[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/sirul-lui-rolle > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/sirul-lui-rolle** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/sirul-lui-rolle** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Șirul lui Rolle — clasa a 11-a Clasa a 11-a · 24 exerciții cu șirul lui rolle în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Șirul lui Rolle #1 — Începător · 5 puncte Teorema lui Rolle afirmă că pentru o funcție $f$ continuă pe $[a, b]$ și derivabilă pe $(a, b)$ cu $f(a) = f(b)$, există $c \in (a, b)$ astfel încât: A. $f(c) = 0$ B. $f(c) = f(a)$ C. $f'(c) = 0$ D. $f''(c) = 0$ **Răspuns corect:** C. $f'(c) = 0$ **Rezolvare** Teorema lui Rolle: există $c \in (a, b)$ cu $f'(c) = 0$. --- ## Șirul lui Rolle #2 — Începător · 5 puncte Pentru $f(x) = x^2 - 4x + 3$ pe $[1, 3]$, valoarea $c \in (1, 3)$ garantată de teorema lui Rolle (cu $f(1) = f(3) = 0$) este: A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. Teorema lui Rolle nu se aplică **Indiciu:** Rezolvați $f'(c) = 0$. **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** $f(1) = 0 = f(3)$, deci teorema lui Rolle se aplică. $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow c = 2$. --- ## Șirul lui Rolle #3 — Mediu · 5 puncte Pentru $f(x) = x^3 - 3x$ pe $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$, valorile $c \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ unde $f'(c) = 0$ sunt: A. numai $c = 0$ B. numai $c = 1$ C. $c = \pm 1$ D. $c = \pm \sqrt{3}$ **Indiciu:** $f'(x) = 3x^2 - 3$. **Răspuns corect:** C. $c = \pm 1$ **Rezolvare** $f(\pm\sqrt 3) = 0$, deci teorema lui Rolle se aplică. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. --- ## Șirul lui Rolle #4 — Mediu · 5 puncte Numărul de rădăcini reale distincte ale lui $P(x) = x^3 - 3x + 1$ este: A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $0$ **Indiciu:** Prin metoda semnelor lui Rolle: $P'(x) = 3x^2 - 3$, zerouri în $\pm 1$. Tabulați semnul lui $P$ la $-\infty, -1, 1, +\infty$. **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** $P(-\infty) = -\infty$, $P(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$, $P(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$, $P(\infty) = +\infty$. Secvența de semne $-,\,+,\,-,\,+$ arată trei schimbări de semn, deci trei rădăcini reale distincte. --- ## Șirul lui Rolle #5 — Mediu · 5 puncte O funcție continuă $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ are cel mult $n$ zerouri pe $[a, b]$ dacă derivata sa are cel mult: A. $n - 2$ zerouri pe $(a, b)$ B. $n$ zerouri pe $(a, b)$ C. $n - 1$ zerouri pe $(a, b)$ D. niciun zero pe $(a, b)$ **Indiciu:** Între două rădăcini consecutive ale lui $f$, prin teorema lui Rolle există o rădăcină a lui $f'$. **Răspuns corect:** C. $n - 1$ zerouri pe $(a, b)$ **Rezolvare** Dacă $f$ are $n$ rădăcini distincte, între fiecare pereche consecutivă teorema lui Rolle garantează o rădăcină a lui $f'$ — adică $n - 1$ rădăcini ale lui $f'$. Deci dacă $f'$ are cel mult $n - 1$ rădăcini, $f$ are cel mult $n$. --- ## Șirul lui Rolle #6 — Mediu · 5 puncte Pentru $f(x) = x e^{-x}$ pe $[0, 2]$, valoarea $c \in (0, 2)$ unde $f'(c) = 0$ este: A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $e$ **Indiciu:** Folosiți regula produsului. **Răspuns corect:** B. $1$ **Rezolvare** $f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$. $f'(c) = 0 \Rightarrow c = 1$. --- ## Șirul lui Rolle #7 — Avansat · 5 puncte Polinomul $P(x) = x^3 + x + 1$ are exact: A. $1$ rădăcină reală B. $2$ rădăcini reale C. $3$ rădăcini reale D. $0$ rădăcini reale **Indiciu:** $P'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pentru orice $x$. **Răspuns corect:** A. $1$ rădăcină reală **Rezolvare** $P'(x) > 0$ peste tot, deci $P$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Combinat cu $\lim_{\pm\infty}P = \pm\infty$, $P$ are exact o rădăcină reală prin teorema valorilor intermediare. --- ## Șirul lui Rolle #8 — Avansat · 5 puncte Pentru $P(x) = x^3 - 3x + m$, găsiți valorile lui $m$ pentru care $P$ are trei rădăcini reale distincte: A. $m < 0$ B. $m = 0$ C. $-2 < m < 2$ D. $m > 2$ **Indiciu:** $P'(x) = 3x^2 - 3$, zerouri în $\pm 1$. Maximul local în $-1$ este $P(-1) = 2 + m$; minimul local în $1$ este $P(1) = -2 + m$. Pentru trei rădăcini, maximul local trebuie să fie pozitiv și minimul local negativ. **Răspuns corect:** C. $-2 < m < 2$ **Rezolvare** $P(-1) > 0$ și $P(1) < 0$: $2 + m > 0$ și $-2 + m < 0$, rezultând $-2 < m < 2$. --- ## Șirul lui Rolle #9 — Avansat · 5 puncte Prin teorema lui Rolle, ecuația $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$ are câte soluții reale distincte? A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $4$ **Indiciu:** Substituiți $y = x^2$. **Răspuns corect:** D. $4$ **Rezolvare** $y^2 - 6y + 8 = 0 \Rightarrow y \in \{2, 4\}$. Atunci $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$ și $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Patru soluții reale distincte. --- ## Șirul lui Rolle #10 — Expert · 5 puncte Pentru câte valori întregi ale lui $m\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ ecuația $x^3 - 3x + m = 0$ are exact o soluție reală? A. $6$ B. $8$ C. $5$ D. $9$ **Indiciu:** Fie $g(x)=x^3-3x$; ecuația e $g(x)=-m$. Numărul de rădăcini reale depinde de poziția lui $-m$ față de extremele locale ale lui $g$ (care sunt $2$ și $-2$). O singură rădăcină reală apare când $-m$ este strict în afara intervalului dintre cele două extreme. **Răspuns corect:** A. $6$ **Rezolvare** Fie $g(x)=x^3-3x$. Derivata $g'(x)=3x^2-3=0$ dă punctele critice $x=\pm1$, cu $g(-1)=2$ (maxim local) și $g(1)=-2$ (minim local). Ecuația $x^3-3x+m=0$ se scrie $g(x)=-m$: - dacă $-2 < -m < 2$ (adică $-22$ sau $-m<-2$ (adică $m<-2$ sau $m>2$): dreapta taie graficul o singură dată — **o** rădăcină reală. Deci exact o rădăcină reală are loc pentru $m<-2$ sau $m>2$. Dintre valorile întregi date, acestea sunt: $$m\in\{-5,-4,-3\}\cup\{3,4,5\},$$ în total $3+3=6$ valori (excludem $m=-2$ și $m=2$, care dau două rădăcini, și $m\in\{-1,0,1\}$, care dau trei). Verificare numerică: pentru $m=3$, $x^3-3x+3=0$ are o singură rădăcină reală $x\approx-2{,}10$; pentru $m=0$, $x^3-3x=0$ are trei rădăcini reale ($0,\pm\sqrt3$). ✓ --- ## Șirul lui Rolle #11 — Expert · 5 puncte Numărul rădăcinilor reale ale ecuației $x^3-3x+1=0$ este: A. $1$ B. $0$ C. $2$ D. $3$ **Indiciu:** Studiază $f(x)=x^3-3x+1$: află punctele critice și calculează valorile funcției acolo. Ce semne au? **Răspuns corect:** D. $3$ **Rezolvare** Fie $f(x)=x^3-3x+1$. $$f'(x)=3x^2-3=0\iff x\in\{-1,1\}.$$ Valorile în punctele critice: $$f(-1)=-1+3+1=3>0\ \text{(maxim local)},\qquad f(1)=1-3+1=-1<0\ \text{(minim local)}.$$ **Șirul lui Rolle:** $f(-\infty)=-\infty$, $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(+\infty)=+\infty$ — semnele sunt $$-,\ +,\ -,\ +,$$ adică **trei** schimbări de semn, deci trei rădăcini reale distincte, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty,-1)$, $(-1,1)$, $(1,+\infty)$. (Confirmare numerică: $x\approx-1{,}8794$; $x\approx 0{,}3473$; $x\approx 1{,}5321$. Discriminantul cubicei este $81>0$.) ✓ --- ## Șirul lui Rolle #12 — Legendar · 5 puncte Fie $f(x)=x^3-3x^2+m$, $m\in\mathbb{Z}$. Pentru câte valori întregi ale lui $m$ ecuația $f(x)=0$ are exact $3$ rădăcini reale distincte? A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $5$ **Indiciu:** Găsește mai întâi intervalul (DESCHIS!) al valorilor reale ale lui $m$ pentru $3$ rădăcini distincte, apoi numără întregii STRICT în interiorul lui — verifică atent ce se întâmplă la capete. **Răspuns corect:** B. $3$ **Rezolvare** $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0 \implies x=0,2$. $f(0)=m$ (maxim local), $f(2)=m-4$ (minim local). Condiția pentru $3$ rădăcini distincte: $m>0$ și $m<4 \implies m\in(0,4)$ — interval DESCHIS (la $m=0$ sau $m=4$ apare o rădăcină dublă, deci doar $2$ rădăcini distincte — verificat numeric). Întregii din $(0,4)$ sunt $1,2,3$ — exact $3$ valori. ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.