[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/monoizi-si-semigrupuri > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/monoizi-si-semigrupuri** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/monoizi-si-semigrupuri** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Semigrupuri și monoizi — clasa a 12-a Clasa a 12-a · 36 exerciții cu semigrupuri și monoizi în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Semigrupuri și monoizi #1 — Începător · 5 puncte Un semigrup este o mulțime nevidă cu o lege de compoziție care este: A. comutativă B. asociativă C. ambele D. niciuna **Răspuns corect:** B. asociativă **Rezolvare** Un semigrup este o mulțime cu o lege de compoziție asociativă. --- ## Semigrupuri și monoizi #2 — Începător · 5 puncte Un monoid este un semigrup care are în plus: A. inverse pentru orice element B. un element neutru C. comutativitate D. un element zero **Răspuns corect:** B. un element neutru **Rezolvare** Monoid = semigrup + element neutru. (Un grup adaugă axioma existenței elementului simetric.) --- ## Semigrupuri și monoizi #3 — Mediu · 5 puncte Mulțimea tuturor cuvintelor finite peste un alfabet $\Sigma$, cu operația de concatenare, este: A. un grup B. un monoid (monoid liber) C. un semigrup, dar nu un monoid D. nici măcar un semigrup **Indiciu:** Concatenarea este asociativă; cuvântul vid acționează ca element neutru. **Răspuns corect:** B. un monoid (monoid liber) **Rezolvare** Concatenarea este asociativă; cuvântul vid $\varepsilon$ este elementul neutru. Nu există inverse (nu se pot „șterge" litere), deci este un monoid (nu un grup). Este **monoidul liber** pe $\Sigma$. --- ## Semigrupuri și monoizi #4 — Mediu · 5 puncte $(M_n(\mathbb{R}), \cdot)$ — matricele pătrate față de înmulțire — este: A. un grup B. un monoid (dar nu un grup) C. un semigrup, dar nu un monoid D. neasociativ **Indiciu:** Elementul neutru este $I_n$. Dar matricea $0$ nu are inversă. **Răspuns corect:** B. un monoid (dar nu un grup) **Rezolvare** Înmulțirea matricelor este asociativă. Matricea unitate $I_n$ este elementul neutru. Dar matricea nulă nu are inversă, deci nu orice element este inversabil — este un monoid, nu un grup. --- ## Semigrupuri și monoizi #5 — Mediu · 5 puncte $((0, +\infty), \cdot)$ — numerele reale pozitive față de înmulțire — este: A. un grup B. un monoid, dar nu un grup C. un semigrup, dar nu un monoid D. neasociativ **Indiciu:** Elementul neutru este $1$; orice $x > 0$ are inversa $\dfrac{1}{x}$. **Răspuns corect:** A. un grup **Rezolvare** Asociativ ✓, element neutru $1$ ✓, orice element are inversă ✓. Deci este un grup (comutativ). --- ## Semigrupuri și monoizi #6 — Mediu · 5 puncte $(F(E), \circ)$ — toate funcțiile $f: E \to E$ față de compunere — este: A. un grup B. un monoid (dar nu un grup) C. un semigrup, dar nu un monoid D. neasociativ **Indiciu:** Elementul neutru este funcția identică $\operatorname{id}_E$. Dar nu orice funcție are inversă. **Răspuns corect:** B. un monoid (dar nu un grup) **Rezolvare** Compunerea este asociativă; $\operatorname{id}_E$ este elementul neutru. Numai funcțiile **bijective** au inverse; cele nebijective nu. Deci este un monoid, nu un grup. (Grupul este $S_E = $ bijecțiile.) --- ## Semigrupuri și monoizi #7 — Avansat · 5 puncte $(\mathbb{Z}, \cdot)$ — numerele întregi față de înmulțire — este: A. un grup B. un monoid (dar nu un grup) C. un semigrup, dar nu un monoid D. neasociativ **Indiciu:** Elementul neutru este $1$. Dar $2$ are inversă în $\mathbb{Z}$? **Răspuns corect:** B. un monoid (dar nu un grup) **Rezolvare** Asociativ ✓, element neutru $1$ ✓. Dar $2$ nu are inversă multiplicativă în $\mathbb{Z}$. Deci este un monoid, nu un grup. --- ## Semigrupuri și monoizi #8 — Avansat · 5 puncte Într-un monoid $(M, *)$ cu legea simplificării, dacă $a * b = a * c$, atunci: A. $b = e$ (elementul neutru) B. $a$ este inversabil C. $b = c$ D. $b * c = e$ **Răspuns corect:** C. $b = c$ **Rezolvare** Legea simplificării afirmă: $a * b = a * c \Rightarrow b = c$. (Chiar și fără existența inverselor, această proprietate poate sau nu poate fi satisfăcută; într-un grup, ea este întotdeauna satisfăcută.) --- ## Semigrupuri și monoizi #9 — Avansat · 5 puncte Pe $\mathbb{N}^*$ se definește legea $x*y=\gcd(x,y)$ (cel mai mare divizor comun); se poate arăta că este asociativă, deci $(\mathbb{N}^*,*)$ este semigrup comutativ. Câte elemente $e\in\{1,2,\dots,10\}$ verifică $x*e=x$ pentru TOȚI $x\in\{1,2,\dots,10\}$ simultan (adică ar putea fi element neutru, cel puțin pe acest subset)? A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $10$ **Indiciu:** Condiția $\gcd(x,e)=x$ revine la $x\mid e$. Pentru ca aceasta să fie adevărată simultan pentru toți $x\in\{1,\dots,10\}$, $e$ trebuie să fie multiplu comun al tuturor acestor numere. **Răspuns corect:** A. $0$ **Rezolvare** $\gcd(x,e)=x\Leftrightarrow x\mid e$. Pentru ca această condiție să se verifice SIMULTAN pentru toate valorile $x=1,2,\dots,10$, numărul $e$ trebuie să fie multiplu al fiecăruia dintre ele, deci multiplu al $\mathrm{cmmmc}(1,2,\dots,10)=2520$. Cum $e\in\{1,\dots,10\}$ și $2520>10$, nu există niciun $e$ din acest interval care să satisfacă toate cele $10$ condiții simultan. Verificare: pentru $e=10$ (candidatul cel mai mare), $\gcd(3,10)=1\ne3$ — deja eșuează la $x=3$. Pentru $e=1$, $\gcd(2,1)=1\ne2$ — eșuează la $x=2$. Niciun $e\in\{1,\dots,10\}$ nu funcționează pentru toți $x$: $(\mathbb{N}^*,\gcd)$ este semigrup, dar NU are element neutru (nu e monoid). Numărul căutat este $0$. ✓ --- ## Semigrupuri și monoizi #10 — Expert · 5 puncte Pe mulțimea $S=\left\{M_a=\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix} : a\in\mathbb{R}\right\}$, înmulțirea matricelor verifică identitatea $M_a\cdot M_b=M_b$ pentru orice $a,b\in\mathbb{R}$ (verificați prin calcul direct). Cum înmulțirea matricelor este asociativă, $(S,\cdot)$ este semigrup — dar fără element neutru (ar necesita $M_a\cdot M_e=M_a$ pentru orice $a$, dar $M_a\cdot M_e=M_e$ conform identității, ceea ce ar forța $M_e=M_a$ pentru TOȚI $a$, imposibil). Elementul de pe poziția $(1,2)$ al produsului $M_3\cdot M_7\cdot M_{-2}\cdot M_0\cdot M_4$ este: A. $3$ B. $7$ C. $-2$ D. $4$ **Indiciu:** Din identitatea $M_a\cdot M_b=M_b$, un produs de mai mulți factori colapsează direct la matricea corespunzătoare ULTIMULUI factor din lanț — fără a mai calcula produsele intermediare. **Răspuns corect:** D. $4$ **Rezolvare** Verificăm întâi identitatea generală: $M_a\cdot M_b=\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&b\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+a\cdot0&1\cdot b+a\cdot0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&b\\0&0\end{pmatrix}=M_b$ — confirmată. Aplicând repetat, de la stânga la dreapta: $M_3\cdot M_7=M_7$; $M_7\cdot M_{-2}=M_{-2}$; $M_{-2}\cdot M_0=M_0$; $M_0\cdot M_4=M_4$. Produsul final este $M_4=\begin{pmatrix}1&4\\0&0\end{pmatrix}$, deci elementul de pe poziția $(1,2)$ este $4$. Verificare prin calcul direct (fără truc): înmulțind cele $4$ matrice succesiv, matricea rezultat are mereu forma $\begin{pmatrix}1&*\\0&0\end{pmatrix}$ cu $*$ egal cu parametrul ultimului factor înmulțit — la final, $4$. ✓ --- ## Semigrupuri și monoizi #11 — Expert · 5 puncte Pe $\mathbb{Z}$ se definește legea de compoziție $x*y=x+y-xy$. Se știe că $(\mathbb{Z},*)$ este monoid, cu elementul neutru $e=0$. Câte elemente ale lui $\mathbb{Z}$ sunt inversabile în acest monoid? A. $1$ B. o infinitate C. $2$ D. $3$ **Indiciu:** Notează $t(x)=1-x$ și observă că $t(x*y)=t(x)\cdot t(y)$ — legea $*$ este „copia" înmulțirii uzuale prin această substituție. Elementele inversabile ale lui $(\mathbb{Z},\cdot)$ sunt doar $\pm1$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** Fie $t(x)=1-x$. Atunci $$t(x*y)=1-(x+y-xy)=1-x-y+xy=(1-x)(1-y)=t(x)\cdot t(y).$$ Cum $t:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ este bijectivă, $t$ este un izomorfism între $(\mathbb{Z},*)$ și $(\mathbb{Z},\cdot)$. Elementele inversabile ale lui $(\mathbb{Z},\cdot)$ sunt exact $\{1,-1\}$, deci elementele inversabile ale lui $(\mathbb{Z},*)$ sunt cele cu $t(x)\in\{1,-1\}$: $t(x)=1\Rightarrow x=0$; $t(x)=-1\Rightarrow x=2$. Sunt exact $2$ elemente inversabile: $\{0,2\}$. Verificare directă: $0*0=0+0-0=0=e$ ✓ (neutrul e propriul invers). $2*2=2+2-4=0=e$ ✓, deci $2$ e inversabil. Pentru $x=3$: căutăm $x'$ cu $3+x'-3x'=0\Rightarrow-2x'=-3\Rightarrow x'=\tfrac32\notin\mathbb{Z}$ — nu e inversabil, confirmând că nu mai există alte valori. ✓ --- ## Semigrupuri și monoizi #12 — Legendar · 5 puncte Pe o mulțime cu $2$ elemente, $\{0,1\}$, o lege de compoziție este determinată complet de cele $4$ valori $0*0,\,0*1,\,1*0,\,1*1\in\{0,1\}$ — deci există $2^4=16$ legi de compoziție posibile pe $\{0,1\}$. Câte dintre aceste $16$ legi sunt asociative (deci determină o structură de semigrup pe $\{0,1\}$)? A. $4$ B. $8$ C. $12$ D. $16$ **Indiciu:** Nu presupune un tipar — pentru fiecare din cele $16$ table posibile, verifică direct $(x*y)*z=x*(y*z)$ pentru toate cele $8$ triplete $(x,y,z)\in\{0,1\}^3$. **Răspuns corect:** B. $8$ **Rezolvare** Enumerăm exhaustiv (brute-force) toate cele $16$ legi și testăm asociativitatea pe toate cele $8$ triplete posibile. Exact $8$ dintre cele $16$ legi sunt asociative: - legile constante $x*y=0$ și $x*y=1$; - proiecțiile $x*y=x$ (stânga) și $x*y=y$ (dreapta); - „ȘI" logic ($x*y=1$ doar dacă $x=y=1$) și „SAU" logic ($x*y=0$ doar dacă $x=y=0$); - „XOR" ($x*y=1$ exact când $x\ne y$) și „echivalența" / XNOR ($x*y=1$ exact când $x=y$). Verificare (exemplu pentru XOR, notat $\oplus$): $(x\oplus y)\oplus z$ și $x\oplus(y\oplus z)$ dau ambele $1$ exact când numărul de $1$-uri dintre $x,y,z$ este impar — coincid pentru toate cele $8$ triplete. Verificare (exemplu pentru proiecția $x*y=x$): $(x*y)*z=x$ și $x*(y*z)=x$ — coincid trivial. Celelalte $8$ legi (de exemplu cea cu $0*0=1,0*1=1,1*0=0,1*1=0$) eșuează la cel puțin un triplet — de exemplu pentru legea menționată, $(0*1)*0=1*0=0$, dar $0*(1*0)=0*0=1\ne0$. Numărul legilor asociative pe $\{0,1\}$ este $8$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.