[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/numere-reale

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/numere-reale**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/numere-reale** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Numere reale — clasa a 7-a

Clasa a 7-a · 32 exerciții cu numere reale în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională.

## Numere reale #1 — Începător · 5 puncte

Simplificați radicalul $\sqrt{50}$.

A. $2\sqrt5$
B. $5\sqrt2$
C. $10\sqrt2$
D. $25\sqrt2$

**Indiciu:** Scrieți $50$ ca produs dintre cel mai mare pătrat perfect care îl divide și un alt factor.

**Răspuns corect:** B. $5\sqrt2$

**Rezolvare**

$50=25\cdot2$, deci $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2$.

---

## Numere reale #2 — Începător · 5 puncte

Care dintre următoarele numere este irațional?

A. $\sqrt4$
B. $\sqrt9$
C. $\sqrt2$
D. $\dfrac{16}{4}$

**Indiciu:** Un radical de ordin doi este rațional exact atunci când numărul de sub radical este pătrat perfect.

**Răspuns corect:** C. $\sqrt2$

**Rezolvare**

$\sqrt4=2$, $\sqrt9=3$ și $\dfrac{16}{4}=4$ sunt numere raționale (întregi). $\sqrt2$ nu este rădăcina niciunui pătrat perfect, deci este irațional.

---

## Numere reale #3 — Mediu · 5 puncte

Pentru ce valori reale ale lui $x$ este definit radicalul $\sqrt{2x-3}$?

A. $x\le\dfrac32$
B. $x>\dfrac32$
C. $x\ge\dfrac32$
D. $x\ge-\dfrac32$

**Indiciu:** Radicalul de ordin doi este definit doar dacă expresia de sub radical este mai mare sau egală cu $0$.

**Răspuns corect:** C. $x\ge\dfrac32$

**Rezolvare**

Punem condiția $2x-3\ge0\Rightarrow2x\ge3\Rightarrow x\ge\dfrac32$.

---

## Numere reale #4 — Mediu · 5 puncte

Câte dintre numerele $\sqrt4,\ \sqrt5,\ \sqrt9,\ \sqrt{12}$ sunt numere raționale?

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

**Indiciu:** Verificați pe rând dacă numărul de sub fiecare radical este pătrat perfect.

**Răspuns corect:** B. $2$

**Rezolvare**

$\sqrt4=2$ și $\sqrt9=3$ sunt raționale; $\sqrt5$ și $\sqrt{12}=2\sqrt3$ sunt iraționale. Deci $2$ dintre ele sunt raționale.

---

## Numere reale #5 — Mediu · 5 puncte

Determinați partea întreagă a numărului $\sqrt{50}$.

A. $6$
B. $7$
C. $8$
D. $25$

**Indiciu:** Găsiți cele două pătrate perfecte consecutive între care se află $50$.

**Răspuns corect:** B. $7$

**Rezolvare**

$7^2=49<50<64=8^2$, deci $7<\sqrt{50}<8$, iar partea întreagă a lui $\sqrt{50}$ este $7$.

---

## Numere reale #6 — Mediu · 5 puncte

Calculați media geometrică a numerelor $4$ și $9$.

A. $6$
B. $6{,}5$
C. $36$
D. $3$

**Indiciu:** Media geometrică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{a\cdot b}$ (nu confundați cu media aritmetică).

**Răspuns corect:** A. $6$

**Rezolvare**

$\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6$.

---

## Numere reale #7 — Mediu · 5 puncte

Aria unui pătrat este $45\ \text{cm}^2$. Care este lungimea laturii pătratului?

A. $3\sqrt{5}\ \text{cm}$
B. $\sqrt{22{,}5}\ \text{cm}$
C. $9\sqrt{5}\ \text{cm}$
D. $\sqrt{90}\ \text{cm}$
E. $-3\sqrt{5}\ \text{cm}$

**Indiciu:** Aria unui pătrat cu latura $l$ este $l^2$; ecuația $l^2=a$ are soluțiile $l=\pm\sqrt{a}$.

**Răspuns corect:** A. $3\sqrt{5}\ \text{cm}$

**Rezolvare**

Din condiția de arie, latura $l$ verifică $l^2 = 45$, deci $l=\pm\sqrt{45}$. Descompunem $45=9\cdot 5$, deci $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$. Fiind lungimea unei laturi, păstrăm doar soluția pozitivă:
$$l = 3\sqrt{5}\ \text{cm}.$$

---

## Numere reale #8 — Mediu · 5 puncte

Aria unui pătrat este $200\ \text{cm}^2$. Care este lungimea laturii pătratului?

A. $10\sqrt{2}\ \text{cm}$
B. $100\ \text{cm}$
C. $10\ \text{cm}$
D. $20\ \text{cm}$

**Indiciu:** Latura unui pătrat cu aria $A$ verifică $x^2=A$, cu $x>0$; dacă $A$ nu este pătrat perfect, $x=\sqrt{A}$ se simplifică extrăgând cel mai mare factor pătrat perfect din $A$.

**Răspuns corect:** A. $10\sqrt{2}\ \text{cm}$

**Rezolvare**

Aria unui pătrat cu latura $x$ este $x^2$, deci $x^2=200$. Cum $x>0$ (este o lungime), reținem doar soluția pozitivă: $x=\sqrt{200}$.

$$\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}.$$

Latura pătratului este $10\sqrt{2}\ \text{cm}$.

---

## Numere reale #9 — Mediu · 5 puncte

Media geometrică a numerelor $8$ și $10$ este:

A. $4\sqrt{5}$
B. $9$
C. $80$
D. $3\sqrt{2}$
E. $8\sqrt{10}$

**Indiciu:** Media geometrică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{ab}$.

**Răspuns corect:** A. $4\sqrt{5}$

**Rezolvare**

Media geometrică a numerelor $8$ și $10$ este $\sqrt{8\cdot10}=\sqrt{80}$.

$$\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5}$$

---

## Numere reale #10 — Avansat · 5 puncte

Se consideră ecuația $x^2=45$. Care este produsul soluțiilor reale ale ecuației?

A. $-45$
B. $45$
C. $0$
D. $3\sqrt{5}$

**Indiciu:** Dacă $x^2=a$ cu $a>0$, soluțiile reale sunt $x_{1,2}=\pm\sqrt{a}$, iar produsul lor are forma $\sqrt{a}\cdot(-\sqrt{a})$.

**Răspuns corect:** A. $-45$

**Rezolvare**

Deoarece $45>0$, ecuația $x^2=45$ are două soluții reale opuse:
$$x_{1,2}=\pm\sqrt{45}=\pm 3\sqrt{5}.$$
Produsul lor este
$$x_1\cdot x_2=\left(3\sqrt{5}\right)\cdot\left(-3\sqrt{5}\right)=-9\cdot 5=-45.$$

---

## Numere reale #11 — Avansat · 5 puncte

Într-un grup de pregătire pentru Evaluarea Națională, $10$ elevi au obținut media $6$ la un test de verificare, iar restul elevilor au obținut media $9$. Știind că media notelor întregului grup este $7$, numărul elevilor care au obținut media $9$ este:

A. $5$
B. $10$
C. $20$
D. $15$

**Indiciu:** Media ponderată: $\bar{x}_p=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2}{n_1+n_2}$.

**Răspuns corect:** A. $5$

**Rezolvare**

Notăm cu $n$ numărul elevilor cu media $9$; suma notelor celor $10$ elevi cu media $6$ este $60$, iar suma notelor celorlalți este $9n$.

$$\dfrac{60+9n}{10+n}=7 \Rightarrow 60+9n=70+7n \Rightarrow 2n=10 \Rightarrow n=5.$$

---

## Numere reale #12 — Avansat · 5 puncte

Pentru două numere pozitive distincte $a$ și $b$, între media aritmetică $m_a$ și media geometrică $m_g$ are loc relația:

A. $m_a>m_g$
B. $m_a<m_g$
C. $m_a=m_g$
D. depinde de numere

**Indiciu:** Testează pe un exemplu concret, de exemplu $a=1$ și $b=9$.

**Răspuns corect:** A. $m_a>m_g$

**Rezolvare**

Pentru $a=1$, $b=9$: $m_a=\dfrac{1+9}{2}=5$, iar $m_g=\sqrt{9}=3$ — deci $m_a>m_g$.

În general, din $(\sqrt a-\sqrt b)^2>0$ rezultă $a+b>2\sqrt{ab}$, adică
$$m_a>m_g.$$ ✓

Egalitatea are loc **doar** pentru $a=b$ — de aceea enunțul cere numere distincte.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.