[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/sisteme-de-ecuatii > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/sisteme-de-ecuatii** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-11/sisteme-de-ecuatii** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Sisteme de ecuații liniare — clasa a 11-a Clasa a 11-a · 99 exerciții cu sisteme de ecuații liniare în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Sisteme de ecuații liniare #1 — Începător · 5 puncte Soluția sistemului $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$ este: A. $(1, 5)$ B. $(2, 3)$ C. $(3, 1)$ D. $(4, -2)$ **Indiciu:** Adunați ecuațiile pentru a elimina $y$. **Răspuns corect:** C. $(3, 1)$ **Rezolvare** Adunând: $3x = 9 \Rightarrow x = 3$. Apoi $y = x - 2 = 1$. Soluție: $(3, 1)$. --- ## Sisteme de ecuații liniare #2 — Începător · 5 puncte Pentru un sistem $AX = b$ cu $A$ o matrice $2 \times 2$ inversabilă, regula lui Cramer dă $x_1 =$: A. $\det(A_1) - \det(A)$ B. $\dfrac{\det(A)}{\det(A_1)}$ C. $\dfrac{\det(A_1)}{\det(A)}$ D. $\det(A) \cdot \det(A_1)$ **Indiciu:** Înlocuiți prima coloană a lui $A$ cu $b$ pentru a obține $A_1$. **Răspuns corect:** C. $\dfrac{\det(A_1)}{\det(A)}$ **Rezolvare** Cramer: $x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$. --- ## Sisteme de ecuații liniare #3 — Mediu · 5 puncte Soluția sistemului $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y = 0 \\ y + z = 5 \end{cases}$ este: A. $(1, 1, 4)$ B. $(2, 2, 3)$ C. $(0, 0, 5)$ D. $(3, 3, 2)$ **Indiciu:** Din a doua ecuație, $x = y$. Substituiți peste tot. **Răspuns corect:** A. $(1, 1, 4)$ **Rezolvare** $x = y$. Atunci $2y + z = 6$ și $y + z = 5$, deci $y = 1$ și $z = 4$. Soluție: $(1, 1, 4)$. --- ## Sisteme de ecuații liniare #4 — Mediu · 5 puncte Rezolvați $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}$ prin regula lui Cramer. Valoarea lui $x$ este: A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $-2$ **Indiciu:** $\det(A) = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -5$. $\det(A_1) = 8 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -10$. **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** $x = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)} = \dfrac{-10}{-5} = 2$. --- ## Sisteme de ecuații liniare #5 — Mediu · 5 puncte Sistemul $\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases}$ are: A. o soluție unică B. nicio soluție C. infinit de multe soluții D. exact două soluții **Indiciu:** Verificați dacă ecuațiile sunt inconsistente. **Răspuns corect:** B. nicio soluție **Rezolvare** Înmulțind prima ecuație cu $2$: $2x + 2y = 2 \ne 5$. Deci sistemul este inconsistent — nicio soluție. --- ## Sisteme de ecuații liniare #6 — Mediu · 5 puncte Sistemul $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$ are: A. o soluție unică B. nicio soluție C. infinit de multe soluții D. exact două soluții **Răspuns corect:** C. infinit de multe soluții **Rezolvare** A doua ecuație este $2 \times$ prima, deci nu aduce informație nouă. Sistemul are infinit de multe soluții. --- ## Sisteme de ecuații liniare #7 — Avansat · 5 puncte Pentru $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ x + 4y + 9z = 36 \end{cases}$, soluția este: A. $(1, 2, 3)$ B. $(2, 1, 3)$ C. $(0, 1, 5)$ D. $(3, 2, 1)$ **Indiciu:** Scădeți Linia 1 din Liniile 2 și 3 pentru a elimina $x$. **Răspuns corect:** A. $(1, 2, 3)$ **Rezolvare** L2 − L1: $y + 2z = 8$. L3 − L1: $3y + 8z = 30$. Din prima: $y = 8 - 2z$. Substituind: $3(8 - 2z) + 8z = 30 \Rightarrow 24 + 2z = 30 \Rightarrow z = 3$. Atunci $y = 2$, $x = 1$. Soluție: $(1, 2, 3)$. --- ## Sisteme de ecuații liniare #8 — Avansat · 5 puncte Prin teorema Kronecker–Capelli, un sistem are soluții dacă și numai dacă: A. $\det(A) = 0$ B. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b])$ C. $\operatorname{rang}(A) > \operatorname{rang}([A | b])$ D. sistemul este pătratic **Răspuns corect:** B. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b])$ **Rezolvare** Un sistem liniar este compatibil (are cel puțin o soluție) dacă și numai dacă $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b])$ — rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse. --- ## Sisteme de ecuații liniare #9 — Avansat · 5 puncte Un sistem omogen $AX = 0$ cu $A$ o matrice $3 \times 3$ are soluții netriviale dacă și numai dacă: A. $\det(A) = 1$ B. $\det(A) > 0$ C. $\det(A) = 0$ D. întotdeauna **Indiciu:** Soluțiile netriviale există dacă și numai dacă $A$ este singulară. **Răspuns corect:** C. $\det(A) = 0$ **Rezolvare** Un sistem omogen pătratic are soluții netriviale (nenule) dacă și numai dacă $\det(A) = 0$. --- ## Sisteme de ecuații liniare #10 — Expert · 5 puncte Se dă sistemul cu parametrul real $m$: $$\begin{cases}mx+y+z=2\\x+my+z=1\\x+y+mz=3\end{cases}$$ Suma valorilor lui $m$ pentru care sistemul este incompatibil este: A. $-1$ B. $1$ C. $-2$ D. $3$ **Indiciu:** Determinantul sistemului se factorizează complet; găseşte rădăcinile factorizării şi analizează separat compatibilitatea (Rouché–Capelli) la fiecare valoare distinctă a lui $m$ care anulează determinantul. **Răspuns corect:** A. $-1$ **Rezolvare** Matricea sistemului este simetrică, $\begin{pmatrix}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}$, cu determinantul $\Delta(m)=(m-1)^2(m+2)$. Valorile distincte care îl anulează sunt $m=1$ şi $m=-2$. **La $m=1$:** matricea sistemului devine $\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$, cu $\operatorname{rang}(A)=1$. Matricea extinsă are liniile $(1,1,1\mid2)$, $(1,1,1\mid1)$, $(1,1,1\mid3)$ — cum termenii liberi diferă deşi liniile din stânga sunt identice, $\operatorname{rang}(A|b)=2\ne\operatorname{rang}(A)$. Sistemul este **incompatibil**. **La $m=-2$:** matricea sistemului este $\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$, ale cărei linii însumate dau $(0,0,0)$, deci $\operatorname{rang}(A)=2$. Suma termenilor liberi este $2+1+3=6\ne0$, deci suma celor trei ecuaţii ar da $0=6$ — imposibil. $\operatorname{rang}(A|b)=3\ne\operatorname{rang}(A)$. Sistemul este de asemenea **incompatibil**. Aşadar sistemul este incompatibil pentru ambele valori, $m=1$ şi $m=-2$, iar suma lor este $1+(-2)=-1$. Verificare: la niciuna dintre cele două valori rangurile nu coincid, deci nu apare cazul compatibil-nedeterminat pentru acest sistem — suma cerută este $-1$. ✓ --- ## Sisteme de ecuații liniare #11 — Expert · 5 puncte Fie $J_3$ matricea $3\times3$ cu toate elementele egale cu $1$, și $A=I_3-\dfrac13J_3$. Se poate arăta că $A^2=A$ (matrice idempotentă). Rangul matricei $A$ este: A. $3$ B. $1$ C. $0$ D. $2$ **Indiciu:** Scrie explicit $A$ (are toate elementele de pe diagonală egale cu $\tfrac23$ și restul egale cu $-\tfrac13$), apoi caută o relație de dependență liniară între linii. **Răspuns corect:** D. $2$ **Rezolvare** Matricea este $A=\begin{pmatrix}\tfrac23&-\tfrac13&-\tfrac13\\-\tfrac13&\tfrac23&-\tfrac13\\-\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23\end{pmatrix}$. Înmulțind toate liniile cu $3$ (fără a schimba rangul), obținem matricea echivalentă $$3A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}.$$ Observăm că suma celor trei linii este $(2-1-1,\,-1+2-1,\,-1-1+2)=(0,0,0)$, deci liniile sunt liniar dependente și rangul este cel mult $2$. Liniile $1$ și $2$, $(2,-1,-1)$ și $(-1,2,-1)$, nu sunt proporționale (raportul primelor componente este $-2$, dar al celorlalte nu este $-2$), deci sunt liniar independente. Rangul este exact $2$. Verificare: minorul format din liniile $1,2$ și coloanele $1,2$ este $\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=4-1=3\ne0$, confirmă rang $\ge2$; combinat cu dependența celor trei linii, rangul este exact $2$. (Notă: pentru orice matrice idempotentă, $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{tr}(A)$; aici $\operatorname{tr}(A)=\tfrac23\cdot3=2$, consistent.) ✓ --- ## Sisteme de ecuații liniare #12 — Legendar · 5 puncte Se dă sistemul cu parametrul real $m$: $\begin{cases}mx+y+2z=2\\3x-y+z=1\\2x+y+mz=-6\end{cases}$. Sistemul NU admite soluţie unică pentru exact două valori ale lui $m$. Dintre acestea, valoarea pentru care sistemul este compatibil nedeterminat este: A. $2$ B. $6$ C. $-2$ D. $-6$ **Indiciu:** Determinantul se factorizează $\Delta(m)=-(m-2)(m+6)$; NU presupune că ambele rădăcini dau aceeaşi clasificare — analizează separat rangul matricei extinse la fiecare dintre ele. **Răspuns corect:** D. $-6$ **Rezolvare** Matricea sistemului este $\begin{pmatrix}m&1&2\\3&-1&1\\2&1&m\end{pmatrix}$. Dezvoltând (după prima linie sau prin Sarrus) se obţine $$\Delta(m)=-(m-2)(m+6),$$ cu rădăcinile $m=2$ şi $m=-6$. **La $m=2$:** matricea sistemului devine $\begin{pmatrix}2&1&2\\3&-1&1\\2&1&2\end{pmatrix}$ — liniile $1$ şi $3$ sunt identice, $(2,1,2)$. Însă termenii liberi corespunzători sunt $2$ (ecuaţia 1) şi $-6$ (ecuaţia 3) — diferiţi! Cum liniile din stânga coincid dar termenii liberi nu, ecuaţiile 1 şi 3 se contrazic: $\operatorname{rang}(A)=2\neq\operatorname{rang}(A|b)=3$. Sistemul este **incompatibil** la $m=2$. **La $m=-6$:** matricea sistemului este $\begin{pmatrix}-6&1&2\\3&-1&1\\2&1&-6\end{pmatrix}$, cu $\operatorname{rang}(A)=2$ (se poate verifica: $5L_1+8L_2+3L_3=(0,0,0)$ pe partea stângă). Verificăm aceeaşi combinaţie pe termenii liberi: $5\cdot2+8\cdot1+3\cdot(-6)=10+8-18=0$ — relaţia se păstrează! Deci $\operatorname{rang}(A|b)=2=\operatorname{rang}(A)<3$. Sistemul este **compatibil nedeterminat** la $m=-6$. Verificare: cele două rădăcini ale lui $\Delta(m)=0$ dau clasificări diferite — $m=2$ incompatibil, $m=-6$ compatibil nedeterminat — deci răspunsul căutat este $m=-6$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.