[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/grupuri > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/grupuri** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/grupuri** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Grupuri — clasa a 12-a Clasa a 12-a · 66 exerciții cu grupuri în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Grupuri #1 — Începător · 5 puncte Un grup este o mulțime nevidă cu o lege de compoziție care satisface: A. doar asociativitatea B. doar existența elementului neutru C. asociativitate, element neutru și simetrice D. doar comutativitatea **Răspuns corect:** C. asociativitate, element neutru și simetrice **Rezolvare** Axiomele de grup: asociativitate, element neutru, orice element are un simetric. Comutativitatea este axioma suplimentară pentru un grup **abelian**. --- ## Grupuri #2 — Începător · 5 puncte $(\mathbb{Z}, +)$ este: A. un grup finit B. un grup abelian C. un grup neabelian D. nu este grup **Răspuns corect:** B. un grup abelian **Rezolvare** Asociativ ✓, element neutru $0$ ✓, simetricul lui $n$ este $-n$ ✓, comutativ ✓. Deci $(\mathbb{Z}, +)$ este un grup abelian. --- ## Grupuri #3 — Mediu · 5 puncte Într-un grup $(G, \cdot)$ cu elementul neutru $e$, ordinul unui element $g$ este: A. cel mai mare $n$ cu $g^n = e$ B. $|G|$ C. cel mai mic $n$ pozitiv cu $g^n = e$ (sau $\infty$ dacă nu există) D. întotdeauna egal cu $1$ **Răspuns corect:** C. cel mai mic $n$ pozitiv cu $g^n = e$ (sau $\infty$ dacă nu există) **Rezolvare** Ordinul lui $g$ este cel mai mic număr întreg pozitiv $n$ cu $g^n = e$ (sau infinit dacă nu există niciun astfel de $n$). --- ## Grupuri #4 — Mediu · 5 puncte În $(\mathbb{Z}_6, +)$, ordinul lui $\hat{2}$ este: A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $6$ **Indiciu:** Calculați $\hat{2}, \hat{2} + \hat{2}, \hat{2} + \hat{2} + \hat{2}$ până ajungeți la $\hat{0}$. **Răspuns corect:** B. $3$ **Rezolvare** $\hat{2}, \hat{4}, \hat{6} = \hat{0}$ — trei adunări, deci ordinul este $3$. --- ## Grupuri #5 — Mediu · 5 puncte O submulțime nevidă $H$ a unui grup $(G, \cdot)$ este subgrup dacă și numai dacă: A. $H$ conține elementul neutru B. $H$ este închisă la înmulțire C. Pentru orice $a, b \in H$, $a \cdot b^{-1} \in H$ D. $|H| = |G|$ **Răspuns corect:** C. Pentru orice $a, b \in H$, $a \cdot b^{-1} \in H$ **Rezolvare** „Criteriul subgrupului în un pas": $H$ este subgrup dacă și numai dacă este nevidă și $a, b \in H \Rightarrow a b^{-1} \in H$. --- ## Grupuri #6 — Mediu · 5 puncte Prin teorema lui Lagrange, într-un grup finit $G$: A. ordinul oricărui element este egal cu $|G|$ B. ordinul oricărui element divide $|G|$ C. ordinul oricărui element este prim D. ordinul oricărui element este egal cu al oricărui alt element **Răspuns corect:** B. ordinul oricărui element divide $|G|$ **Rezolvare** Lagrange: într-un grup finit, ordinul oricărui subgrup (și deci ordinul oricărui element, care este ordinul subgrupului ciclic generat de el) divide $|G|$. --- ## Grupuri #7 — Avansat · 5 puncte Cel mai mic grup neabelian are ordinul: A. $3$ B. $4$ C. $6$ D. $8$ **Indiciu:** Grupurile de ordin $\le 5$ și ordin $7$ sunt abeliene (prin Lagrange și argumentul ordinului prim). $S_3$ are ordinul $6$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** $S_3$ (sau echivalent $D_3$) are $6$ elemente și este neabelian. Toate grupurile de ordin $1, 2, 3, 4, 5$ sunt abeliene. --- ## Grupuri #8 — Avansat · 5 puncte Grupul Klein $V_4$ are proprietatea că: A. are un element de ordin $4$ B. este neabelian C. orice element non-neutru are ordinul $2$ D. este izomorf cu $\mathbb{Z}_4$ **Indiciu:** $V_4 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. **Răspuns corect:** C. orice element non-neutru are ordinul $2$ **Rezolvare** În $V_4$, orice element non-neutru are ordinul $2$. (Aceasta îl distinge de $\mathbb{Z}_4$, care are un element de ordin $4$.) --- ## Grupuri #9 — Avansat · 5 puncte Ordinul clasei $\hat{2}$ în grupul multiplicativ $(\mathbb{Z}_{13}^*, \cdot)$ este: A. $12$ B. $6$ C. $4$ D. $3$ **Indiciu:** Grupul $\mathbb{Z}_{13}^*$ are $12$ elemente. Ordinul lui $\hat2$ trebuie să dividă $12$; testează divizorii lui $12$ în ordine crescătoare până găsești cel mai mic $k$ cu $2^k\equiv1$. **Răspuns corect:** A. $12$ **Rezolvare** Cum $13$ este prim, $|\mathbb{Z}_{13}^*|=12$, deci ordinul lui $\hat2$ divide $12$. Testăm divizorii lui $12$ în ordine crescătoare: $$2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16\equiv3,\ 2^6=64\equiv12\equiv-1 \pmod{13}$$ Niciunul dintre $2^1,2^2,2^3,2^4,2^6$ nu este $\equiv1$, deci ordinul nu poate fi $1,2,3,4$ sau $6$. Rămâne singura posibilitate: ordinul este $12$. Verificare: $2^{12}=(2^6)^2\equiv(-1)^2=1\pmod{13}$, iar niciun divizor propriu al lui $12$ nu a dat $1$, deci $\hat2$ este un generator (rădăcină primitivă) al lui $\mathbb{Z}_{13}^*$ ✓. --- ## Grupuri #10 — Expert · 5 puncte Ordinul elementului $\bar{2}$ în grupul multiplicativ $(\mathbb{Z}_9^*, \cdot)$ este egal cu: A. $6$ B. $3$ C. $9$ D. $8$ E. $2$ **Indiciu:** Ordinul unui element divide ordinul grupului (teorema lui Lagrange). **Răspuns corect:** A. $6$ **Rezolvare** Mulțimea $\mathbb{Z}_9^*$ conține resturile nenule modulo $9$ prime cu $9$, adică $\{1,2,4,5,7,8\}$ (se exclud multiplii lui $3$, anume $3$ și $6$). Așadar $|\mathbb{Z}_9^*| = 6$. Conform teoremei lui Lagrange, ordinul lui $\bar{2}$ divide $6$, deci singurii candidați posibili sunt $1, 2, 3, 6$. Se calculează puterile lui $2$ modulo $9$: $$2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8$$ Niciuna dintre aceste puteri nu este congruentă cu $1$ modulo $9$, deci ordinul nu poate fi $1$, $2$ sau $3$. Rămâne de verificat ultimul candidat: $$2^6 = 64 = 7 \cdot 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$$ Cum $2^6 \equiv 1 \pmod 9$, iar niciun divizor mai mic al lui $6$ nu satisface relația, rezultă: $$\mathrm{ord}(\bar{2}) = 6$$ --- ## Grupuri #11 — Expert · 5 puncte Fie $G=\left\{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} : a\in\mathbb{R}\right\}$, cu înmulțirea matricelor drept lege de compoziție; $(G,\cdot)$ este grup, cu elementul neutru $I_2$ (corespunzător lui $a=0$). Pentru matricea $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, ordinul lui $A$ în grupul $G$ (cel mai mic $n\ge1$ natural cu $A^n=I_2$) este: A. o infinitate B. $2$ C. $3$ D. $4$ **Indiciu:** Calculează $A^2$, $A^3$ și observă tiparul: arată prin inducție că $A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. **Răspuns corect:** A. o infinitate **Rezolvare** Prin inducție: $A^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, iar dacă $A^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$, atunci $A^{k+1}=A^k\cdot A=\begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$. Deci $A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ pentru orice $n\ge1$. Cum $A^n=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ar necesita $n=0$, dar $n\ge1$ este natural nenul, nu există niciun $n\ge1$ cu $A^n=I_2$ — ordinul lui $A$ este infinit. Verificare: $A^1,A^2,A^3,A^4$ au colțul din dreapta-sus egal cu $1,2,3,4$ — șirul crește strict, nu revine niciodată la $0$. ✓ --- ## Grupuri #12 — Legendar · 5 puncte Pe $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ se definește legea $x*y=x+y-xy$ (se poate arăta că este asociativă, cu element neutru $e=0$, deci $(\mathbb{R}\setminus\{1\},*)$ este grup). Calculați $2*3*4*5*6*7*8*9*10*11$ (compunerea calculată în ordine, de la stânga la dreapta). A. $-3628800$ B. $3628800$ C. $-3628799$ D. $3628799$ **Indiciu:** Notează $t(x)=1-x$ și verifică identitatea $t(x*y)=t(x)\cdot t(y)$ — legea $*$ „copiază" înmulțirea uzuală prin această substituție, transformând un lanț de $9$ compuneri greoaie într-un simplu produs. **Răspuns corect:** C. $-3628799$ **Rezolvare** Fie $t(x)=1-x$. Atunci $t(x*y)=1-(x+y-xy)=(1-x)(1-y)=t(x)\cdot t(y)$ — deci $t$ este un izomorfism între $(\mathbb{R}\setminus\{1\},*)$ și $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$. Aplicăm izomorfismul lanțului întreg: $$t(2*3*4*\cdots*11)=t(2)\cdot t(3)\cdots t(11)=(-1)(-2)(-3)\cdots(-10)=(-1)^{10}\cdot10!=3628800.$$ Deci, notând $R$ rezultatul căutat, $t(R)=3628800\Rightarrow 1-R=3628800\Rightarrow R=1-3628800=-3628799$. Verificare prin calcul direct, pas cu pas: $2*3=2+3-6=-1$; $(-1)*4=-1+4-(-4)=7$; $7*5=7+5-35=-23$; $(-23)*6=-23+6+138=121$; $121*7=121+7-847=-719$; $(-719)*8=-719+8+5752=5041$; $5041*9=5041+9-45369=-40319$; $(-40319)*10=-40319+10+403190=362881$; $362881*11=362881+11-3991691=-3628799$ — coincide exact cu rezultatul obținut prin izomorfism. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.