[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-6/triunghiuri > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-6/triunghiuri** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-6/triunghiuri** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Triunghiuri — clasa a 6-a Clasa a 6-a · 16 exerciții cu triunghiuri în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională. ## Triunghiuri #1 — Începător · 5 puncte Într-un triunghi, două unghiuri au măsurile $55^\circ$ și $65^\circ$. Al treilea unghi are măsura: A. $70^\circ$ B. $120^\circ$ C. $60^\circ$ D. $55^\circ$ **Indiciu:** Suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este $180^\circ$. **Răspuns corect:** C. $60^\circ$ **Rezolvare** $$180^\circ-55^\circ-65^\circ=60^\circ.$$ ✓ (Capcana $120^\circ$ este chiar suma celor două unghiuri date, nu al treilea unghi.) --- ## Triunghiuri #2 — Mediu · 5 puncte Există un triunghi cu unghiurile de $60^\circ$, $70^\circ$ și $60^\circ$? A. nu, fiindcă suma nu este $180^\circ$ B. da, este isoscel C. da, este echilateral D. nu, fiindcă un triunghi nu poate avea două unghiuri egale **Indiciu:** Adună cele trei măsuri. **Răspuns corect:** A. nu, fiindcă suma nu este $180^\circ$ **Rezolvare** $$60^\circ+70^\circ+60^\circ=190^\circ\ne 180^\circ,$$ deci un astfel de triunghi **nu există**. ✓ (Un triunghi poate avea două unghiuri egale — atunci este isoscel — deci ultima variantă este falsă din alt motiv.) --- ## Triunghiuri #3 — Mediu · 5 puncte În triunghiurile $ABC$ și $DEF$ se știe că $AB=DE$, $AC=DF$ și $\widehat{A}\equiv\widehat{D}$. Triunghiurile sunt congruente conform cazului: A. U.L.U. B. L.U.L. C. L.L.L. D. nu se poate decide **Indiciu:** Uită-te unde se află unghiul: este **cuprins** între cele două laturi date, sau alăturat uneia singure? **Răspuns corect:** B. L.U.L. **Rezolvare** Laturile date sunt $AB$ și $AC$, iar unghiul $\widehat A$ este chiar unghiul **cuprins** între ele (la fel în al doilea triunghi: $DE$, $DF$ și $\widehat D$). Acesta este exact cazul **latură–unghi–latură (L.U.L.)**. ✓ (U.L.U. ar cere o latură și cele două unghiuri **alăturate** ei.) --- ## Triunghiuri #4 — Mediu · 5 puncte Se știe că $\triangle ABC\equiv\triangle MNP$, cu $AB=7$ cm, $BC=9$ cm și $CA=5$ cm. Atunci lungimea lui $NP$ este: A. $7$ cm B. $5$ cm C. $9$ cm D. $21$ cm **Indiciu:** Ordinea literelor din scrierea congruenței dă corespondența: $A\to M$, $B\to N$, $C\to P$. **Răspuns corect:** C. $9$ cm **Rezolvare** Din $\triangle ABC\equiv\triangle MNP$ rezultă corespondența vârfurilor $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$, deci laturile corespondente sunt $$AB\leftrightarrow MN,\quad BC\leftrightarrow NP,\quad CA\leftrightarrow PM.$$ Prin urmare $NP=BC=9$ cm. ✓ --- ## Triunghiuri #5 — Mediu · 5 puncte Se știe că $\triangle ABC\equiv\triangle DEF$, iar în triunghiul $ABC$ avem $\widehat{A}=50^\circ$ și $\widehat{B}=60^\circ$. Măsura unghiului $\widehat{F}$ este: A. $60^\circ$ B. $50^\circ$ C. $70^\circ$ D. $120^\circ$ **Indiciu:** Află întâi $\widehat C$ din suma unghiurilor, apoi folosește corespondența $C\leftrightarrow F$. **Răspuns corect:** C. $70^\circ$ **Rezolvare** În triunghiul $ABC$: $$\widehat C=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ.$$ Din $\triangle ABC\equiv\triangle DEF$ avem $\widehat C\equiv\widehat F$, deci $$\widehat F=70^\circ.$$ ✓ --- ## Triunghiuri #6 — Mediu · 5 puncte Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu: A. piciorul perpendicularei duse din acel vârf B. mijlocul unei laturi alăturate C. un punct oarecare al laturii opuse D. mijlocul laturii opuse **Indiciu:** „Mediană" vine de la „mijloc" — ce mijloc anume? **Răspuns corect:** D. mijlocul laturii opuse **Rezolvare** Mediana unește un vârf cu **mijlocul laturii opuse** acelui vârf. ✓ A nu se confunda cu: - **înălțimea** — de la vârf, perpendiculară pe latura opusă; - **bisectoarea** — semidreapta care împarte unghiul din vârf în două unghiuri congruente. --- ## Triunghiuri #7 — Mediu · 5 puncte În triunghiul $ABC$, $[AM]$ este mediană și $AM=12$ cm. Dacă $G$ este centrul de greutate, atunci $AG$ este: A. $4$ cm B. $6$ cm C. $9$ cm D. $8$ cm **Indiciu:** Centrul de greutate se află pe mediană, la $\dfrac23$ din ea **măsurați dinspre vârf**. **Răspuns corect:** D. $8$ cm **Rezolvare** Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, partea mai lungă fiind cea dinspre vârf: $$AG=\frac23\cdot AM=\frac23\cdot 12=8\ \text{cm}.$$ ✓ (Atunci $GM=12-8=4$ cm — de aici capcana: $4$ cm este $GM$, nu $AG$.) --- ## Triunghiuri #8 — Avansat · 5 puncte Două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele congruente și câte o catetă congruentă. Ele sunt congruente conform cazului: A. L.U.L. B. U.L.U. C. I.C. (ipotenuză–catetă) D. nu sunt neapărat congruente **Indiciu:** Este cazul special de congruență al triunghiurilor dreptunghice. **Răspuns corect:** C. I.C. (ipotenuză–catetă) **Rezolvare** Este cazul **I.C. (ipotenuză–catetă)**. ✓ Justificare: din teorema lui Pitagora, a doua catetă se determină unic din ipotenuză și prima catetă, deci triunghiurile au toate laturile congruente (cazul L.L.L.). --- ## Triunghiuri #9 — Avansat · 5 puncte Într-un triunghi obtuzunghic, piciorul înălțimii duse din vârful unui unghi ascuțit se află: A. pe prelungirea laturii opuse B. întotdeauna pe latura opusă C. în interiorul triunghiului D. în vârful unghiului obtuz **Indiciu:** Desenează un triunghi cu un unghi foarte mare și încearcă să cobori perpendiculara dintr-un vârf „ascuțit". **Răspuns corect:** A. pe prelungirea laturii opuse **Rezolvare** Într-un triunghi obtuzunghic, înălțimile duse din vârfurile unghiurilor **ascuțite** cad pe **prelungirile** laturilor opuse, în afara triunghiului. ✓ Doar înălțimea din vârful unghiului obtuz cade pe latura opusă. De aceea ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se află **în exteriorul** triunghiului. --- ## Triunghiuri #10 — Avansat · 5 puncte Suma măsurilor celor trei unghiuri exterioare ale unui triunghi (câte unul la fiecare vârf) este: A. $180^\circ$ B. $540^\circ$ C. $360^\circ$ D. depinde de triunghi **Indiciu:** Fiecare unghi exterior este suplementul celui interior corespunzător. **Răspuns corect:** C. $360^\circ$ **Rezolvare** Fiecare unghi exterior este suplementul celui interior, deci suma celor trei exterioare este $$3\cdot 180^\circ-(\text{suma interioarelor})=540^\circ-180^\circ=360^\circ.$$ ✓ Rezultatul este valabil pentru **orice** poligon convex: suma unghiurilor exterioare este întotdeauna $360^\circ$. --- ## Triunghiuri #11 — Avansat · 5 puncte Într-un triunghi $ABC$ se știe că $\widehat A=80^\circ$ și $\widehat B=60^\circ$. Cea mai lungă latură este: A. $AB$ B. toate sunt egale C. $AC$ D. $BC$ **Indiciu:** Laturii mai mari i se opune unghiul mai mare; identifică întâi unghiul cel mai mare. **Răspuns corect:** D. $BC$ **Rezolvare** $$\widehat C=180^\circ-80^\circ-60^\circ=40^\circ.$$ Cel mai mare unghi este $\widehat A=80^\circ$, iar latura opusă lui este $BC$. ✓ Ordinea completă: $\widehat A>\widehat B>\widehat C$, deci $BC>AC>AB$. --- ## Triunghiuri #12 — Avansat · 5 puncte Într-un triunghi isoscel, unghiul exterior de la bază are măsura de $110^\circ$. Măsura unghiului de la vârf este: A. $40^\circ$ B. $70^\circ$ C. $20^\circ$ D. $110^\circ$ **Indiciu:** Află întâi unghiul **interior** de la bază (suplementul celui exterior), apoi folosește că cele două unghiuri de la bază sunt congruente. **Răspuns corect:** A. $40^\circ$ **Rezolvare** Unghiul interior de la bază este suplementul celui exterior: $$180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$ Într-un triunghi isoscel ambele unghiuri de la bază au $70^\circ$, deci unghiul de la vârf este $$180^\circ-2\cdot 70^\circ=40^\circ.$$ ✓ Verificare cu teorema unghiului exterior: $110^\circ=40^\circ+70^\circ$ ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.