[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/asemanarea-triunghiurilor

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/asemanarea-triunghiurilor**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/asemanarea-triunghiurilor** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Asemănare și teoreme de proporționalitate — clasa a 7-a

Clasa a 7-a · 10 exerciții cu asemănare și teoreme de proporționalitate în bibliotecă, 10 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională.

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #1 — Mediu · 5 puncte

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, cu $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac23$. Dacă $AB=12$ cm, atunci $DE$ este:

A. $18$ cm
B. $24$ cm
C. $8$ cm
D. $36$ cm

**Indiciu:** Scrie proporția $\dfrac{12}{DE}=\dfrac23$ și rezolv-o.

**Răspuns corect:** A. $18$ cm

**Rezolvare**

$$\frac{12}{DE}=\frac23\ \Rightarrow\ 2\cdot DE=36\ \Rightarrow\ DE=18\ \text{cm}.$$ ✓

(Capcana $8$ cm apare din $12\cdot\dfrac23$ — adică din a inversa raportul: cum $\dfrac{AB}{DE}<1$, triunghiul $DEF$ este cel **mai mare**.)

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #2 — Mediu · 5 puncte

Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $3$. Raportul ariilor lor este:

A. $3$
B. $6$
C. $9$
D. $27$

**Indiciu:** Aria depinde de produsul a două lungimi, deci se multiplică cu pătratul raportului.

**Răspuns corect:** C. $9$

**Rezolvare**

Dacă raportul de asemănare este $k$, atunci
$$\frac{\mathcal A_1}{\mathcal A_2}=k^2=3^2=9.$$ ✓

(Raportul perimetrelor rămâne $k=3$; abia raportul volumelor, la corpuri asemenea, ar fi $k^3=27$.)

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #3 — Mediu · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in[AB]$ și $N\in[AC]$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac23$ și $AN=4$ cm. Atunci $NC$ este:

A. $\dfrac83$ cm
B. $8$ cm
C. $10$ cm
D. $6$ cm

**Indiciu:** Teorema lui Thales dă $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}$.

**Răspuns corect:** D. $6$ cm

**Rezolvare**

Din $MN\parallel BC$, teorema lui Thales dă
$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\ \Rightarrow\ \frac23=\frac{4}{NC}\ \Rightarrow\ 2\cdot NC=12\ \Rightarrow\ NC=6\ \text{cm}.$$ ✓

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #4 — Mediu · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ și $MN\parallel BC$. Dacă $AB=15$ cm, $AM=6$ cm și $AN=8$ cm, atunci $AC$ este:

A. $12$ cm
B. $20$ cm
C. $18$ cm
D. $10$ cm

**Indiciu:** Cu segmentele **întregi**, Thales se scrie $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$.

**Răspuns corect:** B. $20$ cm

**Rezolvare**

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\ \Rightarrow\ \frac{6}{15}=\frac{8}{AC}\ \Rightarrow\ 6\cdot AC=120\ \Rightarrow\ AC=20\ \text{cm}.$$ ✓

Verificare cu forma pe segmente parțiale: $MB=15-6=9$, $NC=20-8=12$ și $\dfrac69=\dfrac{8}{12}=\dfrac23$ ✓

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #5 — Avansat · 5 puncte

Două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\dfrac25$. Raportul perimetrelor lor este:

A. $\dfrac{4}{25}$
B. $\dfrac25$
C. $\dfrac52$
D. $\dfrac{8}{125}$

**Indiciu:** Perimetrul este o **lungime**, deci se multiplică cu raportul simplu.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac25$

**Rezolvare**

Perimetrul fiind o sumă de lungimi, el se multiplică cu raportul de asemănare:
$$\frac{P_1}{P_2}=k=\frac25.$$ ✓

De reținut ierarhia: lungimi $\to k$; arii $\to k^2=\dfrac{4}{25}$; volume (la corpuri asemenea) $\to k^3=\dfrac{8}{125}$.

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #6 — Avansat · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$ ($M\in(AB)$, $N\in(AC)$), iar $\dfrac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}=\dfrac19$. Atunci $\dfrac{AM}{AB}$ este:

A. $\dfrac19$
B. $3$
C. $\dfrac{1}{81}$
D. $\dfrac13$

**Indiciu:** Raportul ariilor este **pătratul** raportului de asemănare; extrage radicalul.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac13$

**Rezolvare**

$$k^2=\frac19\ \Rightarrow\ k=\frac13,$$
deci $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13$. ✓

Verificare: dacă $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13$, atunci $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac13$ și raportul ariilor este $\dfrac19$ ✓

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #7 — Avansat · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, $M\in(AB)$ și $N\in(AC)$ cu $AM=3$, $MB=6$, $AN=4$, $NC=8$. Atunci:

A. $MN$ nu este paralelă cu $BC$
B. $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor
C. $MN\parallel BC$
D. $MN=BC$

**Indiciu:** Verifică dacă $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}$; dacă da, se aplică reciproca lui Thales.

**Răspuns corect:** C. $MN\parallel BC$

**Rezolvare**

$$\frac{AM}{MB}=\frac36=\frac12,\qquad \frac{AN}{NC}=\frac48=\frac12.$$

Rapoartele fiind egale, prin reciproca teoremei lui Thales rezultă $MN\parallel BC$. ✓

(Punctele **nu** sunt mijloace: $AM=3$, dar $MB=6$.)

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #8 — Avansat · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ și $MN\parallel BC$. Dacă $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13$ și $BC=15$ cm, atunci $MN$ este:

A. $5$ cm
B. $7{,}5$ cm
C. $10$ cm
D. $45$ cm

**Indiciu:** Teorema fundamentală a asemănării dă $\triangle AMN\sim\triangle ABC$, cu raportul de asemănare $\dfrac{AM}{AB}$.

**Răspuns corect:** A. $5$ cm

**Rezolvare**

Din $MN\parallel BC$ rezultă $\triangle AMN\sim\triangle ABC$, cu raportul $k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac13$. Atunci
$$\frac{MN}{BC}=\frac13\ \Rightarrow\ MN=\frac{15}{3}=5\ \text{cm}.$$ ✓

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #9 — Avansat · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ și $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac25$. Raportul $\dfrac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}$ este:

A. $\dfrac25$
B. $\dfrac{25}{4}$
C. $\dfrac{8}{125}$
D. $\dfrac{4}{25}$

**Indiciu:** Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare.

**Răspuns corect:** D. $\dfrac{4}{25}$

**Rezolvare**

Din TFA, $\triangle AMN\sim\triangle ABC$ cu $k=\dfrac25$, deci
$$\frac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}=k^2=\left(\frac25\right)^2=\frac{4}{25}.$$ ✓

($\dfrac{8}{125}=k^3$ ar fi raportul volumelor unor corpuri asemenea — nu al ariilor unor figuri plane.)

---

## Asemănare și teoreme de proporționalitate #10 — Avansat · 5 puncte

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ și $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac12$. Dacă aria triunghiului $AMN$ este $4$ cm², atunci aria triunghiului $ABC$ este:

A. $12$ cm²
B. $16$ cm²
C. $36$ cm²
D. $8$ cm²

**Indiciu:** Atenție: raportul de asemănare este $\dfrac{AM}{AB}$, nu $\dfrac{AM}{MB}$ — treci întâi de la unul la celălalt.

**Răspuns corect:** C. $36$ cm²

**Rezolvare**

Din $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac12$ obținem $MB=2\,AM$, deci
$$AB=AM+MB=3\,AM\ \Rightarrow\ k=\frac{AM}{AB}=\frac13.$$

Atunci
$$\frac{\mathcal A_{AMN}}{\mathcal A_{ABC}}=k^2=\frac19\ \Rightarrow\ \mathcal A_{ABC}=9\cdot 4=36\ \text{cm}^2.$$ ✓

(Capcana $16$ cm² vine din $k=\dfrac12$, adică $\mathcal A_{ABC}=4\cdot 4$.)

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.