[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrala-definita

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrala-definita**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrala-definita** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Integrala definită — clasa a 12-a

Clasa a 12-a · 105 exerciții cu integrala definită în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Integrala definită #1 — Începător · 5 puncte

$\displaystyle\int_0^1 x \, dx$ este egal cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $2$

**Indiciu:** Formula Leibniz–Newton: $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ unde $F$ este o primitivă.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

$F(x) = \dfrac{x^2}{2}$. $\int_0^1 x \, dx = F(1) - F(0) = \dfrac{1}{2}$.

---

## Integrala definită #2 — Începător · 5 puncte

$\displaystyle\int_1^2 x^2 \, dx$ este egal cu:

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{7}{3}$
C. $\dfrac{8}{3}$
D. $3$

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{7}{3}$

**Rezolvare**

$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$. $F(2) - F(1) = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$.

---

## Integrala definită #3 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx$ este egal cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\dfrac{\pi}{2}$

**Răspuns corect:** C. $1$

**Rezolvare**

$F(x) = \sin x$. $F(\pi/2) - F(0) = 1 - 0 = 1$.

---

## Integrala definită #4 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int_0^1 e^x \, dx$ este egal cu:

A. $1$
B. $e$
C. $e - 1$
D. $e + 1$

**Răspuns corect:** C. $e - 1$

**Rezolvare**

$\int_0^1 e^x \, dx = e^1 - e^0 = e - 1$.

---

## Integrala definită #5 — Mediu · 5 puncte

Aria de sub curba $y = x^2$ între $x = 0$ și $x = 3$ este egală cu:

A. $3$
B. $6$
C. $9$
D. $27$

**Indiciu:** Aria $= \int_0^3 x^2 \, dx$.

**Răspuns corect:** C. $9$

**Rezolvare**

$\int_0^3 x^2 \, dx = \dfrac{27}{3} = 9$.

---

## Integrala definită #6 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3 \, dx$ este egal cu:

A. $1$
B. $\dfrac{15}{4}$
C. $\dfrac{17}{4}$
D. $4$

**Indiciu:** Substituiți $u = x^2 + 1$.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{15}{4}$

**Rezolvare**

$u = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x \, dx$. Când $x = 0$, $u = 1$; când $x = 1$, $u = 2$. $\int_1^2 u^3 \, du = \dfrac{16 - 1}{4} = \dfrac{15}{4}$.

---

## Integrala definită #7 — Avansat · 5 puncte

$\displaystyle\int_1^e \ln x \, dx$ este egal cu:

A. $1$
B. $e$
C. $e - 1$
D. $0$

**Indiciu:** Integrare prin părți cu $u = \ln x$, $dv = dx$.

**Răspuns corect:** A. $1$

**Rezolvare**

$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$. Evaluăm: $(e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$.

---

## Integrala definită #8 — Avansat · 5 puncte

Pentru $f$ continuă și nenegativă pe $[a, b]$ cu $b > a$:

A. $\int_a^b f < 0$ întotdeauna
B. $\int_a^b f = 0$ întotdeauna
C. $\int_a^b f \ge 0$
D. $\int_a^b f$ depinde doar de $b$

**Răspuns corect:** C. $\int_a^b f \ge 0$

**Rezolvare**

Integrala unei funcții continue și nenegative pe $[a, b]$ este nenegativă (reprezintă aria de sub grafic).

---

## Integrala definită #9 — Avansat · 5 puncte

Aria regiunii cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=x^3$ și $g(x)=x$ pe intervalul $[-1,1]$ este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $1$

**Indiciu:** Graficele se intersectează în trei puncte: $x^3=x \Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$. Nu integra direct $x^3-x$ pe tot intervalul — verifică semnul pe fiecare subinterval.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Intersecții: $x\in\{-1,0,1\}$. Pe $[-1,0]$: $x^3\ge x$; pe $[0,1]$: $x\ge x^3$.
$$\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx=\Big[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\Big]_{-1}^0=0-\left(\frac14-\frac12\right)=\frac14,$$
$$\int_0^1(x-x^3)\,dx=\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\Big]_0^1=\frac12-\frac14=\frac14.$$
$$\text{Aria}=\frac14+\frac14=\frac12.$$
(Atenție: integrala directă $\int_{-1}^1(x^3-x)\,dx=0$, deoarece $x^3-x$ este o funcție impară — asta dă suma algebrică, nu aria!) Verificare: $1/4+1/4=1/2$ ✓.

---

## Integrala definită #10 — Expert · 5 puncte

Fie $f(x)=x^3-x$. Aria regiunii mărginite de graficul lui $f$ și tangenta la grafic în punctul de inflexiune, pentru $x\in[-1,1]$, este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $1$

**Indiciu:** Găsește punctul de inflexiune din $f''(x)=0$, scrie ecuația tangentei acolo, apoi calculează $\displaystyle\int_{-1}^1\big|f(x)-t(x)\big|\,dx$.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

$f'(x)=3x^2-1$, $f''(x)=6x$, deci punctul de inflexiune este $x=0$. Tangenta acolo: $t(x)=f'(0)(x-0)+f(0)=-x+0=-x$.
$$f(x)-t(x)=(x^3-x)-(-x)=x^3.$$
Pe $[-1,0]$, $x^3\le0$; pe $[0,1]$, $x^3\ge0$.
$$\text{Aria}=\int_{-1}^0(-x^3)\,dx+\int_0^1 x^3\,dx=\frac14+\frac14=\frac12.$$
(Atenție: $\int_{-1}^1 x^3\,dx=0$ pentru că $x^3$ e impară — asta ar da greșit "aria" $0$ dacă uiți să separați semnul.) Verificare: $1/4+1/4=1/2$ ✓.

---

## Integrala definită #11 — Expert · 5 puncte

Valoarea integralei $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx$ este:

A. $\ln\dfrac98$
B. $\ln\dfrac89$
C. $\ln 2-\ln 3$
D. $\dfrac12\ln\dfrac98$

**Indiciu:** Descompune în fracții simple: $\dfrac{x}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}$, apoi determină $A,B$ din identitatea de polinoame.

**Răspuns corect:** A. $\ln\dfrac98$

**Rezolvare**

Din $x=A(x+2)+B(x+1)$: pentru $x=-1$ obținem $A=-1$; pentru $x=-2$ obținem $B=2$.

Deci integrandul este $-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+2}$, cu primitiva $-\ln|x+1|+2\ln|x+2|$.

La $x=1$: $-\ln2+2\ln3$. La $x=0$: $-\ln1+2\ln2=2\ln2$.

$$\int_0^1\frac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx = \big(-\ln2+2\ln3\big)-2\ln2 = 2\ln3-3\ln2=\ln9-\ln8=\ln\frac98.$$

---

## Integrala definită #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea integralei $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\,dx$ este:

A. $-\pi\ln 2$
B. $-\dfrac{\pi\ln 2}{2}$
C. $0$
D. integrala este divergentă

**Indiciu:** Notează $I$ integrala. Arată întâi că $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\ln(\cos x)dx=I$, apoi calculează $2I$ folosind $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

**Răspuns corect:** B. $-\dfrac{\pi\ln 2}{2}$

**Rezolvare**

Integrala este **convergentă**: deși $\ln(\sin x)\to-\infty$ când $x\to 0^{+}$, singularitatea este logaritmică, deci integrabilă.

Fie $I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin x)\,dx$.

**Pasul 1.** Substituția $x\mapsto\dfrac\pi2-x$ dă $\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\ln(\cos x)dx=I$.

**Pasul 2.** Adunând și folosind $\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}$:
$$2I=\int_0^{\frac\pi2}\ln\left(\sin x\cos x\right)dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln\frac{\sin 2x}{2}\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin 2x)\,dx-\frac{\pi}{2}\ln 2.$$

**Pasul 3.** În ultima integrală, substituția $u=2x$ dă
$$\int_0^{\frac\pi2}\ln(\sin 2x)dx=\frac12\int_0^{\pi}\ln(\sin u)\,du=\frac12\cdot 2I=I$$
(am folosit simetria graficului lui $\sin$ față de $u=\frac\pi2$ pe $[0,\pi]$).

Deci $2I=I-\dfrac{\pi}{2}\ln 2$, de unde
$$I=-\frac{\pi\ln 2}{2}\approx-1{,}0888.$$

(Verificat numeric la 25 de zecimale: $-1{,}088793045151801065$.) ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.