[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/permutari

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/permutari**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/permutari** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Permutări și grupuri simetrice — clasa a 11-a

Clasa a 11-a · 21 exerciții cu permutări și grupuri simetrice în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Permutări și grupuri simetrice #1 — Începător · 5 puncte

Numărul de permutări ale mulțimii $\{1, 2, 3, 4\}$ (adică $|S_4|$) este:

A. $4$
B. $16$
C. $24$
D. $256$

**Răspuns corect:** C. $24$

**Rezolvare**

$|S_n| = n!$. Deci $|S_4| = 24$.

---

## Permutări și grupuri simetrice #2 — Începător · 5 puncte

Permutarea în notație tabelară $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ în notație ciclică este:

A. $(1)(2)(3)$
B. $(1\;2)(3)$
C. $(1\;2\;3)$
D. $(1\;3\;2)$

**Indiciu:** $1 \to 2 \to 3 \to 1$.

**Răspuns corect:** C. $(1\;2\;3)$

**Rezolvare**

Permutarea trimite $1 \to 2$, $2 \to 3$, $3 \to 1$, ceea ce este ciclul de lungime $3$: $(1\;2\;3)$.

---

## Permutări și grupuri simetrice #3 — Mediu · 5 puncte

Pentru $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, compunerea $\sigma \circ \tau$ trimite $1$ în:

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. nedefinit

**Indiciu:** $(\sigma \circ \tau)(1) = \sigma(\tau(1))$.

**Răspuns corect:** A. $1$

**Rezolvare**

$\tau(1) = 3$, apoi $\sigma(3) = 1$. Deci $(\sigma \circ \tau)(1) = 1$.

---

## Permutări și grupuri simetrice #4 — Mediu · 5 puncte

Numărul de inversiuni din permutarea $\sigma = (3, 1, 2)$ (adică $\sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2$) este:

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $6$

**Indiciu:** O inversiune este o pereche $(i, j)$ cu $i < j$ dar $\sigma(i) > \sigma(j)$.

**Răspuns corect:** B. $2$

**Rezolvare**

Perechile: $(1,2)$: $3 > 1$ ✓; $(1,3)$: $3 > 2$ ✓; $(2,3)$: $1 < 2$ ✗. Două inversiuni.

---

## Permutări și grupuri simetrice #5 — Mediu · 5 puncte

Semnul ciclului de lungime $3$: $(1\;2\;3) \in S_3$ este:

A. $+1$ (par)
B. $-1$ (impar)
C. $0$
D. depinde de $S_n$

**Indiciu:** Un ciclu de lungime $k$ are semnul $(-1)^{k-1}$.

**Răspuns corect:** A. $+1$ (par)

**Rezolvare**

Un ciclu de lungime $3$ are semnul $(-1)^{3-1} = +1$. (Echivalent, el poate fi scris ca produs a două transpuneri: $(1\;2\;3) = (1\;3)(1\;2)$.)

---

## Permutări și grupuri simetrice #6 — Mediu · 5 puncte

Semnul oricărei transpuneri $(i\;j) \in S_n$ este:

A. $+1$
B. $-1$
C. $0$
D. depinde de $i$ și $j$

**Indiciu:** O transpunere este un ciclu de lungime $2$.

**Răspuns corect:** B. $-1$

**Rezolvare**

$\operatorname{sgn}((i\;j)) = (-1)^{2-1} = -1$.

---

## Permutări și grupuri simetrice #7 — Avansat · 5 puncte

Pentru $n \ge 2$, numărul de permutări pare din $S_n$ (adică $|A_n|$) este:

A. $n!$
B. $\dfrac{n!}{n}$
C. $\dfrac{n!}{2}$
D. $(n-1)!$

**Indiciu:** Grupul alternant $A_n$ are jumătate din elementele lui $S_n$ pentru $n \ge 2$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{n!}{2}$

**Rezolvare**

$|A_n| = \dfrac{n!}{2}$ (una dintre proprietățile standard ale grupului alternant).

---

## Permutări și grupuri simetrice #8 — Avansat · 5 puncte

Pentru ciclul de lungime $4$: $\sigma = (1\;2\;3\;4)$, permutarea $\sigma^2$ este egală cu:

A. $(1\;2\;3\;4)$
B. permutarea identică
C. $(1\;3)(2\;4)$
D. $(1\;4)(2\;3)$

**Indiciu:** Aplicați $\sigma$ de două ori fiecărui element.

**Răspuns corect:** C. $(1\;3)(2\;4)$

**Rezolvare**

$\sigma$: $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$. Deci $\sigma^2$: $1 \to 3$, $3 \to 1$, $2 \to 4$, $4 \to 2$. Aceasta este $(1\;3)(2\;4)$.

---

## Permutări și grupuri simetrice #9 — Avansat · 5 puncte

Fie $\sigma=(1\ 2\ 3)(4\ 5)(6\ 7\ 8\ 9)\in S_9$. Ordinul lui $\sigma$ este:

A. $24$
B. $9$
C. $6$
D. $12$

**Indiciu:** Ordinul unei permutări este cel mai mic multiplu comun al lungimilor ciclurilor sale disjuncte — NU produsul lor.

**Răspuns corect:** D. $12$

**Rezolvare**

$\sigma$ se descompune în cicluri disjuncte de lungimi $3$, $2$ și $4$. Ordinul unei permutări este cel mai mic multiplu comun al lungimilor ciclurilor disjuncte:

$$\text{ord}(\sigma)=\text{cmmmc}(3,2,4)=12.$$

Verificare (sympy): `Permutation([[0,1,2],[3,4],[5,6,7,8]], size=9).order()` → $12$, coincide cu `math.lcm(3,2,4)=12`. ✓

---

## Permutări și grupuri simetrice #10 — Expert · 5 puncte

Câte elemente ale grupului $S_6$ au ordinul exact $4$?

A. $180$
B. $90$
C. $360$
D. $144$

**Indiciu:** Un element de ordin $4$ trebuie să aibă un tip ciclic cu $\text{cmmmc}$ al lungimilor egal cu $4$. Găsește TOATE tipurile ciclice posibile în $S_6$ (nu doar unul) și numără-le separat.

**Răspuns corect:** A. $180$

**Rezolvare**

Un element de ordin $4$ trebuie să aibă tipul ciclic cu $\text{cmmmc}$ al lungimilor egal cu $4$. În $S_6$ (sumă a lungimilor $\le6$), există exact **două** tipuri ciclice posibile:

- **tip $(4,1,1)$** (un $4$-ciclu, două puncte fixe): se aleg $4$ din cele $6$ elemente ($\binom64=15$ moduri), apoi se aranjează într-un $4$-ciclu ($3!=6$ moduri) $\Rightarrow 15\cdot6=90$;
- **tip $(4,2)$** (un $4$-ciclu și un $2$-ciclu, fără puncte fixe): $\dfrac{6!}{4^1\cdot1!\cdot2^1\cdot1!}=\dfrac{720}{8}=90$.

Total: $90+90=180$.

Verificare (sympy): numărare directă prin forță brută — pentru toate cele $720$ de permutări din $S_6$, s-a calculat `Permutation(...).order()` și s-au numărat cele cu ordinul exact $4$: rezultatul este $180$, coincizând exact cu suma celor două tipuri ciclice. ✓

---

## Permutări și grupuri simetrice #11 — Expert · 5 puncte

Fie $\sigma=(1\,2\,3)(4\,5)$ și $\tau=(1\,4)(2\,5\,3)$ permutări din $S_5$. Soluția ecuației $\sigma\circ x=\tau$ (unde $(f\circ g)(t)=f(g(t))$), scrisă ca produs de cicluri disjuncte, este:

A. $(1\,5)(2\,4)$
B. $(1\,2\,4\,3\,5)$
C. $(1\,5\,2\,4\,3)$
D. $(1\,5)(3\,4)$

**Indiciu:** Din $\sigma\circ x=\tau$, compune ambii membri la stânga cu $\sigma^{-1}$: $x=\sigma^{-1}\circ\tau$. Nu uita să calculezi întâi $\sigma^{-1}$ (inversul unui ciclu $(a\,b\,c)$ este $(a\,c\,b)$).

**Răspuns corect:** C. $(1\,5\,2\,4\,3)$

**Rezolvare**

Din $\sigma\circ x=\tau$ obținem $x=\sigma^{-1}\circ\tau$. Inversul lui $\sigma=(1\,2\,3)(4\,5)$ este $\sigma^{-1}=(1\,3\,2)(4\,5)$ (inversăm fiecare ciclu; ciclul de lungime $2$ e propriul invers).

Calculăm $x(i)=\sigma^{-1}(\tau(i))$ pentru fiecare $i$:
- $\tau(1)=4$, $\sigma^{-1}(4)=5 \Rightarrow x(1)=5$
- $\tau(2)=5$, $\sigma^{-1}(5)=4 \Rightarrow x(2)=4$
- $\tau(3)=2$, $\sigma^{-1}(2)=1 \Rightarrow x(3)=1$
- $\tau(4)=1$, $\sigma^{-1}(1)=3 \Rightarrow x(4)=3$
- $\tau(5)=3$, $\sigma^{-1}(3)=2 \Rightarrow x(5)=2$

Deci $x: 1\to5\to2\to4\to3\to1$, adică $x=(1\,5\,2\,4\,3)$, un $5$-ciclu.

Verificare: calculăm $\sigma(x(i))$ și comparăm cu $\tau(i)$: $\sigma(x(1))=\sigma(5)=4=\tau(1)$ ✓, $\sigma(x(2))=\sigma(4)=5=\tau(2)$ ✓, $\sigma(x(3))=\sigma(1)=2=\tau(3)$ ✓, $\sigma(x(4))=\sigma(3)=1=\tau(4)$ ✓, $\sigma(x(5))=\sigma(2)=3=\tau(5)$ ✓.

---

## Permutări și grupuri simetrice #12 — Legendar · 5 puncte

Fie $\sigma=(1\,2\,3\,4\,5)(6\,7\,8)\in S_8$. Valoarea $\sigma^{97}(1)$ este:

A. $1$
B. $2$
C. $5$
D. $3$

**Indiciu:** Ordinul lui $\sigma$ este cel mai mic multiplu comun al lungimilor celor două cicluri disjuncte. Găsește restul împărțirii lui $97$ la acest ordin — $\sigma^{97}$ se comportă identic cu $\sigma^{\,\text{rest}}$, iar apoi aplici puterea rezultată separat pe fiecare ciclu.

**Răspuns corect:** D. $3$

**Rezolvare**

Ordinul lui $\sigma$ este $\text{cmmmc}(5,3)=15$, deci $\sigma^{15}=\text{id}$, iar $\sigma^{97}=\sigma^{97\bmod15}$.

$97=6\cdot15+7$, deci $97\bmod15=7$, adică $\sigma^{97}=\sigma^7$.

Cum ciclurile $(1\,2\,3\,4\,5)$ și $(6\,7\,8)$ sunt disjuncte (deci comută), ridicăm fiecare la puterea $7$ separat:
- pe ciclul de lungime $5$: $7\bmod5=2$, deci acționează ca $(1\,2\,3\,4\,5)^2$: $1\to3$ (pas de $2$ poziții);
- pe ciclul de lungime $3$: $7\bmod3=1$, deci acționează ca $(6\,7\,8)^1$ (neschimbat), irelevant pentru $\sigma^{97}(1)$.

Așadar $\sigma^{97}(1)=(1\,2\,3\,4\,5)^2(1)=3$.

Verificare directă (calcul complet): $\sigma^7$ pe ciclul de $5$ elemente este $(1\,3\,5\,2\,4)$, deci $\sigma^7(1)=3=\sigma^{97}(1)$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.