[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrale

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrale**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/integrale** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Integrale — clasa a 12-a

Clasa a 12-a · 104 exerciții cu integrale în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Integrale #1 — Începător · 5 puncte

$\displaystyle\int x^3 \, dx$ este egal cu:

A. $3x^2 + C$
B. $\dfrac{x^4}{3} + C$
C. $\dfrac{x^4}{4} + C$
D. $4x^4 + C$

**Indiciu:** Regula puterii: $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pentru $n \ne -1$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{x^4}{4} + C$

**Rezolvare**

$\int x^3 \, dx = \dfrac{x^4}{4} + C$.

---

## Integrale #2 — Începător · 5 puncte

$\displaystyle\int 5 \, dx$ este egal cu:

A. $0$
B. $5$
C. $5x + C$
D. $\dfrac{x^2}{5} + C$

**Răspuns corect:** C. $5x + C$

**Rezolvare**

$\int c \, dx = cx + C$. Deci $\int 5 \, dx = 5x + C$.

---

## Integrale #3 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x} \, dx$ (pentru $x > 0$) este egal cu:

A. $\dfrac{1}{x^2} + C$
B. $-\dfrac{1}{x^2} + C$
C. $\ln x + C$
D. $\dfrac{x^0}{0} + C$

**Răspuns corect:** C. $\ln x + C$

**Rezolvare**

$\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C$. Pentru $x > 0$: $\ln x + C$.

---

## Integrale #4 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int \cos x \, dx$ este egal cu:

A. $-\cos x + C$
B. $-\sin x + C$
C. $\sin x + C$
D. $\tg x + C$

**Răspuns corect:** C. $\sin x + C$

**Rezolvare**

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$.

---

## Integrale #5 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int x e^x \, dx$ este egal cu:

A. $\dfrac{x^2}{2}e^x + C$
B. $e^x + C$
C. $(x - 1)e^x + C$
D. $x e^x + C$

**Indiciu:** Integrare prin părți: $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

**Răspuns corect:** C. $(x - 1)e^x + C$

**Rezolvare**

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C$.

---

## Integrale #6 — Mediu · 5 puncte

$\displaystyle\int 2x \cdot \cos(x^2) \, dx$ este egal cu:

A. $\sin(2x) + C$
B. $2\sin(x^2) + C$
C. $\sin(x^2) + C$
D. $\cos(x^2) + C$

**Indiciu:** Substituiți $u = x^2$.

**Răspuns corect:** C. $\sin(x^2) + C$

**Rezolvare**

$u = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx$. Deci $\int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$.

---

## Integrale #7 — Avansat · 5 puncte

$\displaystyle\int x \cos x \, dx$ este egal cu:

A. $\dfrac{x^2}{2} \cos x + C$
B. $-x \sin x + \cos x + C$
C. $x \sin x + \cos x + C$
D. $\sin x - x \cos x + C$

**Indiciu:** Integrare prin părți: $u = x$, $dv = \cos x \, dx$.

**Răspuns corect:** C. $x \sin x + \cos x + C$

**Rezolvare**

$u = x$, $du = dx$, $v = \sin x$. $\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$.

---

## Integrale #8 — Avansat · 5 puncte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x(x + 1)} \, dx$ este egal cu:

A. $\ln|x(x + 1)| + C$
B. $\arctg x + C$
C. $\ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C$
D. $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1} + C$

**Indiciu:** Fracții parțiale: $\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$.

**Răspuns corect:** C. $\ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C$

**Rezolvare**

$\int \!\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right) dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln\!\left|\dfrac{x}{x + 1}\right| + C$.

---

## Integrale #9 — Avansat · 5 puncte

Calculati $\displaystyle\int_0^1 x e^x\, dx$.

A. $0$
B. $1$
C. $e - 1$
D. $e + 1$

**Indiciu:** Integrare prin parti cu $u = x$ si $dv = e^x\,dx$.

**Răspuns corect:** B. $1$

**Rezolvare**

$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x-1)e^x + C$. Calculand de la $0$ la $1$: $(0)\cdot e - (-1)\cdot 1 = 0 - (-1) = 1$.

---

## Integrale #10 — Expert · 5 puncte

Valoarea integralei $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^5 x}$ este egală cu:

A. $0$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{2}$
D. $\pi$

**Indiciu:** Notează $I$ integrala și aplică substituția $x\to\frac{\pi}{2}-x$, observând că $\tan\!\left(\frac\pi2-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}=\cot x$.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{\pi}{4}$

**Rezolvare**

Fie $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\tan^5x}$. Cu $x\to\frac\pi2-x$:
$$I=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cot^5x}=\int_0^{\pi/2}\frac{\tan^5x}{\tan^5x+1}\,dx.$$
Adunăm cele două forme ale lui $I$:
$$2I=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{1+\tan^5x}+\frac{\tan^5x}{1+\tan^5x}\right)dx=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2.$$
Deci $I=\dfrac\pi4$ — rezultatul e independent de exponentul $5$ (funcționează pentru orice putere reală pozitivă a lui $\tan x$).
Verificare: $2\cdot\pi/4=\pi/2$ ✓.

---

## Integrale #11 — Expert · 5 puncte

Valoarea integralei $\displaystyle\int_0^\pi e^x\sin x\,dx$ este:

A. $\dfrac{e^\pi-1}{2}$
B. $e^\pi$
C. $\dfrac{e^\pi+1}{2}$
D. $\dfrac{e^\pi}{2}$

**Indiciu:** Notează $I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ și aplică integrarea prin părți de două ori — vei obține o ecuație în $I$, nu o nouă integrală de rezolvat la infinit.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{e^\pi+1}{2}$

**Rezolvare**

Aplicând părțile de două ori (sau verificând direct prin derivare), o primitivă este
$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\big(\sin x-\cos x\big),$$
căci $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)\right]=\dfrac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac{e^x}{2}(\cos x+\sin x)=e^x\sin x$. ✓

Evaluăm între $0$ și $\pi$: la $x=\pi$: $\dfrac{e^\pi}{2}\big(0-(-1)\big)=\dfrac{e^\pi}{2}$; la $x=0$: $\dfrac12(0-1)=-\dfrac12$.

$$\int_0^\pi e^x\sin x\,dx = \frac{e^\pi}{2}-\left(-\frac12\right)=\frac{e^\pi+1}{2}.$$

---

## Integrale #12 — Expert · 5 puncte

Valoarea integralei $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$ este:

A. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $1$
C. $\dfrac{\pi}{8}$
D. $\dfrac{\pi}{4}$

**Indiciu:** Folosește substituția $x\to\dfrac{\pi}{2}-x$ pentru a obține o a doua scriere a aceleiași integrale (cu $\sin$ și $\cos$ schimbate între ele), apoi adună-le.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{\pi}{4}$

**Rezolvare**

Fie $I$ integrala dată. Cu substituția $x\to\dfrac{\pi}{2}-x$: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$, deci aceeași valoare $I$ se scrie și
$$I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx.$$

Adunând cele două scrieri ale lui $I$:
$$2I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}.$$

Deci $I=\dfrac{\pi}{4}$.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.