[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/inele-si-corpuri

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/inele-si-corpuri**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/inele-si-corpuri** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Inele și corpuri — clasa a 12-a

Clasa a 12-a · 37 exerciții cu inele și corpuri în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Inele și corpuri #1 — Începător · 5 puncte

Un inel este o mulțime nevidă cu două operații $+$ și $\cdot$ astfel încât:

A. $(R, +)$ este un grup; $(R, \cdot)$ este un grup
B. $(R, +)$ este un grup; $\cdot$ este asociativă
C. $(R, +)$ este un grup abelian; $\cdot$ este asociativă; $\cdot$ este distributivă față de $+$
D. $(R, +)$ este un monoid; $\cdot$ este comutativă

**Răspuns corect:** C. $(R, +)$ este un grup abelian; $\cdot$ este asociativă; $\cdot$ este distributivă față de $+$

**Rezolvare**

Un inel: grup abelian față de $+$, $\cdot$ asociativă și distributivitate lui $\cdot$ față de $+$. (Unele definiții cer și existența elementului neutru multiplicativ.)

---

## Inele și corpuri #2 — Începător · 5 puncte

$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ este:

A. nu este inel
B. un inel comutativ (cu element neutru $1$)
C. un corp
D. un inel necomutativ

**Răspuns corect:** B. un inel comutativ (cu element neutru $1$)

**Rezolvare**

Aritmetica standard pe $\mathbb{Z}$: este un inel comutativ cu element neutru $1$.

---

## Inele și corpuri #3 — Mediu · 5 puncte

$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ are divizori ai lui zero?

A. da, $2 \cdot 0 = 0$
B. nu, $\mathbb{Z}$ este domeniu de integritate
C. numai pe numerele întregi negative
D. numai multiplii lui $6$

**Indiciu:** Un divizor al lui zero trebuie să fie **nenul**. În $\mathbb{Z}$, pot două numere întregi nenule să aibă produsul zero?

**Răspuns corect:** B. nu, $\mathbb{Z}$ este domeniu de integritate

**Rezolvare**

În $\mathbb{Z}$, produsul a două numere întregi nenule este nenul — deci $\mathbb{Z}$ nu are divizori ai lui zero. Este domeniu de integritate.

---

## Inele și corpuri #4 — Mediu · 5 puncte

Un corp este un inel comutativ cu element neutru în care:

A. nu există divizori ai lui zero
B. orice element are inversă
C. orice element nenul are inversă multiplicativă
D. $(R, +) \cong (R, \cdot)$

**Răspuns corect:** C. orice element nenul are inversă multiplicativă

**Rezolvare**

Corp: inel comutativ cu element neutru astfel încât orice element nenul are inversă multiplicativă.

---

## Inele și corpuri #5 — Mediu · 5 puncte

$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ este:

A. un inel, dar nu un corp
B. un corp, dar nu un inel
C. un corp
D. numai un grup față de $+$

**Răspuns corect:** C. un corp

**Rezolvare**

$\mathbb{Q}$ satisface toate axiomele unui corp — orice rațional nenul are un invers rațional. Este corp.

---

## Inele și corpuri #6 — Mediu · 5 puncte

$\mathbb{Z}_5$ este:

A. un inel, dar nu un corp (are divizori ai lui zero)
B. un inel necomutativ
C. un corp
D. numai un grup abelian

**Indiciu:** $\mathbb{Z}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim.

**Răspuns corect:** C. un corp

**Rezolvare**

$5$ este prim, deci $\mathbb{Z}_5$ este corp. (Orice element nenul are inversă multiplicativă.)

---

## Inele și corpuri #7 — Avansat · 5 puncte

$\mathbb{Z}_6$ NU este corp deoarece:

A. nu este inel
B. nu are element neutru
C. are divizori ai lui zero (de exemplu, $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$)
D. este finit

**Răspuns corect:** C. are divizori ai lui zero (de exemplu, $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$)

**Rezolvare**

$\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0}$ cu $\hat{2}, \hat{3} \ne \hat{0}$ — divizori ai lui zero. Un corp nu are divizori ai lui zero, deci $\mathbb{Z}_6$ nu este corp. (Echivalent, $6$ este compus.)

---

## Inele și corpuri #8 — Avansat · 5 puncte

$(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)$ este:

A. un corp
B. un inel comutativ
C. un inel necomutativ cu element neutru
D. nu este inel

**Răspuns corect:** C. un inel necomutativ cu element neutru

**Rezolvare**

Matricele formează un inel (cu matricea nulă și matricea unitate), dar înmulțirea este necomutativă pentru $n \ge 2$. Este un inel necomutativ cu element neutru.

---

## Inele și corpuri #9 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea unităților (elementelor multiplicativ inversabile) ale lui $\mathbb{Z}_8$ este:

A. $\{\hat{0}\}$
B. $\{\hat{1}, \hat{2}, \hat{3}\}$
C. $\{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{7}\}$
D. $\mathbb{Z}_8 \setminus \{\hat{0}\}$

**Indiciu:** $\hat{a}$ este unitate dacă și numai dacă $\gcd(a, 8) = 1$.

**Răspuns corect:** C. $\{\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{7}\}$

**Rezolvare**

Unitățile sunt resturile coprime cu $8$: $\{1, 3, 5, 7\}$, patru elemente.

---

## Inele și corpuri #10 — Expert · 5 puncte

Numărul elementelor idempotente ale inelului $(\mathbb{Z}_{12},+,\cdot)$ (adică al claselor $\hat x$ cu $x^2\equiv x\pmod{12}$) este:

A. $4$
B. $2$
C. $6$
D. $3$

**Indiciu:** Rezolvă $x^2\equiv x\pmod{12}$, adică $x(x-1)\equiv0\pmod{12}$, verificând toate valorile $x\in\{0,1,\dots,11\}$.

**Răspuns corect:** A. $4$

**Rezolvare**

Testăm direct: $0^2=0$ ✓; $1^2=1$ ✓; $4^2=16\equiv4$ ✓; $9^2=81\equiv9$ ✓ (celelalte nu verifică — de exemplu $3^2=9\ne3$, $6^2=36\equiv0\ne6$).

Elementele idempotente sunt $\{\hat0,\hat1,\hat4,\hat9\}$, deci $4$ la număr.

(Acest rezultat este consistent cu izomorfismul $\mathbb{Z}_{12}\cong\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_3$ dat de teorema chineză a resturilor: numărul idempotenților unui produs de inele este $2^{\text{numărul factorilor}}=2^2=4$.)

Verificare: $4^2=16=12+4\equiv4\pmod{12}$ și $9^2=81=72+9\equiv9\pmod{12}$, confirmă direct cele $4$ soluții găsite. ✓

---

## Inele și corpuri #11 — Expert · 5 puncte

Dintre valorile $n\in\{91,111,121,127\}$, inelul $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ este corp pentru:

A. $91$
B. $127$
C. $121$
D. $111$

**Indiciu:** $\mathbb{Z}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este număr prim; verifică factorizarea fiecărei valori (niciuna nu are un divizor evident mic precum $2$ sau $5$).

**Răspuns corect:** B. $127$

**Rezolvare**

Verificăm fiecare valoare: $91=7\cdot13$ (compus), $111=3\cdot37$ (compus), $121=11^2$ (compus), iar $127$ nu se divide cu niciun număr prim $\le\sqrt{127}\approx11{,}3$ (adică $2,3,5,7,11$): $127$ este impar, cifra sumă $1+2+7=10$ nu se divide cu $3$, nu se termină în $0$/$5$, $127/7\approx18{,}1$, $127/11\approx11{,}5$ — deci $127$ este prim.

Singura valoare pentru care $\mathbb{Z}_n$ este corp (toate elementele nenule inversabile) este $n=127$.

Verificare: pentru $n=91$, elementul $\hat7$ nu e inversabil (căci $\gcd(7,91)=7\ne1$) — deci $\mathbb{Z}_{91}$ nu e corp; analog $\hat3\mid111$ și $\hat{11}\mid121$ arată că nici $\mathbb{Z}_{111}$, nici $\mathbb{Z}_{121}$ nu sunt corpuri. ✓

---

## Inele și corpuri #12 — Legendar · 5 puncte

Numărul soluțiilor ecuației $\hat{x}^2 = \hat{1}$ în inelul $(\mathbb{Z}_{24}, +, \cdot)$ este:

A. $8$
B. $4$
C. $2$
D. $6$

**Indiciu:** Descompune $24 = 8 \cdot 3$ cu $\gcd(8,3)=1$ și folosește Teorema Chinezească a Resturilor: $\mathbb{Z}_{24} \cong \mathbb{Z}_8 \times \mathbb{Z}_3$. Numără separat soluțiile lui $x^2\equiv 1$ modulo $8$ și modulo $3$, apoi înmulțește numărul lor. Atenție: formula $2^{\omega(n)}$ (numărul factorilor primi distincți) e valabilă doar pentru $n$ impar sau $n\equiv 2\pmod 4$ — pentru $8\mid n$ apar soluții suplimentare.

**Răspuns corect:** A. $8$

**Rezolvare**

Descompunem $24 = 8\cdot 3$, cu $\gcd(8,3)=1$. Prin Teorema Chinezească a Resturilor, $\mathbb{Z}_{24} \cong \mathbb{Z}_8 \times \mathbb{Z}_3$ ca inele, deci ecuația $x^2\equiv 1$ se rezolvă independent pe fiecare factor, iar numărul total de soluții este produsul numărului de soluții pe fiecare componentă.

**Modulo $3$:** verificăm $x\in\{0,1,2\}$: $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4\equiv1$. Soluții: $\{1,2\}$ — **$2$ soluții**.

**Modulo $8$:** verificăm $x\in\{0,\dots,7\}$: $1^2=1$, $3^2=9\equiv1$, $5^2=25\equiv1$, $7^2=49\equiv1$, iar $0^2=0,2^2=4,4^2=16\equiv0,6^2=36\equiv4$. Soluții: $\{1,3,5,7\}$ — **$4$ soluții** (nu doar $2$, pentru că $8=2^3$ are grupul de unități $U(\mathbb{Z}_8)\cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, necilic, cu $4$ elemente de ordin cel mult $2$).

Numărul total de soluții modulo $24$ este:

$$4 \times 2 = 8$$

Verificare prin enumerare directă modulo $24$: testând $x=0,\dots,23$, mulțimea soluțiilor lui $x^2\equiv1\pmod{24}$ este $\{1,5,7,11,13,17,19,23\}$ — exact $8$ valori. Se observă că **nu** se aplică formula simplificată $2^{\omega(24)}=2^2=4$ (validă doar pentru $n$ impar), tocmai pentru că $24$ este divizibil cu $8$.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.