \dfrac{5}{3}$.

**Intersecție cu domeniul:** $\left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right) \cap \left(\dfrac{1}{3}, +\infty\right) = \left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right).$

$$\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)$$

---

## Logaritmi #5 — Mediu · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_2(x^2 - 2x - 8) > 1$ este:

A. $(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)$
B. $(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$
C. $(-2,\ 4)$
D. $(-\infty, -2) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)$
E. $(1-\sqrt{11},\ 1+\sqrt{11})$

**Indiciu:** Domeniul de definiție impune $x^2 - 2x - 8 > 0$. Baza $2 > 1$, deci $\log_2 f(x) > 1 \iff f(x) > 2$. Intersectați soluția inecuației algebrice cu domeniul.

**Răspuns corect:** A. $(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)$

**Rezolvare**

**Domeniu:** $x^2 - 2x - 8 > 0 \Rightarrow (x+2)(x-4) > 0 \Rightarrow D = (-\infty, -2) \cup (4, +\infty).$

**Inecuația:** $\log_2(x^2-2x-8) > 1 = \log_2 2$, deci $x^2 - 2x - 8 > 2$, adică $x^2 - 2x - 10 > 0.$

Rădăcinile: $x = 1 \pm \sqrt{11}.$

Soluția: $x \in (-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty).$

**Intersecție cu $D$:** $1-\sqrt{11} \approx -2{,}32 < -2$ și $1+\sqrt{11} \approx 4{,}32 > 4$, deci rezultatul stă în interiorul lui $D$.

$$(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)$$

---

## Logaritmi #6 — Mediu · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\lg(x+1) + \lg(x-2) \leq \lg 4$ este:

A. $(2,\ 3]$
B. $(2,\ +\infty)$
C. $(-1,\ 3]$
D. $(2,\ 4]$

**Indiciu:** Regula produsului: $\lg A + \lg B = \lg(A \cdot B)$. Aplică-o pentru a combina cei doi logaritmi, apoi intersectează constrângerile de domeniu $x+1>0$ și $x-2>0$.

**Răspuns corect:** A. $(2,\ 3]$

**Rezolvare**

**Domeniu:** $x+1>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$.

**Combinare:** $\lg[(x+1)(x-2)] \leq \lg 4$. Baza $10>1$ crescătoare: $(x+1)(x-2) \leq 4$.

$x^2-x-6 \leq 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 3].$

**Intersecție:** $[-2,3] \cap (2,+\infty) = (2, 3].$

$$(2,\ 3]$$

---

## Logaritmi #7 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0$ este:

A. $[2,\ 16]$
B. $(0,\ 2]$
C. $[1,\ 4]$
D. $[2,\ 4]$
E. $(2,\ 16)$

**Indiciu:** Substituie $t = \log_2 x$ și obții o inecuație de gradul al doilea în $t$. Nu uita că $x > 0$ și că soluțiile în $t$ trebuie convertite înapoi în $x$.

**Răspuns corect:** A. $[2,\ 16]$

**Rezolvare**

Fie $t = \log_2 x$ (cu $x > 0$). Inecuația devine $t^2 - 5t + 4 \le 0$, adică $(t-1)(t-4) \le 0$, deci $t \in [1, 4]$.

Revenind: $\log_2 x \in [1, 4] \iff x \in [2^1, 2^4] = [2, 16].$

Domeniul $x>0$ e automat satisfăcut.

$$[2,\ 16]$$

---

## Logaritmi #8 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_2(2x - 3) > \log_2(x + 1)$ este:

A. $(4,\ +\infty)$
B. $[4,\ +\infty)$
C. $\left(\dfrac{3}{2},\ +\infty\right)$
D. $(-1,\ 4)$
E. $\emptyset$

**Indiciu:** Deoarece baza $2 > 1$, funcția logaritmică este crescătoare. Înainte de a reduce la compararea argumentelor, intersectați domeniile ambilor logaritmi: $2x - 3 > 0$ și $x + 1 > 0$.

**Răspuns corect:** A. $(4,\ +\infty)$

**Rezolvare**

**Domeniu:** $2x-3>0 \Rightarrow x > \dfrac{3}{2}$ și $x+1>0 \Rightarrow x > -1$. Intersecție: $D = \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right).$

**Reducere:** baza $>1$ păstrează sensul: $2x - 3 > x + 1 \Rightarrow x > 4.$

**Intersecție cu $D$:** $(4, +\infty).$

$$(4,\ +\infty)$$

---

## Logaritmi #9 — Expert · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_4(x) \leq \log_2(x - 2)$ este:

A. $[4,\ +\infty)$
B. $(2,\ +\infty)$
C. $(4,\ +\infty)$
D. $(4,\ +\infty) \cup \{1\}$
E. $(0,\ 4)$

**Indiciu:** Convertește $\log_4(x)$ în baza $2$: $\log_4(x) = \dfrac{\log_2 x}{2}$. Ambele membre devin în aceeași bază — $\log_2$ este crescătoare.

**Răspuns corect:** A. $[4,\ +\infty)$

**Rezolvare**

$\log_4(x) = \dfrac{\log_2 x}{2}$, deci inecuația devine $\dfrac{\log_2 x}{2} \leq \log_2(x-2).$

**Domeniu:** $x>0$ și $x-2>0$, deci $x>2.$

Înmulțim cu $2$: $\log_2 x \leq \log_2(x-2)^2.$ Monotonie crescătoare: $x \leq (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.$

$0 \leq x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \Rightarrow x \leq 1$ sau $x \geq 4.$

**Intersecție cu $x>2$:** $x \geq 4.$ Verificăm $x=4$: $\log_4 4 = 1 = \log_2 2$ ✓.

$$[4,\ +\infty)$$

---

## Logaritmi #10 — Expert · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_2(x^2 - 2x) \leq \log_2(x + 4)$ este:

A. $[-1,\ 0) \cup (2,\ 4]$
B. $[-1,\ 4]$
C. $(0,\ 4]$
D. $(-4,\ 0) \cup (2,\ 4]$
E. $[-1,\ 0) \cup (2,\ +\infty)$

**Indiciu:** Baza $2 > 1$, deci $\log_2 A \leq \log_2 B \iff A \leq B$ cu condițiile $A > 0$ și $B > 0$. Determinați separat domeniul (din ambele argumente) și soluția inecuației algebrice, apoi intersectați.

**Răspuns corect:** A. $[-1,\ 0) \cup (2,\ 4]$

**Rezolvare**

**Domeniu de existență:** ambele argumente trebuie să fie strict pozitive.

$x^2 - 2x > 0 \iff x(x-2) > 0 \iff x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

$x + 4 > 0 \iff x > -4$.

Intersecție: $D = (-4,\ 0) \cup (2,\ +\infty)$.

**Reducere algebrică:** baza $2 > 1$, deci $\log_2$ este strict crescătoare, iar inecuația este echivalentă (pe $D$) cu

$$x^2 - 2x \leq x + 4.$$

$$x^2 - 3x - 4 \leq 0 \iff (x-4)(x+1) \leq 0.$$

$$x \in [-1,\ 4].$$

**Intersecție cu domeniul:**

$[-1,\ 4] \cap (-4,\ 0) = [-1,\ 0)$.

$[-1,\ 4] \cap (2,\ +\infty) = (2,\ 4]$.

Reuniunea dă soluția finală.

$$[-1,\ 0) \cup (2,\ 4]$$

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.