[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/volume-de-rotatie

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/volume-de-rotatie**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-12/volume-de-rotatie** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Volumul corpurilor de rotație — clasa a 12-a

Clasa a 12-a · 59 exerciții cu volumul corpurilor de rotație în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Volumul corpurilor de rotație #1 — Începător · 5 puncte

Volumul solidului generat prin rotirea graficului $f(x) \ge 0$ pe $[a, b]$ în jurul axei $Ox$ este:

A. $\pi \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$
B. $\displaystyle\int_a^b f(x)^2 \, dx$
C. $\pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx$
D. $2\pi \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$

**Indiciu:** Metoda discului: fiecare secțiune transversală este un disc de rază $f(x)$.

**Răspuns corect:** C. $\pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

**Rezolvare**

$V = \pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx$ — formula metodei discului.

---

## Volumul corpurilor de rotație #2 — Începător · 5 puncte

Volumul generat prin rotirea lui $f(x) = 2$ pe $[0, 5]$ în jurul axei $Ox$ este:

A. $5\pi$
B. $10\pi$
C. $20\pi$
D. $40\pi$

**Indiciu:** Acesta este un simplu cilindru: $V = \pi r^2 h$.

**Răspuns corect:** C. $20\pi$

**Rezolvare**

Cilindru de rază $2$ și înălțime $5$: $V = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$.

---

## Volumul corpurilor de rotație #3 — Mediu · 5 puncte

Volumul generat prin rotirea lui $f(x) = \sqrt{x}$ pe $[0, 4]$ în jurul axei $Ox$ este:

A. $4\pi$
B. $8\pi$
C. $12\pi$
D. $16\pi$

**Răspuns corect:** B. $8\pi$

**Rezolvare**

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi$.

---

## Volumul corpurilor de rotație #4 — Mediu · 5 puncte

Rotirea lui $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ pe $[-R, R]$ în jurul axei $Ox$ generează un:

A. con
B. cilindru
C. sferă de rază $R$
D. elipsoid

**Indiciu:** Graficul este semicercul superior al cercului $x^2 + y^2 = R^2$.

**Răspuns corect:** C. sferă de rază $R$

**Rezolvare**

Graficul este un semicerc; rotirea în jurul axei $Ox$ generează o sferă de rază $R$. (Volumul $= \dfrac{4}{3}\pi R^3$.)

---

## Volumul corpurilor de rotație #5 — Mediu · 5 puncte

Volumul generat prin rotirea lui $f(x) = x^2$ pe $[0, 1]$ în jurul axei $Ox$ este:

A. $\pi$
B. $\dfrac{\pi}{3}$
C. $\dfrac{\pi}{5}$
D. $\dfrac{\pi}{7}$

**Indiciu:** $\int_0^1 (x^2)^2 \, dx = \int_0^1 x^4 \, dx$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\pi}{5}$

**Rezolvare**

$V = \pi \int_0^1 x^4 \, dx = \pi \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{\pi}{5}$.

---

## Volumul corpurilor de rotație #6 — Mediu · 5 puncte

Volumul generat prin rotirea lui $f(x) = e^x$ pe $[0, 1]$ în jurul axei $Ox$ este:

A. $\pi(e - 1)$
B. $\pi e$
C. $\dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)$
D. $\pi e^2$

**Indiciu:** $\int_0^1 e^{2x} \, dx$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)$

**Rezolvare**

$V = \pi \int_0^1 (e^x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 e^{2x} \, dx = \pi \cdot \dfrac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1 = \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)$.

---

## Volumul corpurilor de rotație #7 — Avansat · 5 puncte

Volumul solidului generat prin rotirea regiunii cuprinse între $y = x$ și $y = x^2$ pe $[0, 1]$ în jurul axei $Ox$ este egal cu:

A. $\pi/30$
B. $\pi/15$
C. $2\pi/15$
D. $\pi/3$

**Indiciu:** $V = \pi\int_0^1 \!\left[(x)^2 - (x^2)^2\right] dx$ — exterior minus interior.

**Răspuns corect:** C. $2\pi/15$

**Rezolvare**

$V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx = \pi\!\left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\!\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{15}$.

---

## Volumul corpurilor de rotație #8 — Avansat · 5 puncte

Rotirea lui $y = 2x + 1$ pe $[0, 2]$ în jurul axei $Ox$ generează un trunchi de con cu volumul:

A. $5\pi$
B. $14\pi$
C. $\dfrac{62\pi}{3}$
D. $\dfrac{62}{3}$

**Indiciu:** $V = \pi \int_0^2 (2x + 1)^2 \, dx$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{62\pi}{3}$

**Rezolvare**

$V = \pi \int_0^2 (4x^2 + 4x + 1) \, dx = \pi\!\left[\dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x\right]_0^2 = \pi\!\left(\dfrac{32}{3} + 8 + 2\right) = \pi \cdot \dfrac{32 + 30}{3} = \dfrac{62\pi}{3}$.

---

## Volumul corpurilor de rotație #9 — Avansat · 5 puncte

Regiunea cuprinsă între graficele $y=x$ și $y=x^2$, pentru $x\in[0,1]$, se rotește în jurul axei $Ox$. Volumul corpului obținut este egal cu:

A. $\dfrac{2\pi}{15}$
B. $\dfrac{\pi}{5}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{2}{15}$

**Indiciu:** Metoda discului cu gol ("washer"): $V=\pi\displaystyle\int_a^b\big[R(x)^2-r(x)^2\big]dx$, unde $R$ este raza exterioară (funcția mai mare) și $r$ raza interioară.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{2\pi}{15}$

**Rezolvare**

Pe $[0,1]$, $x\ge x^2$, deci raza exterioară este $x$, iar cea interioară $x^2$.
$$V=\pi\int_0^1\big(x^2-x^4\big)\,dx=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{2\pi}{15}.$$
Verificare: $1/3-1/5=(5-3)/15=2/15$ ✓.

---

## Volumul corpurilor de rotație #10 — Expert · 5 puncte

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a regiunii mărginite de graficele funcțiilor $y=x$ și $y=x^{2}$ este:

A. $\dfrac{\pi}{30}$
B. $\dfrac{\pi}{6}$
C. $\dfrac{2\pi}{15}$
D. $\dfrac{\pi}{15}$

**Indiciu:** Regiunea generează un corp „cu gol" în interior: $V=\pi\displaystyle\int_a^b\left(f^2-g^2\right)dx$ — se scad **pătratele**, nu se ridică diferența la pătrat.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{2\pi}{15}$

**Rezolvare**

Curbele se intersectează în $x=0$ și $x=1$, iar pe $(0,1)$ avem $x>x^2$.

Rotind regiunea dintre ele, secțiunea perpendiculară pe $Ox$ este un **inel** de rază exterioară $x$ și rază interioară $x^2$, deci
$$V=\pi\int_0^1\left(x^2-x^4\right)dx=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{2}{15}=\frac{2\pi}{15}.$$

Observație critică: $\pi\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)^2dx=\frac{\pi}{30}$ — **greșit**, fiindcă aria unui inel este $\pi\left(R^2-r^2\right)$, nu $\pi(R-r)^2$. ✓

---

## Volumul corpurilor de rotație #11 — Expert · 5 puncte

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,1]\to\mathbb R$, $f(x)=e^{-x}$, este:

A. $\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}$
B. $\pi\left(1-e^{-1}\right)$
C. $\pi\left(1-e^{-2}\right)$
D. $\dfrac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{2}$

**Indiciu:** $f^2(x)=e^{-2x}$, a cărui primitivă este $-\dfrac{e^{-2x}}{2}$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}$

**Rezolvare**

$$V=\pi\int_0^1 e^{-2x}dx=\pi\left.\left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right)\right|_0^1=\pi\left(-\frac{e^{-2}}{2}+\frac12\right)=\frac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}.$$

Numeric: $\approx\dfrac{\pi\cdot 0{,}8647}{2}\approx 1{,}358$.

Observație: ridicarea la pătrat dublează exponentul ($e^{-2x}$), iar integrarea introduce factorul $\dfrac12$ — ambele sunt ușor de ratat. ✓

---

## Volumul corpurilor de rotație #12 — Legendar · 5 puncte

Fie $f(x)=\sqrt{x}$ și $t(x)$ tangenta la graficul lui $f$ în punctul $x=1$. Regiunea dintre graficul lui $f$ și dreapta $t$, pentru $x\in[0,4]$, se rotește în jurul axei $Ox$. Volumul solidului obținut este:

A. $\dfrac{7\pi}{12}$
B. $\dfrac{7\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{7\pi}{3}$

**Indiciu:** Tangenta este $t(x)=\dfrac{x+1}{2}$. Observă că $t(x)-f(x)=\dfrac{(\sqrt x-1)^2}{2}$ și $t(x)+f(x)=\dfrac{(\sqrt x+1)^2}{2}$, deci $t^2-f^2$ se simplifică drastic.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{7\pi}{3}$

**Rezolvare**

Din $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$, deci $f'(1)=\dfrac12$ și tangenta în $x=1$ este $t(x)=1+\dfrac12(x-1)=\dfrac{x+1}{2}$.

Cum $f$ este concavă, $t(x)\ge f(x)\ge0$ pe $[0,4]$ (ambele nenegative), iar raza exterioară a coroanei este $t$, cea interioară este $f$.

**Recunoaștere:** $t(x)-f(x)=\dfrac{x+1}{2}-\sqrt{x}=\dfrac{(\sqrt x-1)^2}{2}$ și $t(x)+f(x)=\dfrac{x+1}{2}+\sqrt{x}=\dfrac{(\sqrt x+1)^2}{2}$, deci
$$t^2-f^2 = \big(t-f\big)\big(t+f\big) = \frac{(\sqrt x-1)^2(\sqrt x+1)^2}{4} = \frac{\big((\sqrt x)^2-1\big)^2}{4}=\frac{(x-1)^2}{4}.$$

Integrala se reduce enorm:
$$V = \pi\int_0^4 \frac{(x-1)^2}{4}\,dx = \frac{\pi}{4}\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^4 = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{27-(-1)}{3}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{28}{3}=\frac{7\pi}{3}.$$

Verificare directă (fără trucul de recunoaștere): $\pi\int_0^4\left[\left(\frac{x+1}{2}\right)^2-x\right]dx=\pi\left[\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{4}\right]_0^4=\pi\left(\frac{64}{12}-4+1\right)=\pi\left(\frac{16}{3}-3\right)=\frac{7\pi}{3}$ ✓.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.