[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/aritmetica-modulara > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/aritmetica-modulara** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/aritmetica-modulara** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Aritmetică modulară (ℤₙ) — clasa a 12-a Clasa a 12-a · 64 exerciții cu aritmetică modulară (ℤₙ) în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #1 — Începător · 5 puncte Mulțimea $\mathbb{Z}_5$ are câte elemente? A. $0$ B. $4$ C. $5$ D. infinit de multe **Răspuns corect:** C. $5$ **Rezolvare** $\mathbb{Z}_n = \{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\}$ are $n$ elemente. Deci $\mathbb{Z}_5$ are $5$. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #2 — Începător · 5 puncte În $\mathbb{Z}_6$, valoarea lui $\hat{4} + \hat{5}$ este: A. $\hat{0}$ B. $\hat{3}$ C. $\hat{2}$ D. $\hat{5}$ **Indiciu:** Adunați ca numere întregi, apoi reduceți modulo $6$. **Răspuns corect:** B. $\hat{3}$ **Rezolvare** $4 + 5 = 9$, și $9 \bmod 6 = 3$. Deci răspunsul este $\hat{3}$. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #3 — Mediu · 5 puncte În $\mathbb{Z}_8$, inversul aditiv al lui $\hat{3}$ este: A. $\hat{3}$ B. $\hat{0}$ C. $\hat{5}$ D. $\hat{8}$ **Indiciu:** Găsiți $\hat{x}$ cu $\hat{3} + \hat{x} = \hat{0}$. **Răspuns corect:** C. $\hat{5}$ **Rezolvare** $3 + 5 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$, deci inversul este $\hat{5}$. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #4 — Mediu · 5 puncte În $\mathbb{Z}_5$, inversul multiplicativ al lui $\hat{2}$ este: A. $\hat{1}$ B. $\hat{2}$ C. $\hat{3}$ D. $\hat{4}$ **Indiciu:** Găsiți $\hat{x}$ cu $\hat{2} \cdot \hat{x} = \hat{1}$. **Răspuns corect:** C. $\hat{3}$ **Rezolvare** $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$, deci inversul este $\hat{3}$. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #5 — Mediu · 5 puncte În $\mathbb{Z}_6$, care element NU are invers multiplicativ? A. $\hat{1}$ B. $\hat{5}$ C. $\hat{2}$ D. (toate sunt inversabile) **Indiciu:** $\hat{a}$ este inversabil dacă și numai dacă $\gcd(a, n) = 1$. **Răspuns corect:** C. $\hat{2}$ **Rezolvare** $\gcd(2, 6) = 2 \ne 1$, deci $\hat{2}$ nu are invers multiplicativ în $\mathbb{Z}_6$. ($\hat{1}$ și $\hat{5}$ sunt coprime cu $6$ și sunt inversabile.) --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #6 — Mediu · 5 puncte În $\mathbb{Z}_6$, valoarea lui $\hat{2} \cdot \hat{3}$ este: A. $\hat{0}$ B. $\hat{1}$ C. $\hat{2}$ D. $\hat{5}$ **Indiciu:** $2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$. **Răspuns corect:** A. $\hat{0}$ **Rezolvare** $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0}$. ($\mathbb{Z}_6$ are divizori ai lui zero!) --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #7 — Avansat · 5 puncte În $\mathbb{Z}_7$, valoarea lui $\hat{3}^{\,6}$ este: A. $\hat{1}$ B. $\hat{2}$ C. $\hat{3}$ D. $\hat{6}$ **Indiciu:** Mica teoremă a lui Fermat: pentru $p$ prim și $\gcd(a, p) = 1$, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. **Răspuns corect:** A. $\hat{1}$ **Rezolvare** Prin Fermat, $3^{6} \equiv 1 \pmod 7$, deci $\hat{3}^{\,6} = \hat{1}$. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #8 — Avansat · 5 puncte $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ este un corp dacă și numai dacă: A. $n$ este par B. $n \ge 5$ C. $n$ este prim D. $n = n!$ **Răspuns corect:** C. $n$ este prim **Rezolvare** $\mathbb{Z}_n$ este corp dacă și numai dacă orice element nenul este inversabil, dacă și numai dacă orice element de la $1$ la $n - 1$ este coprim cu $n$, dacă și numai dacă $n$ este prim. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #9 — Avansat · 5 puncte Numărul soluțiilor ecuației $x^2 = \hat{x}$ în $\mathbb{Z}_{30}$ este: A. $4$ B. $2$ C. $8$ D. $16$ **Indiciu:** Descompune $30$ în factori primi. Pe fiecare factor prim, ecuația $x^2\equiv x$ are exact două soluții ($0$ și $1$). Combină numărul de soluții pe fiecare factor cu Teorema Chineză a Resturilor (produsul lor). **Răspuns corect:** C. $8$ **Rezolvare** Scriem $30=2\cdot3\cdot5$, produs de trei prime distincte. Pentru orice modul prim $p$, ecuația $x^2\equiv x\pmod p$ (adică $x(x-1)\equiv0$) are exact $2$ soluții: $x\equiv0$ și $x\equiv1$ (căci $\mathbb{Z}_p$ este corp, fără divizori ai lui zero). Prin Teorema Chineză a Resturilor, fiecare combinație de soluții modulo $2,3,5$ dă exact o soluție modulo $30$, deci numărul total este $2\cdot2\cdot2=8$. Verificare directă (câteva soluții): $\hat0,\hat1,\hat6$ ($36\equiv6$), $\hat{10}$ ($100\equiv10$), $\hat{15}$ ($225\equiv15$), $\hat{16}$ ($256\equiv16$), $\hat{21}$ ($441\equiv21$), $\hat{25}$ ($625\equiv25$) — exact $8$ clase idempotente ✓. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #10 — Expert · 5 puncte Numărul soluțiilor ecuației $x^2 = \hat{1}$ în $\mathbb{Z}_{40}$ este: A. $2$ B. $4$ C. $8$ D. $16$ **Indiciu:** Descompune $40$ ca produs de puteri de numere prime. Rezolvă $x^2\equiv1$ separat modulo fiecare factor — atenție, formula „numărul de soluții = $2$" valabilă pentru module prime NU se aplică direct la un factor care este o putere superioară a lui $2$ — apoi combină rezultatele cu CRT. **Răspuns corect:** C. $8$ **Rezolvare** Scriem $40=8\cdot5$, cu $\gcd(8,5)=1$. Modulo $5$ (prim): $x^2\equiv1\pmod5$ are soluțiile $x\equiv1,4$ — exact $2$ soluții, ca de obicei pentru un modul prim. Modulo $8$ (nu prim, ci $2^3$): aici formula standard „$2$ soluții" **nu** se aplică — trebuie enumerat direct. Testăm toate resturile impare posibile: $1^2=1$, $3^2=9\equiv1$, $5^2=25\equiv1$, $7^2=49\equiv1\pmod8$. Toate cele $4$ clase impare satisfac $x^2\equiv1\pmod8$! Prin Teorema Chineză a Resturilor, numărul total de soluții modulo $40$ este $4\cdot2=8$ (nu $2^2=4$, cum ar sugera formula naivă valabilă doar pentru module impare/fără factori $2^k$ cu $k\ge3$). Verificare directă (soluțiile modulo $40$): $\{1,9,11,19,21,29,31,39\}$ — se poate verifica prin calcul direct că fiecare din aceste $8$ clase satisface $x^2\equiv1\pmod{40}$ ✓. --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #11 — Expert · 5 puncte Se încearcă definirea unei funcții $f:\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_{16}$ prin $f(\hat x_4)=\widehat{2^x}_{16}$ (se alege un reprezentant întreg $x\ge0$ al clasei $\hat x_4$, se calculează $2^x$, apoi se reduce modulo $16$). Alegând reprezentanții $x=0$ și $x=4$ ai ACELEIAȘI clase $\hat0\in\mathbb{Z}_4$, se obțin rezultate DIFERITE pentru $f(\hat0)$ — deci $f$ nu este bine definită. Diferența absolută dintre cele două rezultate obținute (ca reprezentanți din $\{0,1,\dots,15\}$) este: A. $1$ B. $2$ C. $15$ D. $16$ **Indiciu:** Calculează separat $2^0\bmod16$ și $2^4\bmod16$. **Răspuns corect:** A. $1$ **Rezolvare** Pentru reprezentantul $x=0$: $2^0=1$, deci $1\bmod16=1$. Pentru reprezentantul $x=4$ (aceeași clasă $\hat0\in\mathbb{Z}_4$, căci $4-0=4$ e multiplu de $4$): $2^4=16$, deci $16\bmod16=0$. Diferența absolută: $|1-0|=1$. Cum cele două rezultate ($1$ și $0$) diferă, $f$ NU este bine definită — rezultatul depinde de reprezentantul ales, nu doar de clasă. Acest exemplu arată de ce, la construcția funcțiilor pe $\mathbb{Z}_n$, buna-definire trebuie verificată explicit, nu presupusă. ✓ --- ## Aritmetică modulară (ℤₙ) #12 — Legendar · 5 puncte Se încearcă definirea unei funcții $f:\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_9$ prin $f(\hat x_n)=\widehat{5^x}_9$ (se alege un reprezentant întreg $x\ge0$ al clasei $\hat x_n$). Determinați cel mai mic număr natural $n\ge2$ pentru care $f$ este bine definită (adică rezultatul nu depinde de reprezentantul ales din fiecare clasă). A. $3$ B. $4$ C. $6$ D. $9$ **Indiciu:** $f$ este bine definită dacă și numai dacă $5^{x+n}\equiv5^x\pmod9$ pentru orice $x$, adică $5^n\equiv1\pmod9$ (cum $\gcd(5,9)=1$, aceasta revine la a găsi un multiplu al ordinului multiplicativ al lui $5$ modulo $9$). **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** Condiția de bună-definire este: pentru orice doi reprezentanți $x$ și $x+n$ ai aceleiași clase din $\mathbb{Z}_n$, trebuie ca $5^{x+n}\equiv5^x\pmod9$, adică (simplificând prin $5^x$, invers­abil modulo $9$) $5^n\equiv1\pmod9$. Calculăm puterile lui $5$ modulo $9$: $5^1=5$, $5^2=25\equiv7$, $5^3=35\equiv8$, $5^4=40\equiv4$, $5^5=20\equiv2$, $5^6=10\equiv1\pmod9$. Deci ordinul multiplicativ al lui $5$ modulo $9$ este exact $6$ — $f$ este bine definită dacă și numai dacă $n$ este multiplu de $6$. Cel mai mic $n\ge2$ multiplu de $6$ este $n=6$. Verificare: pentru $n=6$, $5^6\equiv1\pmod9$, deci $5^{x+6}=5^x\cdot5^6\equiv5^x\cdot1=5^x\pmod9$ pentru orice $x$ — bine definită. Pentru $n=3$ (candidat mai mic), $5^3\equiv8\ne1\pmod9$ — NU e bine definită (contraexemplu: $x=0\Rightarrow5^0=1$, dar $x=3\Rightarrow5^3\equiv8\ne1$, deși $\hat0=\hat3$ în $\mathbb{Z}_3$... de fapt reprezentanții claselor din $\mathbb{Z}_3$ diferă prin multipli de $3$, iar $5^3\not\equiv1$ arată direct eșecul). Pentru $n=4$: $5^4\equiv4\ne1$ — eșuează. Cel mai mic $n$ valid este $6$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.