[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrale-recursive

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrale-recursive**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrale-recursive** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Integrale recursive — clasa a 12-a

Clasa a 12-a · 74 exerciții cu integrale recursive în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Integrale recursive #1 — Începător · 5 puncte

Fie $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx$. Atunci $I_0$ este egal cu:

A. $0$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. divergent

**Răspuns corect:** B. $1$

**Rezolvare**

$I_0 = \int_0^1 1 \, dx = 1$.

---

## Integrale recursive #2 — Începător · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx$, expresia în formă închisă este:

A. $n$
B. $\dfrac{1}{n}$
C. $\dfrac{1}{n + 1}$
D. $\dfrac{n}{n + 1}$

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{1}{n + 1}$

**Rezolvare**

$I_n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{n + 1}$.

---

## Integrale recursive #3 — Mediu · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x \, dx$, integrarea prin părți dă recurența:

A. $I_n = e + n I_{n-1}$
B. $I_n = e - n I_{n-1}$
C. $I_n = n I_{n-1} - e$
D. $I_n = (n - 1) I_{n-1}$

**Indiciu:** Fie $u = x^n$, $dv = e^x \, dx$. Atunci $du = n x^{n-1} \, dx$, $v = e^x$.

**Răspuns corect:** B. $I_n = e - n I_{n-1}$

**Rezolvare**

$I_n = x^n e^x\Big|_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x \, dx = e - n I_{n-1}$.

---

## Integrale recursive #4 — Mediu · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx$, șirul $(I_n)_{n \ge 0}$ este:

A. strict crescător
B. strict descrescător
C. constant
D. nemonoton

**Indiciu:** Pe $[0, 1]$, $x^{n+1} \le x^n$.

**Răspuns corect:** B. strict descrescător

**Rezolvare**

Pentru $x \in [0, 1]$, $x^{n+1} \le x^n$, deci $I_{n+1} \le I_n$. Strict descrescător.

---

## Integrale recursive #5 — Mediu · 5 puncte

Termenii șirului $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$ sunt:

A. întotdeauna negativi
B. alternați în semn
C. întotdeauna pozitivi
D. zero pentru $n$ par

**Indiciu:** Integrandul $\sin^n x \ge 0$ pe $[0, \pi/2]$.

**Răspuns corect:** C. întotdeauna pozitivi

**Rezolvare**

$\sin x \ge 0$ pe $[0, \pi/2]$, deci $\sin^n x \ge 0$ și integrala este $\ge 0$ (de fapt $> 0$ pentru $n$ finit).

---

## Integrale recursive #6 — Mediu · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$, recurența Wallis dă:

A. $I_n = I_{n-2}$
B. $I_n = \dfrac{n - 1}{n} I_{n-2}$
C. $I_n = \dfrac{n}{n - 1} I_{n-2}$
D. $I_n = n I_{n-1}$

**Indiciu:** Integrare prin părți cu $u = \sin^{n-1}x$, $dv = \sin x \, dx$.

**Răspuns corect:** B. $I_n = \dfrac{n - 1}{n} I_{n-2}$

**Rezolvare**

Formula Wallis dă $I_n = \dfrac{n - 1}{n} I_{n-2}$ pentru $n \ge 2$.

---

## Integrale recursive #7 — Avansat · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx$, inegalitatea $0 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1}$ are loc deoarece:

A. $\dfrac{1}{1 + x} \ge 0$ pe $[0, 1]$
B. $\dfrac{x^n}{1 + x} \le 1$ pe $[0, 1]$
C. $\dfrac{1}{1 + x} \le 1$ pe $[0, 1]$
D. $\dfrac{x^n}{1 + x} \ge x^n$

**Indiciu:** Pe $[0, 1]$: $1 + x \ge 1$, deci $\dfrac{1}{1 + x} \le 1$. Înmulțiți cu $x^n \ge 0$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{1}{1 + x} \le 1$ pe $[0, 1]$

**Rezolvare**

Pe $[0, 1]$: $1 \le 1 + x \le 2$, deci $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{1 + x} \le 1$. Rezultă că $\dfrac{x^n}{1 + x} \le x^n$, dând $I_n \le \int_0^1 x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}$.

---

## Integrale recursive #8 — Avansat · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx$, $\lim_{n \to \infty} I_n$ este egal cu:

A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\ln 2$
D. $\infty$

**Indiciu:** Prin criteriul cleștar cu marginea $0 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1}$.

**Răspuns corect:** A. $0$

**Rezolvare**

$0 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1} \to 0$, deci $I_n \to 0$ prin criteriul cleștar.

---

## Integrale recursive #9 — Avansat · 5 puncte

Pentru $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx$, suma $I_n + I_{n+1}$ este egală cu:

A. $\dfrac{1}{n + 1}$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{n}$
D. $\ln 2$

**Indiciu:** $\dfrac{x^n + x^{n+1}}{1 + x} = \dfrac{x^n(1 + x)}{1 + x} = x^n$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{n + 1}$

**Rezolvare**

$I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \dfrac{x^n + x^{n+1}}{1 + x} \, dx = \int_0^1 x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}$.

---

## Integrale recursive #10 — Expert · 5 puncte

Fie $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{x+1}\,dx$, $n \in \mathbb{N}$. Valoarea lui $I_2$ este:

A. $\ln 2 - \dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3}{2} + \ln 2$
C. $-\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{2} - \ln 2$
E. $-\ln 2 - \dfrac{1}{2}$

**Indiciu:** $\dfrac{x^n}{x+1} = x^{n-1} - \dfrac{x^{n-1}}{x+1}$, deci $I_n + I_{n-1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}\,dx$.

**Răspuns corect:** A. $\ln 2 - \dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Pentru $n\ge 1$ scriem
$$\frac{x^n}{x+1} = x^{n-1} - \frac{x^{n-1}}{x+1}.$$

Integrând pe $[0,1]$, obținem relația
$$I_n + I_{n-1} = \int_0^1 x^{n-1}\,dx = \frac{1}{n}.$$

Calculăm baza:
$$I_0 = \int_0^1 \frac{1}{x+1}\,dx = \ln(x+1)\Big|_0^1 = \ln 2.$$

Pentru $n=1$:
$$I_1 = 1 - I_0 = 1 - \ln 2.$$

Pentru $n=2$:
$$I_2 = \frac{1}{2} - I_1 = \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}.$$

Verificare pe altă cale (fără recurență): prin împărțire, $\dfrac{x^2}{x+1} = x - 1 + \dfrac{1}{x+1}$, deci
$$I_2 = \int_0^1 (x-1)\,dx + \int_0^1 \frac{1}{x+1}\,dx = \left(\frac{1}{2}-1\right) + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}.$$

---

## Integrale recursive #11 — Expert · 5 puncte

Se consideră șirul $I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx$, $n\in\mathbb{N}$. Valoarea $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\cdot I_n$ este egală cu:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $0$
C. $\ln2$
D. $1$

**Indiciu:** Folosește relația $I_n+I_{n-1}=\dfrac1n$ (obținută din $x^n+x^{n-1}=x^{n-1}(1+x)$); înmulțește cu $n$ și analizează ce se întâmplă cu $n\,I_{n-1}$ când $n\to\infty$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

Din $I_n+I_{n-1}=\dfrac1n$, înmulțind cu $n$:
$$n\,I_n+n\,I_{n-1}=1.$$
Presupunem că șirul $n\,I_n$ are limita $L$ (există, deoarece $I_n$ este pozitiv, descrescător și $I_n\sim c/n$). Atunci $(n-1)I_{n-1}\to L$ și
$$n\,I_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot(n-1)I_{n-1}\to 1\cdot L=L.$$
Trecând la limită în $nI_n+nI_{n-1}=1$: $L+L=1$, deci $L=\dfrac12$.
Verificare numerică: pentru $n=10^5$, $n\cdot I_n\approx0{,}499997\to \tfrac12$ ✓.

---

## Integrale recursive #12 — Legendar · 5 puncte

Fie $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx=\dfrac1{n+1}$. Valoarea $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(I_n\big)^{1/n}$ este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac1e$
C. $+\infty$
D. $1$

**Indiciu:** Scrie $(I_n)^{1/n}=e^{-\ln(n+1)/n}$ și folosește limita clasică $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n+1)}{n}=0$ — deși $I_n\to0$, rădăcina de ordin $n$ „domolește" descreșterea.

**Răspuns corect:** D. $1$

**Rezolvare**

$$\big(I_n\big)^{1/n}=\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n}=e^{-\frac{\ln(n+1)}{n}}.$$

Cum $\ln(n+1)$ crește mult mai lent decât $n$ (creștere logaritmică vs. liniară), avem $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n+1)}{n}=0$, deci exponentul tinde la $0$, iar

$$\lim_{n\to\infty}\big(I_n\big)^{1/n}=e^0=1.$$

Deși $I_n\to0$ (numărătorul „scade"), ridicarea la puterea $\dfrac1n\to0$ compensează exact această descreștere — un rezultat contraintuitiv (mulți ar ghici $0$, extrapolând naiv din $I_n\to0$).

Verificare numerică: pentru $n=100000$, $(I_n)^{1/n}\approx0{,}99988$, foarte aproape de $1$ (și crescând spre $1$ pe măsură ce $n$ crește, NU spre $0$). ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.