[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/legi-de-compozitie > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/legi-de-compozitie** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/legi-de-compozitie** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Legi de compoziție — clasa a 12-a Clasa a 12-a · 76 exerciții cu legi de compoziție în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Legi de compoziție #1 — Începător · 5 puncte O lege de compoziție pe o mulțime $M$ este o funcție: A. $M \to M$ B. $M \to M \times M$ C. $M \times M \to M$ D. $M \to \mathbb{R}$ **Răspuns corect:** C. $M \times M \to M$ **Rezolvare** O lege de compoziție asociază două elemente din $M$ pentru a produce un al treilea element din $M$: $* : M \times M \to M$. --- ## Legi de compoziție #2 — Începător · 5 puncte Pe $\mathbb{R}$, definim $x * y = x + y - 2$. Atunci $3 * 5$ este egal cu: A. $3$ B. $5$ C. $6$ D. $10$ **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** $3 * 5 = 3 + 5 - 2 = 6$. --- ## Legi de compoziție #3 — Mediu · 5 puncte Pentru operația $x * y = x + y - 3$ pe $\mathbb{R}$, elementul neutru este: A. $0$ B. $1$ C. $3$ D. $-3$ **Indiciu:** Rezolvați $x * e = x$ pentru elementul neutru $e$. **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** $x + e - 3 = x \Rightarrow e = 3$. --- ## Legi de compoziție #4 — Mediu · 5 puncte Pentru $x * y = x + y - 3$ pe $\mathbb{R}$ (cu elementul neutru $e = 3$), elementul simetric al lui $5$ este: A. $1$ B. $-5$ C. $-2$ D. $5$ **Indiciu:** Găsiți $y$ cu $5 * y = 3$. **Răspuns corect:** A. $1$ **Rezolvare** $5 + y - 3 = 3 \Rightarrow y = 1$. --- ## Legi de compoziție #5 — Mediu · 5 puncte Pe $\mathbb{R}$, operația $x * y = x + y - xy$ este: A. asociativă B. neasociativă C. comutativă dar neasociativă D. nici comutativă, nici asociativă **Indiciu:** Calculați $(x * y) * z$ și $x * (y * z)$ simbolic și comparați. **Răspuns corect:** A. asociativă **Rezolvare** $(x * y) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz$. Prin simetrie, $x * (y * z)$ dă aceeași expresie. Deci legea este asociativă. --- ## Legi de compoziție #6 — Mediu · 5 puncte Pe $\mathbb{C}$, definim $z_1 \circ z_2 = z_1 + z_2 - \dfrac{1}{2}\overline{z_1} - \dfrac{1}{2}\overline{z_2}$. Mulțimea $H = \{2 + bi \mid b \in \mathbb{R}\}$ este: A. stabilă față de $\circ$ B. nestabilă față de $\circ$ C. stabilă doar când $b = 0$ D. întotdeauna egală cu $\mathbb{C}$ **Indiciu:** Verificați dacă $z_1 \circ z_2 \in H$ pentru $z_1, z_2 \in H$. **Răspuns corect:** A. stabilă față de $\circ$ **Rezolvare** Pentru $z_1 = 2 + b_1 i$ și $z_2 = 2 + b_2 i$: $\overline{z_j} = 2 - b_j i$. Calculăm: $z_1 \circ z_2 = (2 + b_1 i) + (2 + b_2 i) - \dfrac{1}{2}(2 - b_1 i) - \dfrac{1}{2}(2 - b_2 i) = 4 + (b_1 + b_2)i - 2 + \dfrac{b_1 + b_2}{2} i = 2 + \dfrac{3(b_1 + b_2)}{2} i \in H$. Deci $H$ este stabilă. --- ## Legi de compoziție #7 — Avansat · 5 puncte Pe mulțimea putere $\mathcal{P}(X)$, diferența simetrică $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ are elementul neutru: A. $\emptyset$ B. $X$ C. $\{x\}$ pentru un $x \in X$ D. nu există element neutru **Indiciu:** Rezolvați $A \triangle E = A$. **Răspuns corect:** A. $\emptyset$ **Rezolvare** $A \triangle \emptyset = A$, deci $\emptyset$ este elementul neutru. --- ## Legi de compoziție #8 — Avansat · 5 puncte Pe $\mathcal{P}(X)$ cu diferența simetrică, elementul simetric al oricărei mulțimi $A$ este: A. $A$ însuși B. $X \setminus A$ C. $\emptyset$ D. $X$ **Indiciu:** $A \triangle A = \emptyset$ (elementul neutru). **Răspuns corect:** A. $A$ însuși **Rezolvare** Fiecare element este propriul său simetric: $A \triangle A = \emptyset$. --- ## Legi de compoziție #9 — Avansat · 5 puncte Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x*y=(x-a)(y-a)+a$, unde $a\in\mathbb{R}$ este un parametru. Știind că elementul neutru al legii este $e=5$, valoarea lui $a$ este: A. $5$ B. $6$ C. $3$ D. $4$ **Indiciu:** Pentru această familie de legi, elementul neutru este întotdeauna $e=a+1$. **Răspuns corect:** D. $4$ **Rezolvare** Elementul neutru $e$ verifică $(e-a)(x-a)+a=x$ pentru orice $x$, de unde $e-a=1$, adică $e=a+1$. Din $e=5$ rezultă $a=4$. Verificare: pentru $a=4$, legea este $(x-4)(y-4)+4$, iar $(5-4)(x-4)+4=x-4+4=x$, deci $5$ este într-adevăr elementul neutru. ✓ --- ## Legi de compoziție #10 — Expert · 5 puncte Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x*y=(x-1)(y-1)+1$. Pentru $x=4$, valoarea lui $x*x*x*x*x$ (compunerea lui $4$ cu el însuși, de $5$ ori) este: A. $82$ B. $243$ C. $244$ D. $16$ **Indiciu:** Arată prin inducție că, notând cu $x^{(n)}$ compunerea lui $x$ cu el însuși de $n$ ori, rezultatul este $x^{(n)}=1+(x-1)^n$. **Răspuns corect:** C. $244$ **Rezolvare** Verificăm inductiv: $x^{(2)}=(x-1)(x-1)+1=1+(x-1)^2$. Presupunând $x^{(k)}=1+(x-1)^k$, obținem $$x^{(k+1)}=\big(x^{(k)}-1\big)(x-1)+1=(x-1)^k(x-1)+1=1+(x-1)^{k+1}.$$ Deci $x^{(n)}=1+(x-1)^n$ pentru orice $n\ge1$. Pentru $x=4$, $n=5$: $$x^{(5)}=1+3^5=1+243=244.$$ Verificare: calcul direct pas cu pas — $4^{(2)}=(4-1)(4-1)+1=10$, $4^{(3)}=(10-1)(4-1)+1=28$, $4^{(4)}=(28-1)(4-1)+1=82$, $4^{(5)}=(82-1)(4-1)+1=244$ — coincide cu formula. ✓ --- ## Legi de compoziție #11 — Expert · 5 puncte Pe mulțimea $M=\{f_{a,b}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f_{a,b}(x)=ax+b,\ a\in\{1,-1\},\ b\in\{-2,-1,0,1,2\}\}$ se consideră operația de compunere a funcțiilor $\circ$. Se știe că $(M,\circ)$ este monoid necomutativ. Numărul elementelor idempotente ale lui $M$ (adică al funcțiilor $f$ cu $f\circ f=f$) este: A. $10$ B. $5$ C. $2$ D. $1$ **Indiciu:** Calculează $f_{a,b}\circ f_{a,b}(x)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$ și pune condiția ca aceasta să coincidă cu $ax+b$ pentru orice $x$. **Răspuns corect:** D. $1$ **Rezolvare** Condiția $f_{a,b}\circ f_{a,b}=f_{a,b}$ revine la sistemul $a^2=a$ și $ab+b=b$. Pentru $a=-1$: $a^2=1\ne a=-1$, deci nicio valoare a lui $b$ nu convine — ramura $a=-1$ nu produce idempotenți. Pentru $a=1$: $a^2=1=a$ ✓, iar $ab+b=b\Rightarrow b+b=b\Rightarrow b=0$. Singura funcție idempotentă este $f_{1,0}(x)=x$ (identitatea), cu $b=0\in\{-2,-1,0,1,2\}$. Numărul elementelor idempotente este $1$. Verificare: pentru $f_{1,0}$, $f_{1,0}\circ f_{1,0}(x)=x=f_{1,0}(x)$ ✓. Pentru orice altă funcție din $M$, de exemplu $f_{-1,2}(x)=-x+2$, avem $f_{-1,2}\circ f_{-1,2}(x)=-(-x+2)+2=x\ne-x+2=f_{-1,2}(x)$ (pentru $x$ generic), deci nu e idempotentă. ✓ --- ## Legi de compoziție #12 — Expert · 5 puncte Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x \ast y = (x-2)(y-2) + 2$. Simetricul elementului $x = 5$ față de legea $\ast$ este: A. $5/3$ B. $7/3$ C. $1/3$ D. $3$ **Indiciu:** Elementul neutru este $e=3$ (verifică $(x-2)(3-2)+2=x$). Simetricul $x'$ al lui $x$ verifică $(x-2)(x'-2)+2 = 3$, adică $(x-2)(x'-2)=1$. **Răspuns corect:** B. $7/3$ **Rezolvare** Determinăm întâi elementul neutru $e$: din $(x-2)(e-2)+2 = x$ pentru orice $x$, rezultă $e-2=1$, deci $e=3$. Simetricul $x'$ al lui $x=5$ verifică $x \ast x' = e$: $$(5-2)(x'-2) + 2 = 3 \implies 3(x'-2) = 1 \implies x' - 2 = \frac{1}{3}$$ $$x' = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ Verificare: $(5-2)\left(\frac{7}{3}-2\right)+2 = 3\cdot\frac{1}{3}+2 = 1+2 = 3 = e$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.