[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/morfisme

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/morfisme**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/morfisme** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Morfisme — clasa a 12-a

Clasa a 12-a · 37 exerciții cu morfisme în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Morfisme #1 — Începător · 5 puncte

Un morfism de grupuri $\varphi: (G, \cdot) \to (H, *)$ este o funcție astfel încât pentru orice $a, b \in G$:

A. $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$
B. $\varphi(ab) = a * b$
C. $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)$
D. $\varphi$ este bijectivă

**Răspuns corect:** C. $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)$

**Rezolvare**

Un morfism păstrează operația: $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)$.

---

## Morfisme #2 — Începător · 5 puncte

Un izomorfism este un morfism care este:

A. doar injectiv
B. doar surjectiv
C. bijectiv
D. are nucleu trivial

**Răspuns corect:** C. bijectiv

**Rezolvare**

Un izomorfism este un morfism bijectiv. (Echivalent, un morfism a cărui inversă este de asemenea un morfism.)

---

## Morfisme #3 — Mediu · 5 puncte

Pentru un morfism de grupuri $\varphi: G \to H$ și $a \in G$:

A. $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)$
B. $\varphi(a^{-1}) = e$
C. $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$
D. $\varphi(a^{-1}) = -\varphi(a)$

**Răspuns corect:** C. $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$

**Rezolvare**

Aplicăm $\varphi$ la $a \cdot a^{-1} = e$: $\varphi(a)\varphi(a^{-1}) = e_H$, deci $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$.

---

## Morfisme #4 — Mediu · 5 puncte

Aplicația $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +)$ definită prin $\varphi(k) = \hat{k}$ este:

A. nu este morfism
B. un morfism, injectiv, nesurjectiv
C. un morfism surjectiv (neinjectiv)
D. un izomorfism

**Indiciu:** Verificați: este aplicația surjectivă? Sunt numerele întregi distincte trimise întotdeauna în clase de resturi distincte?

**Răspuns corect:** C. un morfism surjectiv (neinjectiv)

**Rezolvare**

$\varphi$ este surjectivă (orice $\hat{k}$ are $k$ ca preimage) și morfism. Dar $\varphi(0) = \varphi(n) = \hat{0}$, deci nu este injectivă.

---

## Morfisme #5 — Mediu · 5 puncte

Nucleul unui morfism de grupuri $\varphi: G \to H$ este:

A. $\{a \in G \mid \varphi(a) = a\}$
B. $\{\varphi(a) \mid a \in G\}$
C. $\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}$
D. $\{a \in G \mid a = e_G\}$

**Răspuns corect:** C. $\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}$

**Rezolvare**

$\ker \varphi = \varphi^{-1}(\{e_H\}) = \{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}$.

---

## Morfisme #6 — Mediu · 5 puncte

Un morfism de grupuri $\varphi$ este injectiv dacă și numai dacă:

A. $\ker\varphi = G$
B. $\varphi$ este surjectiv
C. $\ker\varphi = \{e_G\}$
D. $|G| = |H|$

**Răspuns corect:** C. $\ker\varphi = \{e_G\}$

**Rezolvare**

Un morfism este injectiv dacă și numai dacă nucleul său este trivial.

---

## Morfisme #7 — Avansat · 5 puncte

Aplicația $\varphi: (\mathbb{R}, +) \to ((0, \infty), \cdot)$ definită prin $\varphi(x) = e^x$ este:

A. nu este morfism
B. un morfism neinjectiv
C. injectiv dar nesurjectiv
D. un izomorfism

**Indiciu:** Verificați: $\varphi(a + b) = \varphi(a)\varphi(b)$? Bijectiv pe $(0, \infty)$?

**Răspuns corect:** D. un izomorfism

**Rezolvare**

$e^{a + b} = e^a e^b$ ✓ (morfism). $e^x$ este strict crescătoare (injectivă) și surjectivă pe $(0, \infty)$. Deci este un izomorfism. (Inversa: $\ln$.)

---

## Morfisme #8 — Avansat · 5 puncte

Un morfism de inele $\varphi: R \to S$ trebuie să satisfacă:

A. doar $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$
B. doar $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
C. atât $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$, cât și $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
D. $\varphi$ este bijectivă

**Răspuns corect:** C. atât $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$, cât și $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$

**Rezolvare**

Un morfism de inele păstrează ambele operații: adunarea ȘI înmulțirea.

---

## Morfisme #9 — Avansat · 5 puncte

Fie $f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z}_{12},+)$, $f(x)=\widehat{4x}$ (clasa lui $4x$ modulo $12$). Numărul elementelor mulțimii $\{0,1,2,\dots,11\}$ care aparțin nucleului lui $f$ este:

A. $3$
B. $1$
C. $12$
D. $4$

**Indiciu:** Nucleul conține valorile $x$ pentru care $4x\equiv0\pmod{12}$; împarte congruența prin $\gcd(4,12)$ ca să obții o condiție mai simplă asupra lui $x$.

**Răspuns corect:** D. $4$

**Rezolvare**

$4x\equiv0\pmod{12}\ \Leftrightarrow\ x\equiv0\pmod3$ (deoarece $12/\gcd(4,12)=12/4=3$).

În $\{0,1,\dots,11\}$, multiplii lui $3$ sunt $0,3,6,9$ — deci $4$ elemente.

Verificare: $4\cdot0=0$, $4\cdot3=12\equiv0$, $4\cdot6=24\equiv0$, $4\cdot9=36\equiv0\pmod{12}$; în schimb, de exemplu, $4\cdot1=4\not\equiv0$. ✓

---

## Morfisme #10 — Expert · 5 puncte

Dacă două grupuri finite sunt izomorfe, atunci ele au în mod obligatoriu:

A. același număr de elemente
B. aceleași elemente
C. aceeași lege de compoziție
D. aceeași mulțime suport

**Indiciu:** Izomorfismul este o **bijecție** — ce păstrează orice bijecție?

**Răspuns corect:** A. același număr de elemente

**Rezolvare**

Un izomorfism este bijectiv, deci cele două grupuri au **același ordin** (același număr de elemente). ✓

Ele pot avea însă elemente și legi complet diferite — de exemplu $\left(\mathbb Z_4,+\right)$ și grupul $\left\{1,i,-1,-i\right\}$ cu înmulțirea numerelor complexe sunt izomorfe, deși elementele nu seamănă deloc.

(Egalitatea ordinelor este necesară, dar **nu** suficientă: $\mathbb Z_4$ și grupul lui Klein au ambele $4$ elemente, dar nu sunt izomorfe.)

---

## Morfisme #11 — Expert · 5 puncte

Fie morfismele $f_c:(\mathbb{Z}_7,+)\to(\mathbb{Z}_7,+)$, $f_c(x)=\widehat{cx}$, unde $c\in\{0,1,\dots,6\}$. Numărul valorilor lui $c$ pentru care $f_c$ este injectiv este:

A. $7$
B. $1$
C. $3$
D. $6$

**Indiciu:** $f_c$ este injectiv dacă și numai dacă nucleul său este trivial, adică $c$ este inversabil în $\mathbb{Z}_7$. Cum $7$ este prim, care valori ale lui $c$ sunt inversabile?

**Răspuns corect:** D. $6$

**Rezolvare**

$f_c$ este injectiv $\Leftrightarrow\ker f_c=\{\hat0\}\Leftrightarrow$ ecuația $cx\equiv0\pmod7$ are doar soluția $x=0\Leftrightarrow\gcd(c,7)=1$ (adică $c$ inversabil modulo $7$).

Cum $7$ este prim, toate valorile $c\in\{1,2,3,4,5,6\}$ sunt inversabile (coprime cu $7$); doar $c=0$ dă morfismul nul, care nu e injectiv (are nucleu $\mathbb{Z}_7$ întreg). Deci există $6$ valori ale lui $c$ pentru care $f_c$ e injectiv.

Verificare directă: pentru $c=2$, imaginile $\{2\cdot0,\dots,2\cdot6\}\bmod7=\{0,2,4,6,1,3,5\}$ — toate cele $7$ valori distincte, deci injectiv; pentru $c=0$, toate imaginile sunt $0$ — nu e injectiv. ✓

---

## Morfisme #12 — Legendar · 5 puncte

Numărul morfismelor INJECTIVE $f:(\mathbb{Z}_8,+)\to(\mathbb{Z}_{24},+)$ este:

A. $4$
B. $8$
C. $1$
D. $2$

**Indiciu:** Există $\gcd(8,24)=8$ morfisme în total, fiecare determinat de $c=f(\hat1)$ cu $8c\equiv0\pmod{24}$. Un morfism e injectiv exact atunci când $c$ are ordinul $8$ în $(\mathbb{Z}_{24},+)$ (același ordin ca $\hat1$ în $\mathbb{Z}_8$) — numărul unor astfel de $c$ este $\varphi(8)$.

**Răspuns corect:** A. $4$

**Rezolvare**

**Pasul 1 — toate morfismele.** $f_c(x)=\widehat{cx}$ e bine definit dacă $8c\equiv0\pmod{24}$, adică (împărțind prin $\gcd(8,24)=8$) $c\equiv0\pmod3$. Valorile posibile: $c\in\{0,3,6,9,12,15,18,21\}$ — $8$ morfisme, confirmând $\gcd(8,24)=8$.

**Pasul 2 — care sunt injective.** $f_c$ e injectiv pe $\mathbb{Z}_8$ dacă și numai dacă $c,2c,\dots,7c$ sunt toate nenule modulo $24$, adică ordinul lui $c$ în $(\mathbb{Z}_{24},+)$ este exact $8$ (la fel ca ordinul lui $\hat1$ în $\mathbb{Z}_8$). Ordinul lui $c$ este $24/\gcd(c,24)$; cerem $24/\gcd(c,24)=8\Leftrightarrow\gcd(c,24)=3$.

Verificăm cele $8$ valori: $\gcd(3,24)=3$✓, $\gcd(6,24)=6$✗, $\gcd(9,24)=3$✓, $\gcd(12,24)=12$✗, $\gcd(15,24)=3$✓, $\gcd(18,24)=6$✗, $\gcd(21,24)=3$✓, $\gcd(0,24)=24$✗.

Rămân $c\in\{3,9,15,21\}$ — exact $4$ valori, iar $\varphi(8)=4$ confirmă rezultatul (numărul generatorilor unicului subgrup de ordin $8$ al lui $\mathbb{Z}_{24}$). ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.