[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/cercul > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/cercul** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/cercul** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Cerc — clasa a 7-a Clasa a 7-a · 12 exerciții cu cerc în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională. ## Cerc #1 — Începător · 5 puncte Pătratul $ABCD$ este înscris într-un cerc cu centrul $O$ și raza $r = 5\ \text{cm}$. Care este aria pătratului? A. $50\ \text{cm}^2$ B. $25\ \text{cm}^2$ C. $100\ \text{cm}^2$ D. $20\ \text{cm}^2$ **Indiciu:** Diagonala pătratului este chiar diametrul cercului: $d = 2r$; aria pătratului $=\dfrac{d^2}{2}$. **Răspuns corect:** A. $50\ \text{cm}^2$ **Rezolvare** $d = 2\cdot 5 = 10\ \text{cm}$. Aria $= \dfrac{10^2}{2} = 50\ \text{cm}^2$. --- ## Cerc #2 — Începător · 5 puncte Hexagonul regulat $ABCDEF$ este înscris într-un cerc cu centrul $O$ și raza $r = 4\ \text{cm}$. Care este perimetrul hexagonului? A. $16\ \text{cm}$ B. $20\ \text{cm}$ C. $24\ \text{cm}$ D. $12\ \text{cm}$ **Indiciu:** Într-un hexagon regulat înscris într-un cerc, latura este egală cu raza cercului. **Răspuns corect:** C. $24\ \text{cm}$ **Rezolvare** Latura $=r=4\ \text{cm}$, deci perimetrul $=6\cdot 4=24\ \text{cm}$. --- ## Cerc #3 — Mediu · 5 puncte Triunghiul echilateral $ABC$ este înscris într-un cerc cu centrul $O$ și raza $r = 6\ \text{cm}$. Care este aria triunghiului? A. $9\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ B. $27\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ C. $18\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ D. $54\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ **Indiciu:** Latura triunghiului echilateral înscris este $l=r\sqrt3$, iar aria $=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}$. **Răspuns corect:** B. $27\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ **Rezolvare** $l=6\sqrt3\ \text{cm}$, deci $l^2=108$. Aria $=\dfrac{108\sqrt3}{4}=27\sqrt3\ \text{cm}^2$. --- ## Cerc #4 — Mediu · 5 puncte În cercul cu centrul $O$ din figură, unghiul la centru $\angle AOB = 80°$, iar punctul $C$ se află pe arcul mare $AB$ (cel care nu conține unghiul marcat). Care este măsura unghiului înscris $\angle ACB$? A. $40°$ B. $80°$ C. $20°$ D. $160°$ **Indiciu:** Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc. **Răspuns corect:** A. $40°$ **Rezolvare** $\angle ACB=\dfrac{\angle AOB}{2}=\dfrac{80°}{2}=40°$. --- ## Cerc #5 — Mediu · 5 puncte Dintr-un punct $P$ exterior unui cerc de centru $O$ și rază $5$ cm se duce tangenta $PT$ ($T$ punct de tangență). Dacă $OP=13$ cm, atunci $PT$ este: A. $12$ cm B. $18$ cm C. $144$ cm D. $8$ cm **Indiciu:** Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă, deci $\triangle OTP$ este dreptunghic în $T$. **Răspuns corect:** A. $12$ cm **Rezolvare** Cum $OT\perp PT$, triunghiul $OTP$ este dreptunghic în $T$, cu ipotenuza $OP$: $$PT^2=OP^2-OT^2=13^2-5^2=169-25=144\ \Rightarrow\ PT=12\ \text{cm}.$$ ✓ (Capcana $8$ cm vine din $13-5$; $144$ este $PT^2$, nu $PT$.) --- ## Cerc #6 — Mediu · 5 puncte Din punctul $P$, exterior unui cerc, se duc tangentele $PA$ și $PB$ ($A$ și $B$ puncte de tangență). Dacă $PA=7$ cm, atunci $PB$ este: A. $14$ cm B. nu se poate determina C. $3{,}5$ cm D. $7$ cm **Indiciu:** Triunghiurile dreptunghice $OAP$ și $OBP$ au ipotenuza comună și catetele $OA$, $OB$ congruente (ambele raze). **Răspuns corect:** D. $7$ cm **Rezolvare** În triunghiurile dreptunghice $OAP$ și $OBP$: $OP$ este ipotenuză comună, iar $OA=OB=r$. Prin cazul I.C. (ipotenuză–catetă) ele sunt congruente, deci $$PB=PA=7\ \text{cm}.$$ ✓ Aceasta este proprietatea tangentelor duse dintr-un punct exterior: ele sunt **congruente**, iar $PO$ este bisectoarea unghiului $\widehat{APB}$. --- ## Cerc #7 — Mediu · 5 puncte Un unghi înscris într-un cerc subîntinde un arc de $80^\circ$. Măsura unghiului înscris este: A. $80^\circ$ B. $160^\circ$ C. $20^\circ$ D. $40^\circ$ **Indiciu:** Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile lui. **Răspuns corect:** D. $40^\circ$ **Rezolvare** $$m(\widehat{BAC})=\frac{m(\overset{\frown}{BC})}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ.$$ ✓ (Unghiul **la centru** care subîntinde același arc ar avea $80^\circ$ — de aici capcana.) --- ## Cerc #8 — Mediu · 5 puncte În cercul de centru $O$, $[AB]$ este diametru, iar $C$ este un punct al cercului, diferit de $A$ și $B$. Măsura unghiului $\widehat{ACB}$ este: A. $45^\circ$ B. $90^\circ$ C. $180^\circ$ D. $60^\circ$ **Indiciu:** Diametrul subîntinde un arc de $180^\circ$, iar unghiul înscris are jumătate din el. **Răspuns corect:** B. $90^\circ$ **Rezolvare** Arcul $AB$ care nu-l conține pe $C$ are $180^\circ$ (fiindcă $[AB]$ este diametru), deci $$m(\widehat{ACB})=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$ ✓ Acesta este *teorema unghiului înscris în semicerc*: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, oricare ar fi poziția lui $C$ pe cerc. --- ## Cerc #9 — Avansat · 5 puncte O dreaptă este tangentă unui cerc de centru $O$ în punctul $T$. Unghiul dintre raza $OT$ și tangentă are măsura: A. $90^\circ$ B. $60^\circ$ C. $45^\circ$ D. depinde de rază **Indiciu:** Tangenta atinge cercul într-un singur punct — care este poziția ei față de rază? **Răspuns corect:** A. $90^\circ$ **Rezolvare** Raza dusă în punctul de tangență este **perpendiculară** pe tangentă, deci unghiul are $90^\circ$. ✓ Justificare: dacă unghiul ar fi diferit de $90^\circ$, distanța de la $O$ la dreaptă ar fi mai mică decât $r$, iar dreapta ar tăia cercul în două puncte — deci nu ar fi tangentă. --- ## Cerc #10 — Avansat · 5 puncte Două unghiuri înscrise într-un cerc subîntind **același** arc. Ele sunt: A. suplementare B. unul dublul celuilalt C. complementare D. congruente **Indiciu:** Măsura unui unghi înscris depinde doar de arcul pe care îl subîntinde. **Răspuns corect:** D. congruente **Rezolvare** Măsura oricărui unghi înscris este jumătate din arcul subîntins. Arcul fiind același, cele două unghiuri au aceeași măsură: sunt **congruente**. ✓ Consecință folosită des: dacă din două puncte $P$ și $Q$, de aceeași parte a lui $[AB]$, segmentul se „vede" sub același unghi, atunci $A$, $B$, $P$, $Q$ sunt conciclice. --- ## Cerc #11 — Avansat · 5 puncte Latura hexagonului regulat înscris într-un cerc de rază $6$ cm are lungimea: A. $12$ cm B. $3$ cm C. $6$ cm D. $6\sqrt3$ cm **Indiciu:** Unind centrul cu două vârfuri consecutive obții un triunghi cu un unghi la centru de $60^\circ$ și două laturi egale cu raza. **Răspuns corect:** C. $6$ cm **Rezolvare** Unghiul la centru corespunzător unei laturi este $\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$. Triunghiul format de centru și două vârfuri consecutive este isoscel (laturile sunt raze) și are unghiul de la vârf $60^\circ$ — deci este **echilateral**. Prin urmare $\ell_6=R=6$ cm. ✓ --- ## Cerc #12 — Avansat · 5 puncte Latura pătratului înscris într-un cerc de rază $5$ cm are lungimea: A. $10$ cm B. $5\sqrt2$ cm C. $5\sqrt3$ cm D. $5$ cm **Indiciu:** Diagonala pătratului înscris este chiar diametrul cercului. **Răspuns corect:** B. $5\sqrt2$ cm **Rezolvare** Diagonala pătratului este diametrul: $d=2R=10$ cm. Din $d=\ell\sqrt2$: $$\ell=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\ \text{cm}\approx 7{,}07\ \text{cm}.$$ ✓ ($10$ cm este diagonala, nu latura — latura este mai scurtă decât diametrul.) ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.